Задание 1 · Планиметрия (краткий ответ)

1.5. Трапеция

Для репетитора: показать ответы

1. Трапеция: определение и элементы

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны — основания ($BC$ и $AD$), непараллельные — боковые стороны ($AB$ и $CD$). Сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$.

Равнобедренная (равнобокая) трапеция — боковые стороны равны.
Прямоугольная трапеция — одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

2. Средняя линия и площадь

Средняя линия соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме:

$MN=\dfrac{AD+BC}{2}$.

Величина	Формула
Площадь через основания и высоту	$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h$
Площадь через среднюю линию	$S=MN\cdot h$
Площадь через диагонали	$S=\tfrac12 d_1d_2\sin\varphi$, где $\varphi$ — угол между диагоналями
Отрезок, соединяющий середины диагоналей	$\dfrac{\|AD-BC\|}{2}$

3. Диагонали трапеции

Пусть диагонали пересекаются в точке $O$, основания — $AD$ и $BC$.

Треугольники $AOD$ и $COB$, прилежащие к основаниям, подобны с коэффициентом $k=\dfrac{AD}{BC}$; их площади относятся как $k^2$.
Треугольники $AOB$ и $COD$, прилежащие к боковым сторонам, равновелики: $S_{AOB}=S_{COD}$.
Если $S_1$ и $S_2$ — площади треугольников при основаниях, а $S$ — площадь каждого из треугольников при боковых сторонах, то $S_1\cdot S_2=S^2$.
Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям (с концами на боковых сторонах), равен $\dfrac{2ab}{a+b}$, где $a$ и $b$ — основания.

4. «Замечательная прямая» и биссектрисы

Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

5. Равнобедренная трапеция

Углы при каждом основании равны.
Диагонали равны.
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Признаки равнобедренности: равны углы при основании, или равны диагонали, или трапецию можно вписать в окружность.
Если из вершин меньшего основания $BC$ опустить высоты на большее основание $AD$, то основание разобьётся на три части: две проекции боковых сторон по $\dfrac{AD-BC}{2}$ и средняя часть, равная $BC$. Расстояние от вершины тупого угла до дальнего конца большего основания равно $\dfrac{AD+BC}{2}$.

6. Трапеция и окружности

Вписанная окружность: в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон: $AD+BC=AB+CD$. Центр — на пересечении биссектрис, высота равна диаметру: $h=2r$.
Описанная окружность: существует только у равнобедренной трапеции. Её центр лежит на серединном перпендикуляре к основаниям и может оказаться внутри трапеции, вне её или на большем основании.

7. Дополнительные построения

Через вершину меньшего основания проведите прямую, параллельную боковой стороне: трапеция разобьётся на параллелограмм и треугольник; отрезки параллелограмма равны сторонам трапеции.
Через вершину меньшего основания проведите прямую, параллельную диагонали: получится треугольник со сторонами, равными диагоналям, и третьей стороной, равной сумме оснований; его площадь равна площади трапеции.
Опустите из вершин меньшего основания две высоты.
Продлите боковые стороны до пересечения: трапеция станет частью треугольника, а треугольники при основаниях будут подобны.

Лайфхак 1. Параллельный перенос боковой стороны. Если в трапеции неудобно искать высоту, проведите через конец меньшего основания прямую, параллельную боковой стороне: образуются параллелограмм и треугольник, в которых легко считать площадь.

Лайфхак 2. Общая высота — отношение оснований. У треугольников с общей высотой площади относятся как основания, а при общем основании — как высоты. Для трапеции это сразу даёт отношения площадей частей, на которые её делят диагонали.

Лайфхак 3. Равнобедренная трапеция. Опустите высоту из вершины тупого угла: проекция боковой стороны равна полуразности оснований, и дальше работает прямоугольный треугольник.

Лайфхак 4. Подобие при диагоналях. Нашли точку пересечения диагоналей — ищите подобные треугольники, прилежащие к основаниям: коэффициент подобия равен отношению оснований.

Разобранные примеры

Пример 1

Основания равнобедренной трапеции равны 25 и 23. Высота трапеции равна 1. Найдите тангенс острого угла.

Решение

Последовательно получаем:

$тангенс \angle CDA = дробь: числитель: CE, знаменатель: ED конец дроби = 1 : дробь: числитель: AD минус BC, знаменатель: 2 конец дроби = 1 : 1 = 1.$

Ответ: 1.

Пример 2

Средняя линия трапеции равна 5, а меньшее основание равно 2. Найдите большее основание трапеции.

Решение

Пусть длина большего основания равна x. Длина средней линии равна полусумме длин оснований, поэтому $2 плюс x = 2 умножить на 5,$ откуда $x = 8.$

Ответ: 8.

Пример 3

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен  $дробь: числитель: 5, знаменатель: 11 конец дроби .$ Найдите высоту трапеции.

Решение

Последовательно получаем:

$CE = ED умножить на тангенс \angle CDA = дробь: числитель: AD минус BC, знаменатель: 2 конец дроби умножить на тангенс \angle CDA = 22 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 11 конец дроби = 10.$

Ответ: 10.

Источники

Справочник «Планиметрия. Вся теория для ЕГЭ», Школково
«Методические материалы по планиметрии (четырёхугольники)», nitforyou.com, 2026
«Многоугольники», материалы занятия по подготовке к ЕГЭ, abitur.ivanovo.ac.ru, 2022
«ЕГЭ: разбор заданий», nitforyou.com, 2026
«Описанная и вписанная окружность», методический материал школы, gosuslugi.ru

У1
Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
У2
Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен  $дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби .$ Найдите меньшее основание.
У3
Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.
У4
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
У5
Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
У6
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
У7
Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50°? Ответ дайте в градусах.
У8
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
У9
Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.
У10
Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.
У11
Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.
У12
Основания равнобедренной трапеции равны 28 и 15. Тангенс острого угла равен  $дробь: числитель: 11, знаменатель: 13 конец дроби .$ Найдите высоту трапеции.
У13
Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 18, а ее площадь равна 60. Найдите периметр трапеции.
У14
Основания прямоугольной трапеции равны 14 и 18. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
У15
Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
У16
Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 70°? Ответ дайте в градусах.
У17
Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 19, отсекает треугольник, периметр которого равен 39. Найдите периметр трапеции.
У18
Основания трапеции равны 12 и 60. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
У19
Высота трапеции равна 9, площадь равна 45. Найдите среднюю линию трапеции.
У20
Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 7. Высота трапеции равна 27. Найдите тангенс острого угла трапеции.
У21
Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 20, а её площадь равна 112. Найдите периметр трапеции.
У22
Основания трапеции равны 5 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
У23
Основания трапеции равны 6 и 48. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
У24
Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 23. Высота трапеции равна 20. Найдите тангенс острого угла трапеции.
У25
Основания трапеции равны 8 и 20. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
У26
Основания трапеции равны 7 и 18. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Д1
Основания равнобедренной трапеции равны 27 и 33. Косинус острого угла трапеции равен  $дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ Найдите боковую сторону.
Д2
Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6. Высота трапеции равна 10. Тангенс острого угла равен 2. Найдите большее основание.
Д3
Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.
Д4
Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.
Д5
Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
Д6
Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
Д7
Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.
Д8
В равнобедренной трапеции большее основание равно 25, боковая сторона равна 10, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание.
Д9
Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 9, один из углов равен 45°. Найдите высоту трапеции.
Д10
Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции.
Д11
Большее основание равнобедренной трапеции равно 12. Боковая сторона равна 5. Синус острого угла равен 0,8. Найдите меньшее основание.
Д12
Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 20, а ее периметр равен 44. Найдите площадь трапеции.
Д13
Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 1 и 7, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.
Д14
Основания равнобедренной трапеции равны 13 и 25, а ее площадь равна 152. Найдите боковую сторону трапеции.
Д15
Основания трапеции равны 5 и 11, боковая сторона равна 9. Площадь трапеции равна 36. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.
Д16
Основания трапеции равны 6 и 8. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Д17
Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 74 и 41. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Д18
Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 16. Синус острого угла трапеции равен 0,6. Найдите боковую сторону.
Д19
Большее основание равнобедренной трапеции равно 25. Боковая сторона равна 3. Синус острого угла равен  $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$ Найдите меньшее основание.
Д20
Основания прямоугольной трапеции равны 15 и 23. Ее площадь равна 152. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Д21
Средняя линия трапеции равна 9, а меньшее основание равно 4. Найдите большее основание трапеции.
Д22
Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 38 и 23. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Д23
Большее основание равнобедренной трапеции равно 18. Боковая сторона равна 3. Синус острого угла равен  $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите меньшее основание.
Д24
Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 11, а её площадь равна 32. Найдите периметр трапеции.
Д25
Основания трапеции равны 6 и 62. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Величина	Формула
Площадь через основания и высоту	\(S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h\)
Площадь через среднюю линию	\(S=MN\cdot h\)
Площадь через диагонали	\(S=\tfrac12 d_1d_2\sin\varphi\), где \(\varphi\) — угол между диагоналями
Отрезок, соединяющий середины диагоналей	\(\dfrac{\|AD-BC\|}{2}\)