Задание 1 · Планиметрия (краткий ответ)

1.3. Треугольники общего вида

Для репетитора: показать ответы

1. Углы треугольника

Сумма углов: $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$.
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Против большей стороны лежит больший угол.
Угол между биссектрисами углов $A$ и $C$: $\angle AIC=90^\circ+\dfrac{\angle B}{2}$.
Угол между высотами из вершин $A$ и $C$ (остроугольный треугольник): $\angle AHC=180^\circ-\angle B$.

2. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны и делит треугольник на два равновеликих. Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих.
Биссектриса делит угол пополам и делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\dfrac{AL}{LC}=\dfrac{AB}{BC}$. Биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности.
Высота — перпендикуляр из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике две высоты лежат вне треугольника.
Средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине. Отсекает треугольник с периметром в 2 раза и площадью в 4 раза меньше.

3. Теоремы синусов и косинусов

Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Теорема косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$. При $\gamma=90^\circ$ получается теорема Пифагора, так как $\cos 90^\circ=0$.

Два угла и сторона — теорема синусов. Две стороны и угол между ними или три стороны — теорема косинусов.

4. Площадь треугольника

Формула	Когда применять
$S=\tfrac12 a h_a$	сторона и высота к ней
$S=\tfrac12 ab\sin\gamma$	две стороны и угол между ними
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$	три стороны (формула Герона), $p=\tfrac{a+b+c}{2}$
$S=pr$	полупериметр и радиус вписанной окружности
$S=\dfrac{abc}{4R}$	три стороны и радиус описанной окружности

5. Подобие и равновеликость

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $\dfrac{S_1}{S_2}=k^2$.
Треугольники с общей высотой относятся по площади как их основания.

Лайфхак 1. Медиана — достройте до параллелограмма. Удвойте медиану за её конец: получится параллелограмм, где медиана — половина диагонали.

Лайфхак 2. Отметьте медиану на чертеже равными отрезками ($AM=MC$), а точку пересечения медиан — через $x$ и $2x$: так проще не упустить свойства.

Лайфхак 3. Углы с биссектрисами. Обозначьте половинки углов $x$ и $y$ и выразите искомый угол через сумму углов треугольника.

Ошибки. Подставляют в $S=\tfrac12ab\sin\gamma$ угол не между этими сторонами. Забывают, что $\cos$ тупого угла отрицательный. Проверяйте ответ: угол треугольника меньше 180°, сторона меньше суммы двух других.

Разобранные примеры

Пример 1

В треугольнике ABC угол B равен 31°, угол C равен 45°, AD  — биссектриса, E  — такая точка на AB, что AE  =  AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Решение

Треугольники CAD и EAD равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $\angle C = \angle DEA = 45 градусов.$ Следовательно,

$\angle BDE = 180 градусов минус \angle B минус \angle BED = 180 градусов минус 31 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 45 градусов правая круглая скобка = 14 градусов.$

Ответ: 14.

Пример 2

В треугольнике ABC угол B  — тупой, AB  =  7, BC  =  8. Найдите величину угла, противолежащего стороне AC, если площадь треугольника равна  $14 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Ответ дайте в градусах.

Решение

Выразим величину угла B из формулы площади треугольника:

$S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AB умножить на BC умножить на синус \angle B равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 умножить на 8 умножить на синус \angle B = 14 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно синус \angle B = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно \angle B = 120 градусов.$

Ответ: 120.

Примечание.

Значение синуса, равное  $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ соответствует острому углу в 60° и тупому углу в 120°. По условию угол B  — тупой, поэтому он равен 120°.

Пример 3

В треугольнике ABC угол C равен 62°, AD и BE  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Рассмотрим угол AOB в треугольнике AOB:

$\angle AOB = 180 градусов минус левая круглая скобка \angle OAB плюс \angle OBA правая круглая скобка = 180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \angle A плюс \angle B правая круглая скобка = 180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle C правая круглая скобка = 180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус 62 градусов правая круглая скобка = 180 градусов минус 59 градусов = 121 градусов.$

Ответ: 121.

Источники

«Базовая теория по планиметрии», методические материалы к ЕГЭ, nitforyou.com, 2026
«Планиметрия. ЕГЭ 2024», Университет «Синергия», synergy.ru
«ЕГЭ: разбор заданий», nitforyou.com, 2026
«Планиметрия, часть 2: медианы», сообщество «математика» ВКонтакте (vk.com/@mathemynka-plani2)
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.
У2
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 34 и 8, а угол между ними равен 30°.
У3
У треугольника со сторонами 15 и 5 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
У4
Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.
У5

Углы треугольника относятся как $2:8:35.$ Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.
У6
В треугольнике ABC угол A равен $60 градусов,$ CH  — высота, угол BCH равен $19 градусов.$ Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
У7
В треугольнике ABC AD  — биссектриса, угол C равен 20°, угол CAD равен 50°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
У8
В треугольнике ABC AD  — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
У9
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65°. BD и CE  — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
У10
Два угла треугольника равны 58° и 72°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
У11
В треугольнике ABC угол C равен 58°, AD и BE  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
У12
В треугольнике ABC CH  — высота, AD  — биссектриса, O  — точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 26°. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.
У13
В треугольнике ABC CH  — высота, AD  — биссектриса, O  — точка пересечения CH и AD, угол BAD равен $35 градусов.$ Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.
У14
В треугольнике ABC угол A равен 44°, угол C равен 62°. На продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BD, равный стороне BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.
У15
В треугольнике ABC угол A равен $42$ °, угол C равен $20$ °. На продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BD, равный стороне BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.
У16
В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол C равен 52°, AD  — биссектриса, E  — такая точка на AB, что AE  =  AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
У17
В треугольнике ABC угол A равен $17 градусов,$ угол B равен $46 градусов,$ CD  — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что $CE = CB.$ Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
У18
В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
У19
В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF  — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
У20
Два угла треугольника равны 33° и 105°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
У21
Два угла треугольника равны $68 градусов$ и $35 градусов.$ Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
У22
В треугольнике ABC CH  — высота, AD  — биссектриса, O  — точка пересечения CH и AD, угол BAD равен $38 градусов.$ Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.
У23
В треугольнике ABC CH  — высота, AD  — биссектриса, O  — точка пересечения CH и AD, угол BAD равен $11 градусов.$ Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.
У24
В треугольнике ABC DE  — средняя линия. Площадь треугольника BDE равна 20. Найдите площадь треугольника $ABC.$
У25
В треугольнике ABC DE  — средняя линия. Площадь треугольника ADE равна 5. Найдите площадь треугольника $ABC.$
У26
Площадь треугольника ABC равна 10, DE   — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
У27
Площадь треугольника ABC равна  31. DE  — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
У28
В треугольнике ABC угол A равен 43 градусам, углы B и C  — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
У29
В треугольнике ABC угол A равен 135°. Продолжения высот BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
У30
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите угол ABD, если угол BAD равен 29° и угол ACB равен 55°.
У31
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите угол ABD, если угол BAD равен 35° и угол ACB равен 40°.
У32
В треугольнике ABC угол A равен 7°, внешний угол при вершине B равен 22°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
У33
Площадь треугольника ABC равна 136. DE  — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Д1
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 21 и 2, а угол между ними равен 30°.
Д2
У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Д3
У треугольника со сторонами 8 и 4 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Д4
Углы треугольника относятся как 1 : 1 : 10. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.
Д5
В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол В  — тупой, CH  — высота, угол BCH равен 22°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Д6
В треугольнике ABC AD  — биссектриса, угол C равен 50°, угол CAD равен 28°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Д7
В треугольнике ABC AD  — биссектриса, угол C равен 54°, угол CAD равен 30°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Д8
В треугольнике ABC угол C равен 32°, AD  — биссектриса, угол BAD равен 23°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
Д9
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 15°. BD и CE  — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
Д10
Два угла треугольника равны $66 градусов$ и $33 градусов.$ Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Д11
В треугольнике ABC угол C равен 138°, AD и BE  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Д12
В треугольнике ABC CH  — высота, AD  — биссектриса, O  — точка пересечения CH и AD, угол BAD равен $10 градусов.$ Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.
Д13
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB  =  AD  =  CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Д14
В треугольнике ABC угол A равен $100$ °, угол C равен $13$ °. На продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BD, равный стороне BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.
Д15
В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол C равен 85°, AD  — биссектриса, E  — такая точка на AB, что AE  =  AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
Д16
В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 86°, CD  — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что CE  =  CB. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
Д17
В треугольнике ABC угол A равен $35 градусов,$ угол B равен $64 градусов,$ CD  — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что $CE = CB.$ Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
Д18
В треугольнике ABC угол A равен 27°, угол B равен 92°. AD, BE и CF  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
Д19
В треугольнике ABC угол A равен $36 градусов,$ угол B равен $75 градусов.$ AD, BE и CF  — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
Д20
Два угла треугольника равны $103 градусов$ и $48 градусов.$ Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Д21
В треугольнике ABC CH  — высота, AD  — биссектриса, O  — точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 66°. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.
Д22
В треугольнике ABC CH  — высота, AD  — биссектриса, O  — точка пересечения CH и AD, угол BAD равен $33 градусов.$ Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.
Д23
В треугольнике ABC отрезок DE  — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 38. Найдите площадь треугольника ABC.
Д24
В треугольнике ABC DE  — средняя линия. Площадь треугольника BDE равна 66. Найдите площадь треугольника $ABC.$
Д25
В треугольнике ABC отрезок DE  — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.
Д26
Площадь треугольника ABC равна 183. DE  — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
Д27
В треугольнике ABC угол A равен 46°, углы B и C  — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
Д28
В треугольнике АВС угол А равен 41°, а углы B и C  — острые, BD и CE  — высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
Д29
В треугольнике ABC угол B  — тупой, AB  =  5, BC  =  6. Найдите величину угла, противолежащего стороне AC, если площадь треугольника равна 7,5. Ответ дайте в градусах.
Д30
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите угол ABD, если угол BAD равен 18° и угол ACB равен 61°.
Д31
В треугольнике ABC угол A равен 10°, внешний угол при вершине B равен 31°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Д32
Площадь треугольника ABC равна 176, DE  — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Формула	Когда применять
\(S=\tfrac12 a h_a\)	сторона и высота к ней
\(S=\tfrac12 ab\sin\gamma\)	две стороны и угол между ними
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)	три стороны (формула Герона), \(p=\tfrac{a+b+c}{2}\)
\(S=pr\)	полупериметр и радиус вписанной окружности
\(S=\dfrac{abc}{4R}\)	три стороны и радиус описанной окружности