Задание 1 · Планиметрия (краткий ответ)

1.2. Решение равнобедренного треугольника

Для репетитора: показать ответы

1. Равнобедренный треугольник

Две стороны равны — это боковые стороны, третья — основание. Вершина, где сходятся боковые стороны, — вершина треугольника.

Углы при основании равны.
Высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают.
Высоты (медианы, биссектрисы), проведённые к боковым сторонам, равны между собой.
Угол при вершине $=180^\circ-2\cdot$(угол при основании).

Признаки равнобедренного треугольника

два угла равны;
высота совпадает с медианой, проведённой из той же вершины.

2. Высота к основанию — путь к прямоугольному треугольнику

Высота $BH$ к основанию $AC$ делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, а основание — пополам: $AH=HC=\tfrac{AC}{2}$. Дальше работают все формулы прямоугольного треугольника:

$BH^2+AH^2=AB^2$ (теорема Пифагора);
$\cos A=\dfrac{AH}{AB}$, $\sin A=\dfrac{BH}{AB}$, $\operatorname{tg}A=\dfrac{BH}{AH}$.

3. Тригонометрия тупого угла

Если угол при вершине тупой или нужен внешний угол, пригодятся формулы приведения:

$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$
$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$
$\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и смежен с внутренним углом: их сумма 180°.

4. Площадь и окружности

$S=\tfrac12\cdot AC\cdot BH$, $S=\tfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B$.
Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте к основанию.
$r=\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.

5. Равносторонний треугольник

Все стороны равны, все углы по 60°. Высота, медиана и биссектриса из любой вершины совпадают.

$h=\dfrac{\sqrt3}{2}a$, $S=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$
$R=\dfrac{2}{3}h=\dfrac{\sqrt3}{3}a$, $r=\dfrac13h=\dfrac{\sqrt3}{6}a$, $R=2r$

Лайфхак 1. Сначала уточните угол. Если известен один угол, сразу поймите, он при основании или при вершине: от этого зависит весь ответ.

Лайфхак 2. Вводите неизвестную. Если величину не найти «в лоб», обозначьте её буквой и составьте уравнение: например, через площадь, посчитанную двумя способами.

Лайфхак 3. Отметьте равное на чертеже до вычислений: равные стороны, равные углы, половинки основания.

Ошибки. Делят пополам не основание, а боковую сторону. Берут высоту к основанию там, где дана высота к боковой стороне. Забывают, что в тупоугольном треугольнике высота к боковой стороне лежит вне треугольника.

Разобранные примеры

Пример 1

В треугольнике ABC AC  =  BC  =  5, $синус A = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$ Найдите АВ.

Решение

Треугольник АВС  — равнобедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда:

$AB = 2AH = 2AC косинус A = 2AC корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате A конец аргумента = 2 умножить на 5 корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби конец аргумента = 6.$

Ответ: 6.

Пример 2

В треугольнике ABC AC  =  BC, высота AH равна 20, AB  =  25. Найдите $косинус BAC.$

Решение

Ответ: 0,6.

Пример 3

В треугольнике ABC AC  =  BC. Внешний угол при вершине B равен 163°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Треугольник ABC  — равнобедренный, углы при его основании равны, поэтому

$\angle C = 180 градусов минус 2 \angle B = 180 градусов минус 2 левая круглая скобка 180 градусов минус \angle CBD правая круглая скобка = 180 градусов минус 34 градусов = 146 градусов.$

Ответ: 146.

Источники

«Базовая теория по планиметрии», методические материалы к ЕГЭ, nitforyou.com, 2026
«Планиметрия. ЕГЭ 2024», Университет «Синергия», synergy.ru
«ЕГЭ: разбор заданий», nitforyou.com, 2026
«Лайфхаки для ЕГЭ по математике 2024», НОМЦ ТГУ (nomc.math.tsu.ru)
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
В треугольнике ABC AC  =  BC  =  5, $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$ Найдите АВ.
У2
В треугольнике ABC AC  =  BC  =  7, $тангенс A = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби .$ Найдите AB.
У3
В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  8, $синус BAC = 0,5.$ Найдите высоту AH.
У4
В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  5, $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$ Найдите высоту AH.
У5
В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  7, $тангенс BAC = дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 33 конец дроби .$ Найдите высоту AH.
У6
В треугольнике ABC $AC = BC = 4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ,$ $синус BAC = 0,25.$ Найдите высоту AH.
У7
В треугольнике ABC $AC = BC = 4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ,$ $косинус BAC = 0,25.$ Найдите высоту AH.
У8
В треугольнике ABC AC  =  BC, высота AH равна 4, AB  =  8. Найдите синус угла BAC.
У9
В тупоугольном треугольнике ABC AC  =BC  =  25, высота AH равна 20. Найдите $косинус ACB.$
У10
В тупоугольном треугольнике ABC AC  =  BC  =  8, AH  — высота, CH  =  4. Найдите $косинус ACB.$
У11
В тупоугольном треугольнике ABC AC  =  BC, высота AH равна 7, CH  =  24. Найдите $синус ACB.$
У12
В тупоугольном треугольнике ABC AC  =  BC, высота AH равна 4, CH  =  8. Найдите $тангенс ACB.$
У13
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°;. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.
У14
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.
У15
В треугольнике ABC угол A равен 38°, AC  =  BC. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
У16
В треугольнике ABC AC  =  BC, угол C равен 52°. Найдите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.
У17
В треугольнике ABC AB  =  BC. Внешний угол при вершине B равен 138°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
У18
Один угол равнобедренного треугольника на 90° больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
У19
В треугольнике ABC $AB = BC = AC = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите высоту CH.
У20
В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  4, высота CH равна  $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
У21
В остроугольном треугольнике ABC известно, что AC  =  BC  =  6, высота AH равна 3. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
У22
В треугольнике ABC $AC = BC = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ угол C равен 120°. Найдите высоту AH.
У23
В треугольнике ABC AC  =  BC, угол C равен 120°, $AC = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите AB.
У24
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB внешний угол при вершине B равен 124°. Найдите величину угла A треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
У25
В треугольнике ABC $AC=BC,$ $AB=25,$ высота AH равна $24 .$ Найдите $косинус A.$

Д1
В треугольнике ABC AC  =  BC  =  8, $косинус A = 0,5.$ Найдите АВ.
Д2
В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  8, $тангенс A = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби .$ Найдите AC.
Д3
В треугольнике ABC AC  =  BC, AH  — высота, AB  =  5, $синус BAC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$ Найдите BH.
Д4
В треугольнике ABC AC  =  BC, AH  — высота, AB  =  8, $косинус BAC = 0,5.$ Найдите BH.
Д5
В треугольнике ABC AC  =  BC, AH  — высота, AB  =  7, $тангенс BAC = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби .$ Найдите BH.
Д6
В треугольнике ABC AC  =  BC  =  27, AH  — высота, $синус BAC = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите BH.
Д7
В треугольнике ABC AC  =  BC  =  27, AH  — высота, $косинус BAC = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите BH.
Д8
В тупоугольном треугольнике ABC AC  =  BC  =  8, высота AH равна 4. Найдите $синус ACB.$
Д9
В тупоугольном треугольнике ABC $AC = BC = 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ высота AH равна 4. Найдите $тангенс ACB.$
Д10
В тупоугольном треугольнике ABC $AC = BC = корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента ,$ AH  — высота, CH  =  4. Найдите $тангенс ACB.$
Д11
В тупоугольном треугольнике ABC AC  =  BC, высота AH равна 24, CH  =  7. Найдите $косинус ACB.$
Д12
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.
Д13
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.
Д14
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100.
Д15
В треугольнике ABC угол C равен 118°, AC  =  BC. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.
Д16
В треугольнике ABC AC  =  BC. Внешний угол при вершине B равен 122°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Д17
Больший угол равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Д18
В треугольнике ABC AC  =  BC, AD  — высота, угол BAD равен 24°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Д19
В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна  $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите стороны этого треугольника.
Д20
В треугольнике ABC AC  =  BC  =  4, угол C равен 30°. Найдите высоту AH.
Д21
В треугольнике ABC AC  =  BC, высота AH равна 4, угол C равен 30°. Найдите AC.
Д22
В треугольнике ABC AC  =  BC, угол C равен 120°, $AB = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите AC.
Д23
В треугольнике ABC известно, что AC  =  BC  =  21, $тангенс \angle A = 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Найдите длину стороны AB.
Д24
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB внешний угол при вершине C равен 18°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.