Задание 1 · Планиметрия (краткий ответ)

1.4. Параллелограммы

Для репетитора: показать ответы

1. Параллелограмм: определение и свойства

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Обозначим вершины $ABCD$, соседние стороны $a$ и $b$, диагонали $AC$ и $BD$, точку их пересечения $O$.

Противоположные стороны равны: $AB=CD$, $BC=AD$.
Противоположные углы равны: $\angle A=\angle C$, $\angle B=\angle D$.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$: $\angle A+\angle B=180^\circ$.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO=OC$, $BO=OD$.
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника; две диагонали разбивают его на четыре треугольника равной площади.
Точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма.
Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов соседних сторон: $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$.
Биссектриса любого угла отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник; биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

2. Признаки параллелограмма

Четырёхугольник — параллелограмм, если выполнено любое одно из условий:

противоположные стороны попарно равны;
противоположные стороны попарно параллельны;
две противоположные стороны равны и параллельны;
противоположные углы попарно равны;
диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

3. Периметр и площадь

Формула	Когда применять
$P=2(a+b)$	две соседние стороны
$S=a\cdot h_a$	сторона и высота, проведённая к ней (перпендикуляр к стороне)
$S=ab\sin\alpha$	две соседние стороны и угол $\alpha$ между ними
$S=\tfrac12 d_1d_2\sin\varphi$	диагонали и угол $\varphi$ между ними

4. Частные случаи: ромб, прямоугольник, квадрат

Фигура	Определение	Особые свойства	Площадь
Ромб	параллелограмм, у которого все стороны равны	диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов	$S=\tfrac12 d_1d_2$; также $S=a h$
Прямоугольник	параллелограмм с прямым углом (все углы прямые)	диагонали равны	$S=ab$
Квадрат	прямоугольник с равными сторонами (или ромб с прямым углом)	диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам; диагональ $d=a\sqrt2$	$S=a^2$

Признаки частных случаев

Параллелограмм — ромб, если у него все стороны равны, или диагонали перпендикулярны, или диагонали являются биссектрисами углов.
Параллелограмм — прямоугольник, если у него есть прямой угол или диагонали равны.
Параллелограмм, у которого диагонали равны и перпендикулярны, — квадрат.
Из параллелограммов в окружность можно вписать только ромб (и квадрат), а описать окружность — только около прямоугольника (и квадрата).

5. Как решать задачу №1 про параллелограмм

Сделайте чертёж и отметьте равные стороны и равные углы: противоположные стороны равны, противоположные углы равны, соседние углы дают в сумме $180^\circ$.
Выберите формулу площади по тому, что дано: высота и сторона — $S=ah$; две стороны и угол — $S=ab\sin\alpha$.
Если нужной высоты нет, опустите её сами: получится прямоугольный треугольник, где работают теорема Пифагора и тригонометрия.
Если в условии есть биссектриса, помните: она отсекает равнобедренный треугольник, поэтому стороны можно связать через равные отрезки.
Если дано отношение площадей, ищите треугольники с общей высотой или общим основанием: площади относятся как основания (или как высоты).
Площадь можно считать двумя способами и приравнять (например, для ромба через $\tfrac12 d_1d_2$ и через $ah$).

Лайфхак 1. Диагональ делит площадь пополам. Для сравнения площадей частей параллелограмма это самый быстрый ход: площадь любого из двух треугольников, на которые его делит диагональ, равна $\tfrac12 S$.

Лайфхак 2. Медиана — достройте до параллелограмма. Продлите медиану за сторону на её длину: получится параллелограмм, и сработают все его свойства.

Лайфхак 3. Середины сторон. Середины сторон параллелограмма (и вообще любого выпуклого четырёхугольника) образуют новый параллелограмм, площадь которого равна половине площади исходного четырёхугольника.

Лайфхак 4. Биссектриса и равнобедренный треугольник. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник: в нём есть две равные стороны, и это помогает связать длины отрезков одним уравнением.

Частые ошибки.

Путают соседние и противоположные углы: сумма $180^\circ$ — у соседних, равенство — у противоположных.
В качестве высоты берут наклонную сторону; высота должна быть перпендикулярна основанию.
В формуле $S=ab\sin\alpha$ берут не тот угол: он должен лежать между сторонами $a$ и $b$.
В периметре складывают только $a+b$, забывая умножить на 2.
Переносят свойства диагоналей ромба или прямоугольника на произвольный параллелограмм: у общего параллелограмма диагонали не равны и не перпендикулярны.

Разобранные примеры

Пример 1

В ромбе ABCD угол ACD равен 43°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ ромба AC является биссектрисой угла С, поэтому он равен 86°. Сумма углов B и C равна 180°, поэтому искомый угол B равен 94°.

Ответ: 94.

Пример 2

В ромбе ABCD угол ABC равен 122°;. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Сумма углов B и C равна 180°, поэтому угол С равен 58°. Диагональ ромба AC является биссектрисой угла С, поэтому искомый угол ACD равен 29°.

Ответ: 29.

Пример 3

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 38.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей. Следовательно, $S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 38 = 76.$

Ответ: 76.

Источники

«Свойства параллелограмма в задачах геометрии», Профи.ру (раздел «Медиа»)
«Параллелограмм», Википедия
Справочник «Планиметрия. Вся теория для ЕГЭ», Школково
«Многоугольники», материалы занятия по подготовке к ЕГЭ, abitur.ivanovo.ac.ru, 2022
«Методические материалы по планиметрии (четырёхугольники)», nitforyou.com, 2026
«ЕГЭ: разбор заданий», nitforyou.com, 2026

У1
Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону, если она на 3 больше меньшей стороны.
У2
Периметр прямоугольника равен 42, а площадь 98. Найдите большую сторону прямоугольника.
У3
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
У4
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
У5
Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
У6
Один угол параллелограмма больше другого на 70°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
У7
Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторона параллелограмма на 3 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
У8
Найдите высоту ромба, сторона которого равна  $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а острый угол равен 60°.
У9
Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.
У10
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.
У11
Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма $A'B'C'D',$ вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
У12
Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E  — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
У13
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 176, а отношение соседних сторон равно 4 : 11.
У14
Периметр прямоугольника равен 54, а диагональ равна 26. Найдите площадь этого прямоугольника.
У15
Площадь параллелограмма равна 12, две его стороны равны 4 и 8. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
У16
Площадь ромба равна 66. Одна из его диагоналей равна 4. Найдите другую диагональ.
У17
Сумма двух углов параллелограмма равна 62°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
У18
Найдите высоту ромба, сторона которого равна  $11 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а острый угол равен 60°.
У19
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 35.
У20
Диагонали ромба относятся как 1 : 9. Периметр ромба равен 164. Найдите высоту ромба.
У21
В ромбе ABCD угол DAB равен 136°. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.
У22
Площадь параллелограмма ABCD равна 123. Точка E  — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции EBCD.
У23
Площадь параллелограмма ABCD равна 155. Точка E  — середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.
У24
Периметр прямоугольника равен 24, а диагональ равна 11. Найдите площадь этого прямоугольника.
У25
Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.
У26
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 15 и 6.
У27
Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей в 4 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
У28
Периметр параллелограмма равен 70. Меньшая сторона равна 16. Найдите большую сторону параллелограмма.
У29
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2 :7, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
У30
Площадь параллелограмма ABCD равна 70. Точка E  — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

Д1
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 272, а отношение соседних сторон равно 4 : 17.
Д2
Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.
Д3
Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
Д4
Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.
Д5
Сумма двух углов параллелограмма равна 100°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Д6
Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26° и 34°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Д7
Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найдите больший из углов, который образует диагональ со сторонами прямоугольника? Ответ выразите в градусах.
Д8
Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3 : 7. Ответ дайте в градусах.
Д9
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
Д10
Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Д11
Угол между стороной и диагональю ромба равен 54°. Найдите острый угол ромба.
Д12
Площадь прямоугольника равна 54. Найдите его большую сторону, если она на 3 больше меньшей стороны.
Д13
Периметр прямоугольника равен 42, а площадь 108. Найдите большую сторону прямоугольника.
Д14
Стороны параллелограмма равны 38 и 76. Высота, опущенная на первую сторону, равна 57. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Д15
Найдите площадь ромба, если его высота равна 4, а острый угол равен 30°.
Д16
Площадь ромба равна 867. Одна из его диагоналей в 6 раз больше другой. Найдите меньшую диагональ.
Д17
Периметр параллелограмма равен 94. Одна сторона параллелограмма на 41 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Д18
Две стороны параллелограмма относятся как 1 : 4, а периметр его равен 30. Найдите большую сторону параллелограмма.
Д19
Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна  $11 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а острый угол равен 60°.
Д20
Диагонали четырехугольника равны 6 и 2. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Д21
В ромбе ABCD угол CAD равен 34°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Д22
Площадь параллелограмма ABCD равна 14. Найдите площадь параллелограмма $A'B'C'D',$ вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Д23
Площадь параллелограмма ABCD равна 12. Точка E  — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Д24
Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.
Д25
Найдите площадь ромба, если его высота равна 3, а острый угол равен 30°.
Д26
Площадь ромба равна 30. Одна из его диагоналей равна 6. Найдите другую диагональ.
Д27
Сумма двух углов параллелограмма равна 46°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Д28
Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 17, а периметр его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма.
Д29
Площадь параллелограмма ABCD равна 117. Точка E  — середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.
Д30
Периметр прямоугольника равен 74, а площадь равна 36,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Формула	Когда применять
\(P=2(a+b)\)	две соседние стороны
\(S=a\cdot h_a\)	сторона и высота, проведённая к ней (перпендикуляр к стороне)
\(S=ab\sin\alpha\)	две соседние стороны и угол \(\alpha\) между ними
\(S=\tfrac12 d_1d_2\sin\varphi\)	диагонали и угол \(\varphi\) между ними