Задание 1 · Планиметрия (краткий ответ)

1.1. Решение прямоугольного треугольника

Для репетитора: показать ответы

1. Прямоугольный треугольник: главное

Один угол равен 90°. Стороны, образующие прямой угол, — катеты $a$ и $b$; сторона напротив прямого угла — гипотенуза $c$, она самая длинная.

Острые углы в сумме дают 90°: $\angle A+\angle B=90^\circ$.
Теорема Пифагора: $a^2+b^2=c^2$. Обратная: если $a^2+b^2=c^2$, то угол напротив $c$ прямой.
Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
Площадь: $S=\tfrac12ab$.

2. Синус, косинус, тангенс острого угла

Для острого угла $\alpha$: $a$ — противолежащий катет, $b$ — прилежащий катет, $c$ — гипотенуза.

Функция	Отношение
$\sin\alpha$	$\dfrac{a}{c}$ — противолежащий катет : гипотенуза
$\cos\alpha$	$\dfrac{b}{c}$ — прилежащий катет : гипотенуза
$\operatorname{tg}\alpha$	$\dfrac{a}{b}$ — противолежащий : прилежащий
$\operatorname{ctg}\alpha$	$\dfrac{b}{a}$ — прилежащий : противолежащий

Отсюда сразу выражаются стороны: $a=c\sin\alpha$, $b=c\cos\alpha$, $a=b\operatorname{tg}\alpha$.

Значения для «хороших» углов

	30°	45°	60°
$\sin$	$\tfrac12$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$\tfrac12$
$\operatorname{tg}$	$\tfrac{\sqrt3}{3}$	1	$\sqrt3$
$\operatorname{ctg}$	$\sqrt3$	1	$\tfrac{\sqrt3}{3}$

3. Формулы, которые связывают синус, косинус и тангенс

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, $\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$
$1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$, $1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$
$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, $\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha$

Последняя строка для треугольника значит: $\sin A=\cos B$, $\cos A=\sin B$, $\operatorname{tg}A=\operatorname{ctg}B$, потому что $A+B=90^\circ$.

4. Высота, проведённая к гипотенузе

Высота $h$ из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки $c_a$ и $c_b$ (проекции катетов) и делит треугольник на два прямоугольных, подобных исходному.

$h=\dfrac{ab}{c}$ (площадь двумя способами: $ab=ch$)
$h^2=c_a\cdot c_b$
$a^2=c\cdot c_a$, $b^2=c\cdot c_b$

5. Медиана к гипотенузе и окружности

Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы: $m_c=\tfrac c2$. Она делит треугольник на два равнобедренных.
Центр описанной окружности — середина гипотенузы, $R=\tfrac c2$.
Радиус вписанной окружности: $r=\dfrac{a+b-c}{2}$.

Лайфхак 1. Пифагоровы тройки. Запомните (3, 4, 5), (6, 8, 10), (9, 12, 15), (5, 12, 13), (8, 15, 17). Если два числа из тройки уже есть в условии, третье известно сразу.

Лайфхак 2. Синус одного угла — косинус другого. Если дан $\sin A$, а спрашивают $\cos B$, ничего считать не надо: $\cos B=\sin A$.

Лайфхак 3. Не считайте промежуточное до конца. Решайте в общем виде и подставляйте числа в конце. Часто корни и дроби сокращаются сами.

Лайфхак 4. Ищите прямые углы. Высота, медиана к гипотенузе, угол, опирающийся на диаметр, дают прямоугольные треугольники, даже если в условии про них не сказано.

Ошибки. Путают противолежащий и прилежащий катет. Забывают, что гипотенуза — сторона напротив прямого угла, а не «самая нижняя». Проверяйте ответ на правдоподобие: катет не может быть длиннее гипотенузы, синус и косинус острого угла меньше 1.

Разобранные примеры

Пример 1

В треугольнике ABC угол C равен $90 градусов ,$ $синус A= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $AC=4.$ Найдите AB.

Решение

Имеем:

$AB = AC \over косинус A = AC \over корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате A конец аргумента = 4 \over корень из: начало аргумента: 1 минус 9 конец аргумента \over 25 = 4 умножить на 5 \over 4 = 5.$

Ответ: 5.

Пример 2

В треугольнике ABC угол C равен 90°, $BC = 20,$ $косинус A = 0,8.$ Найдите высоту CH.

Решение

Углы A и HCB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому

$CH=BC косинус \widehatНСВ=BC косинус A=20 умножить на 0,8=16.$

Ответ: 16.

Пример 3

Один острый угол прямоугольного треугольника на 38° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, а их разность по условию равна 38°, получаем систему уравнений:

$система выражений новая строка \angle A минус \angle B=38 градусов , новая строка \angle A плюс \angle B=90 градусов конец системы . равносильно система выражений новая строка \angle A=64 градусов , новая строка \angle B=26 градусов. конец системы .$

Ответ: 64.

Источники

«Базовая теория по планиметрии», методические материалы к ЕГЭ, nitforyou.com, 2026
«Планиметрия. ЕГЭ 2024», Университет «Синергия», synergy.ru
«ЕГЭ: разбор заданий», nitforyou.com, 2026
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC  =  4,8, $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$ Найдите AB.
У2
В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС  =  8, $тангенс A = 0,5.$ Найдите BC.
У3
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $косинус A = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 17 конец дроби ,$ ВС  =  2. Найдите АС.
У4
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC  =  24, BC  =  7. Найдите $синус A.$
У5
В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН  — высота, $AB = 13,$ $тангенс A = 5.$ Найдите ВН.
У6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, CH  — высота, $BC = 3,$ $синус A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$ Найдите АН.
У7
В треугольнике АВС угол С равен 90°, BC  =  5, $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$ Найдите высоту СН.
У8
В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН  — высота, $BC = 5,$ $косинус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$ Найдите ВН.
У9
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH − высота, $AC = 3,$ $косинус A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$ Найдите $BH.$
У10
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, BC  =  25, BH  =  20. Найдите $косинус A.$
У11
В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 20, BC  =  25. Найдите $синус A.$
У12
В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 4, $BC = корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$ Найдите $тангенс A.$
У13
В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 7, $BH = 24.$ Найдите $косинус A.$
У14
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, $AH = 27,$ $тангенс A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите $BH.$
У15
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH − высота, $BH = 12,$ $синус A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите $AB.$
У16
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.
У17
Один острый угол прямоугольного треугольника на 32° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
У18
В треугольнике ABC угол ACB равен $90$ °, угол B равен $58$ °, CD  — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
У19
Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
У20
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21°. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
У21
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
У22
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
У23
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, угол A равен 30°, AB  =  2. Найдите AH.
У24
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB  =  45, $синус A = 0,6.$ Найдите BC.

Д1
В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС  =  4, $косинус A = 0,5.$ Найдите АВ.
Д2
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC  =  4, $синус A = 0,5.$ Найдите АВ.
Д3
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $тангенс A = 0,5,$ ВС  =  4. Найдите АС.
Д4
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, AB  =  13, $тангенс A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$ Найдите AH.
Д5
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $AB = 13,$ $тангенс A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$ Найдите высоту CH.
Д6
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, BC   =  8, $синус A = 0,5.$ Найдите BH.
Д7
В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН  — высота, BC  =  3, $косинус A = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$ Найдите АН.
Д8
В треугольнике АВС угол С равен 90°, $BC = 8,$ $косинус A = 0,5.$ Найдите СН.
Д9
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, BC = 8, BH = 4. Найдите $синус A.$
Д10
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH − высота, $BC = 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ $BH = 4.$ Найдите $тангенс A.$
Д11
В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 4, BC  =  8. Найдите $косинус A.$
Д12
В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 24, $BH = 7.$ Найдите $синус A.$
Д13
В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 8, $BH = 4.$ Найдите $тангенс A.$
Д14
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, BH  =  12, $тангенс A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите AH.
Д15
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, $AH = 12,$ $косинус A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите $AB.$
Д16
Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.
Д17
Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
Д18
Острый угол прямоугольного треугольника равен 32°. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.
Д19
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 61°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Д20
Острый угол В прямоугольного треугольника равен 66°. Найдите угол между высотой СН и медианой СМ, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Д21
Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Д22
В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, $AB = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите высоту CH.
Д23
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, угол A равен 30°, AB  =  4. Найдите BH.
Д24
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB  =  10, $AC = корень из: начало аргумента: 91 конец аргумента .$ Найдите $синус A.$

Функция	Отношение
\(\sin\alpha\)	\(\dfrac{a}{c}\) — противолежащий катет : гипотенуза
\(\cos\alpha\)	\(\dfrac{b}{c}\) — прилежащий катет : гипотенуза
\(\operatorname{tg}\alpha\)	\(\dfrac{a}{b}\) — противолежащий : прилежащий
\(\operatorname{ctg}\alpha\)	\(\dfrac{b}{a}\) — прилежащий : противолежащий

	30°	45°	60°
\(\sin\)	\(\tfrac12\)	\(\tfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt3}{2}\)
\(\cos\)	\(\tfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\tfrac12\)
\(\operatorname{tg}\)	\(\tfrac{\sqrt3}{3}\)	1	\(\sqrt3\)
\(\operatorname{ctg}\)	\(\sqrt3\)	1	\(\tfrac{\sqrt3}{3}\)