Задание 1 · Планиметрия (краткий ответ)

1.6. Центральные и вписанные углы

Для репетитора: показать ответы

1. Центральный угол и дуга

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Вся окружность — $360^\circ$, полуокружность (дуга, стягиваемая диаметром) — $180^\circ$.

2. Вписанный угол

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть половине дуги, на которую он опирается: $\angle ABC=\tfrac12\angle AOC=\tfrac12\smile AC$.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

3. Другие углы, связанные с окружностью

Угол	Чему равен
между двумя пересекающимися хордами	полусумме дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями: $\alpha=\tfrac12(\smile AB+\smile CD)$
между двумя секущими, проведёнными из одной точки вне окружности	полуразности дальней и ближней дуг: $\alpha=\tfrac12(\smile AB-\smile CD)$
между касательной и хордой	вписанному углу, опирающемуся на дугу, отсечённую этой хордой (то есть половине этой дуги)

4. Хорды и дуги

Равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам; и обратно: радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
Две параллельные прямые, пересекающие окружность, высекают на ней равные хорды, а дуги между параллельными хордами равны.
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны: $AO\cdot OC=BO\cdot OD$.

5. Площади круга и сектора

Площадь круга: $S=\pi R^2$.
Площадь сектора с центральным углом $\alpha$: $S=\pi R^2\cdot\dfrac{\alpha}{360^\circ}$.

6. Как решать задачу №1 на углы в окружности

Найдите на чертеже, на какие дуги опираются данные и искомые углы, и выпишите эти дуги.
Определите, какой это угол: центральный, вписанный, между хордами, секущими или касательной и хордой, — и выберите формулу.
Ищите диаметр: угол, опирающийся на него, прямой, а значит, появляется прямоугольный треугольник.
Если есть радиусы, отметьте равнобедренные треугольники: два радиуса — это две равные стороны.
Если вписанных углов несколько и они опираются на одну дугу, они равны.

Лайфхак 1. Сначала выпишите дуги. Если в задаче несколько вписанных углов на одну дугу, сперва перечислите все дуги, на которые они опираются, и только потом считайте.

Лайфхак 2. Диаметр — это прямой угол. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$; ищите его, даже если в условии про диаметр не сказано явно.

Лайфхак 3. Параллельные хорды. Дуги между параллельными хордами равны, поэтому опирающиеся на них вписанные углы тоже равны.

Лайфхак 4. Касательная и радиус. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: получаете прямоугольный треугольник, где работают теорема Пифагора и тригонометрия.

Частые ошибки.

Считают, что хорда стягивает одну дугу. Она стягивает две разные дуги, поэтому всегда уточняйте, на какую дугу опирается угол.
Путают острый и тупой угол: если получился тупой угол, а нужен смежный с ним, вычтите его из $180^\circ$.

Разобранные примеры

Пример 1

Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым.

Ответ: 90.

Пример 2

Отрезки AC и BD  — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 41°. Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности, следовательно,

$\angle AOD = 180 градусов минус \angle AOB = 180 градусов минус 2 \angle ACB = 180 градусов минус 82 градусов = 98 градусов.$

Ответ: 98.

Пример 3

Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 118° и 38°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол между двумя секущими равен полуразности высекаемых ими дуг:

$\angle ACB = дробь: числитель: \overset\smile, знаменатель: AB конец дроби минус \overset\smileDE2 = дробь: числитель: 118 градусов минус 38 градусов, знаменатель: 2 конец дроби = 40 градусов.$

Ответ: 40.

Источники

«Окружности. Теория», Школково
Справочник «Планиметрия. Вся теория для ЕГЭ», Школково
«Задачи на вписанные углы» (математика, профильный уровень), olympmo.ru, 2020
«ЕГЭ: разбор заданий», nitforyou.com, 2026

У1
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32°.
У2
Центральный угол на 36° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
У3
Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200°. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
У4
Угол ACB равен 42°. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
У5
Угол ABD равен 53°. Угол ВСА равен 38°. Найдите вписанный угол BCD. Ответ дайте в градусах.
У6
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 102° , угол CAD равен 46°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
У7
Центральный угол на 15° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
У8
Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 210°. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 30°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
У9
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно 122° и 34°. Ответ дайте в градусах.
У10
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, равен 156°. Найдите число вершин многоугольника.
У11
Центральный угол на 48° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
У12
Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 225°. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 19°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
У13
В окружности с центром O AC и BD  — диаметры. Центральный угол AOD равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
У14
Центральный угол окружности на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу данной окружности. Найдите центральный угол. Ответ дайте в градусах.
У15
В окружности с центром O AC и BD  — диаметры. Вписанный угол ACB равен 9°. Найдите центральный угол AOD. Ответ дайте в градусах.
У16
Угол ACB равен 51°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 144°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
У17
Центральный угол на 27° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
У18
Центральный угол на 28° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.
У19
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
У20
На окружности по разные стороны от диаметра MN взяты точки K и P. Известно, что $\angle MNP = 36 градусов .$ Найдите $\angle PKN.$ Ответ дайте в градусах.
У21
Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
У22
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки D и C. Известно, что $\angle DBA = 43 градусов .$ Найдите $\angle DCB.$ Ответ дайте в градусах.
У23
Найдите центральный угол AOB, если он на $16 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
У24
Найдите центральный угол AOB, если он на $58 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
У25
Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет $85 градусов.$ А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет $103 градусов.$ Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Д1
Найдите центральный угол AOB, если он на 67° больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
Д2
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$  окружности. Ответ дайте в градусах.
Д3
В окружности с центром O отрезки AC и BD  — диаметры. Вписанный угол ACB равен 38°. Найдите центральный угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Д4
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 61°, угол CAD равен 37° Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Д5
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, равен 160°. Найдите число вершин многоугольника.
Д6
Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
Д7
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби$  окружности. Ответ дайте в градусах.
Д8
В окружности с центром O AC и BD  — диаметры. Вписанный угол ACB равен 53°. Найдите центральный угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Д9
Угол ACB равен 3°. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
Д10
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Д11
Найдите вписанный угол ABC, опирающийся на дугу AC, длина которой равна  $дробь: числитель: 11, знаменатель: 36 конец дроби$  длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Д12
Отрезки AC и BD  — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 67°. Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.
Д13
Угол ACB равен 14,5°. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 117°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
Д14
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.
Д15
Отрезки AC и BD  — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 66°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Д16
Вписанный угол окружности на 42° меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу данной окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Д17
Центральный угол на 33° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Д18
Вписанный угол ACB окружности на 56° меньше центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу данной окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Д19
В окружности с центром O отрезки AC и BD  — диаметры. Центральный угол AOD равен 110°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Д20
Найдите центральный угол AOB, если он на $59 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
Д21
В окружности с центром O AC и BD  — диаметры. Центральный угол AOD равен 122°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Д22
Найдите центральный угол AOB, если он на $24 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
Д23
Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет $155 градусов.$ А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет $61 градусов.$ Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Д24
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $дробь: числитель: 11, знаменатель: 36 конец дроби$ окружности. Ответ дайте в градусах.