‹ База знаний

Задание 1 · Планиметрия (краткий ответ)

1.8. Вписанные окружности

Для репетитора: показать ответы

1. Что значит «окружность вписана»

Окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон. Отрезки касательных, проведённых из одной вершины, равны. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне.

2. Треугольник

3. Четырёхугольник

4. Частные случаи

ФигураВписанная окружность
Квадратесть всегда; центр — точка пересечения диагоналей
Ромбесть всегда; центр — точка пересечения диагоналей; \(S=\tfrac12Pr\)
Прямоугольник (не квадрат), параллелограмм (не ромб)вписать окружность нельзя
Трапецияесть, если сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(AD+BC=AB+CD\); высота равна диаметру: \(h=2r\); центр — пересечение биссектрис

5. Как решать задачу №1 про вписанную окружность

  1. Отметьте точки касания и равные касательные отрезки из каждой вершины; обозначьте их буквами.
  2. Для треугольника выберите: площадь и полупериметр — \(r=\dfrac Sp\); прямоугольный треугольник — \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\).
  3. Для четырёхугольника с вписанной окружностью запишите равенство сумм противоположных сторон — это уравнение для неизвестной стороны.
  4. Проведите радиусы в точки касания: они перпендикулярны сторонам, и получаются прямоугольные треугольники.
  5. Если центр лежит на пересечении биссектрис, используйте это для нахождения углов: центр видит угол \(90^\circ+\tfrac12\) третьего угла (для треугольника с центром \(I\): \(\angle AIC=90^\circ+\tfrac{\angle B}{2}\)).
Лайфхак 1. Площадь двумя способами. Формула \(S=pr\) в связке с любой другой формулой площади (через высоту, через две стороны и синус, по формуле Герона) почти всегда сразу даёт радиус.
Лайфхак 2. Высота трапеции — диаметр. Если в трапецию вписана окружность, высота равна \(2r\), а сумма боковых сторон равна сумме оснований: этих двух фактов обычно хватает для решения.
Лайфхак 3. Прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности считайте по формуле \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\): не нужно искать площадь и периметр.
Лайфхак 4. Проверяйте существование. Прежде чем использовать вписанную окружность в четырёхугольнике, убедитесь, что она вообще бывает: суммы противоположных сторон должны быть равны.
Частые ошибки.
  • Ожидают вписанную окружность у любого четырёхугольника. Она есть только у выпуклого четырёхугольника с равными суммами противоположных сторон.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 45.

Решение

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети высоты. Следовательно, он равен 15.

Ответ: 15.

Пример 2

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите длину её средней линии.

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований трапеции равна полупериметру, то есть равна 20. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому она равна 10.

Ответ: 10.

Пример 3

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то есть равна 8. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому она равна 4.

Ответ: 4.

Источники
  • «Описанная и вписанная окружность», методический материал школы, gosuslugi.ru
  • «Окружности. Теория», Школково
  • Справочник «Планиметрия. Вся теория для ЕГЭ», Школково
  • «ЕГЭ: разбор заданий», nitforyou.com, 2026
  • «Базовая теория по планиметрии», методические материалы к ЕГЭ, nitforyou.com, 2026
  1. У1

    Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

  2. У2

    Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

  3. У3

    Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен  дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби . Найдите сторону этого треугольника.

  4. У4

    Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

  5. У5

    Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

  6. У6

    К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

  7. У7

    Периметр треугольника равен 76, а радиус вписанной окружности равен 8. Найдите площадь этого треугольника.

  8. У8

    Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 39.

  9. У9

    Сторона ромба равна 20, острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

  10. У10

    Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен  10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .

  11. У11

    В треугольнике ABC стороны AC  =  37,5, BC  =  20, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.

  12. У12

    Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

  13. У13

    Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 84. Найдите длину её средней линии.

  14. У14

    В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB  =  22, CD  =  77. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

  15. У15

    В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB  =  8, BC  =  8 и CD  =  33. Найдите четвертую сторону четырехугольника.

  16. У16

    В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 76, вписана окружность, AB  =  14. Найдите длину стороны CD.

  17. У17

    Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен  дробь: числитель: 25 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби . Найдите сторону этого треугольника.

  18. У18

    Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны  30 плюс 15 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

  19. У19

    Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 544, основание равно 512. Найдите радиус вписанной окружности.

  20. У20

    Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 27 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.

  21. У21

    В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB  =  44, CD  =  55. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

  22. У22

    В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 44, вписана окружность, AB  =  5. Найдите длину стороны CD.

  23. У23

    Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 48.

  24. У24

    В треугольнике ABC известно, что AC  =  24, BC  =  10, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.

  25. У25

    Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 19 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

  26. У26

    В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB  =  22, CD  =  29. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

  27. У27

    В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 22, вписана окружность, AB  =  8. Найдите длину стороны CD.

  28. У28

    Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 17, основание равно 16. Найдите радиус вписанной окружности.

  29. У29

    В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB  =  10 и CD  =  17. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

  30. У30

    Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 19. Найдите среднюю линию трапеции.

  1. Д1

    Площадь треугольника равна 14, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.

  2. Д2

    Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 138.

  3. Д3

    Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

  4. Д4

    В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB  =  10, CD  =  16. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

  5. Д5

    В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB  =  10, BC  =  11 и CD  =  15. Найдите четвертую сторону четырехугольника.

  6. Д6

    В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 54, вписана окружность, AB  =  18. Найдите длину стороны CD.

  7. Д7

    Около окружности, радиус которой равен 1, описан многоугольник, периметр которого равен 8. Найдите его площадь.

  8. Д8

    Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен  дробь: числитель: 49 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби . Найдите сторону этого треугольника.

  9. Д9

    Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 9. Найдите сторону ромба.

  10. Д10

    Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной  86 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .

  11. Д11

    Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 136, основание равно 128. Найдите радиус вписанной окружности.

  12. Д12

    Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 11 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.

  13. Д13

    Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 42. Найдите радиус окружности.

  14. Д14

    В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 48, вписана окружность, AB  =  15. Найдите CD.

  15. Д15

    К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 8, 23, 78. Найдите периметр данного треугольника.

  16. Д16

    Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 50. Найдите его площадь.

  17. Д17

    Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной 64 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .

  18. Д18

    В треугольнике ABC известно, что AC  =  36, BC  =  15, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.

  19. Д19

    Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 9 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

  20. Д20

    Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности.

  21. Д21

    В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB  =  12, BC  =  4 и CD  =  46. Найдите четвертую сторону четырехугольника.

  22. Д22

    Около окружности, радиус которой равен 7, описан многоугольник, периметр которого равен 50. Найдите его площадь.

  23. Д23

    Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны  62 плюс 31 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

  24. Д24

    Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 13, основание равно 24. Найдите радиус вписанной окружности.

  25. Д25

    Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.

  26. Д26

    В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB  =  41, CD  =  46. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

  27. Д27

    В треугольнике ABC стороны AC  =  12, BC  =  5, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.

  28. Д28

    Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 12 и 14. Найдите среднюю линию трапеции.

  29. Д29

    В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB  =  22, CD  =  77. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

  30. Д30

    В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB  =  13, CD  =  18. Найдите периметр четырехугольника ABCD.