Задание 1 · Планиметрия (краткий ответ)

1.7. Касательная, хорда, секущая

Для репетитора: показать ответы

1. Основные понятия

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Самая длинная хорда — диаметр.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.
Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку (точку касания).

2. Касательная

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Центр окружности лежит на биссектрисе угла между этими касательными (прямая из точки через центр образует с ними равные углы).
Радиус, касательная и отрезок от внешней точки до центра образуют прямоугольный треугольник: $OA^2=R^2+AT^2$ (где $T$ — точка касания, $OA$ — расстояние до центра).

3. Хорды

Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам, и обратно: радиус, делящий хорду пополам, ей перпендикулярен.
Равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот.
Параллельные прямые высекают на окружности равные хорды.
Пересекающиеся хорды: произведения отрезков хорд равны: $AO\cdot OC=BO\cdot OD$.

4. Касательная и секущая из одной точки

Пусть из точки $O$ вне окружности проведены касательная $OK$ и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ ($A$ ближе к $O$). Тогда:

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть: $OK^2=OA\cdot OB$.
Для двух секущих из одной точки: $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ — произведение секущей на её внешнюю часть постоянно для данной точки и окружности.
Подобие: $\triangle OAK\sim\triangle OKB$ (касательная и секущая); для двух секущих $\triangle OAD\sim\triangle OCB$; для пересекающихся хорд $\triangle AOB\sim\triangle DOC$ и $\triangle AOD\sim\triangle BOC$.

5. Углы

Угол	Формула
между касательной и хордой	равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, отсечённую хордой
между пересекающимися хордами	$\alpha=\tfrac12(\smile AB+\smile CD)$ — полусумма дуг
между секущими из одной точки	$\alpha=\tfrac12(\smile AB-\smile CD)$ — полуразность дальней и ближней дуг
вписанный	половина дуги, на которую опирается

6. Касательные в треугольнике

Если окружность вписана в треугольник, то отрезок касательной от вершины до точки касания равен $p-a$, где $p$ — полупериметр, а $a$ — сторона, противолежащая этой вершине.

7. Алгоритм решения

Проведите радиусы в точки касания и в концы хорды: появятся прямоугольные и равнобедренные треугольники.
Если из одной точки выходят касательная и секущая (или две секущие), запишите произведение секущей на внешнюю часть.
Если хорды пересекаются, запишите произведения отрезков хорд.
Если нужны отрезки в стороне треугольника или четырёхугольника с вписанной окружностью, используйте равенство касательных из одной вершины.
Если нужен угол — выберите по рисунку формулу из таблицы выше.

Лайфхак 1. Касательная и радиус. В любой задаче с касательной сразу проведите радиус в точку касания: прямоугольный треугольник обычно решает задачу через теорему Пифагора или тригонометрию.

Лайфхак 2. Подобие вместо вычислений. Для касательной и секущей, двух секущих и пересекающихся хорд есть готовые пары подобных треугольников — из них же получается соответствующее произведение отрезков.

Лайфхак 3. Радиус и середина хорды. Если известна длина хорды и расстояние до центра, опустите перпендикуляр из центра: он делит хорду пополам и даёт прямоугольный треугольник с радиусом в качестве гипотенузы.

Лайфхак 4. Равные касательные. Из одной внешней точки отрезки касательных равны; в вершине многоугольника с вписанной окружностью равны два отрезка, прилегающие к ней.

Разобранные примеры

Пример 1

Хорда AB стягивает дугу окружности в 70°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними, поэтому он равен 35°.

Ответ: 35.

Пример 2

Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Угол СAB равен 35°. Найдите угол AОB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Следовательно, величина меньшей дуги АВ окружности равна 70°. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается, поэтому угол АОВ равен 70°.

Ответ: 70.

Пример 3

Угол ACO равен 28°, где O  — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, приведённому в точку касания, поэтому треугольник AOC  — прямоугольный. Его острый угол O равен  $90 градусов минус 28 градусов = 62 градусов.$ Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, поэтому он также равен 62°.

Ответ: 62.

Источники

«Окружности. Теория», Школково
Справочник «Планиметрия. Вся теория для ЕГЭ», Школково
«ЕГЭ: разбор заданий», nitforyou.com, 2026
«Описанная и вписанная окружность», методический материал школы, gosuslugi.ru

У1
Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 3.
У2
Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
У3
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, сторона CO пересекает окружность в точке B, дуга АВ окружности, заключённая внутри этого угла, равна 64°. Ответ дайте в градусах.
У4
Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса  $35 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
У5
Хорда AB стягивает дугу окружности в 116°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
У6
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, а меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 37°. Ответ дайте в градусах.
У7
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 152°. Ответ дайте в градусах.
У8
Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса  $42 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
У9
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 34°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
У10
Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 37.
У11
Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 25.
У12
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
У13
Угол ACO равен 24°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке О. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
У14
Угол ACO равен 39°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
У15
Хорда AB стягивает дугу окружности в $82 градусов.$ Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
У16
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, а меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна $56 градусов.$ Ответ дайте в градусах.
У17
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна $146 градусов.$ Ответ дайте в градусах.
У18
Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как $1 : 3.$ Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
У19
Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Угол СAB равен 63°. Найдите угол AОB. Ответ дайте в градусах.
У20
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный $36 градусов.$ Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
У21
Угол ACO равен $13 градусов,$ где O  — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
У22
Найдите хорду, на которую опирается угол $120 градусов,$ вписанный в окружность радиуса $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
У23
Хорда AB стягивает дугу окружности в $64 градусов.$ Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
У24
Через концы A, B дуги окружности в $124 градусов$ проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
У25
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, а меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна $45 градусов.$ Ответ дайте в градусах.

Д1
Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса  $22 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
Д2
Через концы A, B дуги окружности в 62° проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Д3
Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 28.
Д4
Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 3 : 5. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Д5
Через концы A, B дуги окружности в 54° проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Д6
Угол ACO равен 35°, где O  — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Д7
Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 43.
Д8
Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Угол СAB равен 17°. Найдите угол AОB. Ответ дайте в градусах.
Д9
Угол ACO равен 46°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.) Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Д10
Угол ACO равен 58°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.) Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Д11
Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Угол СAB равен 32°. Найдите угол AОB. Ответ дайте в градусах.
Д12
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, сторона CO пересекает окружность в точках B и D, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116°. Ответ дайте в градусах.
Д13
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 78°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Д14
Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как $11 : 61.$ Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Д15
Через концы A, B дуги окружности в 114° проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Д16
Угол ACO равен $14 градусов,$ где O  — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Д17
Найдите хорду, на которую опирается угол $120 градусов,$ вписанный в окружность радиуса $37 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
Д18
Хорда AB стягивает дугу окружности в $42 градусов.$ Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Д19
Через концы A, B дуги окружности в $112 градусов$ проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Д20
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, а меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна $32 градусов.$ Ответ дайте в градусах.
Д21
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O  — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна $136 градусов.$ Ответ дайте в градусах.
Д22
Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как $1 : 2.$ Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Д23
Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Угол СAB равен 31°. Найдите угол AОB. Ответ дайте в градусах.
Д24
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный $82 градусов.$ Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.