Задание 1 · Планиметрия (краткий ответ)

1.9. Описанные окружности

Для репетитора: показать ответы

1. Что значит «окружность описана»

Окружность описана около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Центр описанной окружности равноудалён от вершин и лежит на серединных перпендикулярах к сторонам.

2. Треугольник

Около любого треугольника можно описать ровно одну окружность; центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Остроугольный треугольник — центр внутри; тупоугольный — снаружи; прямоугольный — центр в середине гипотенузы, $R=\dfrac c2$ (медиана к гипотенузе равна её половине).
Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$.
Площадь: $S=\dfrac{abc}{4R}$.

3. Четырёхугольник

Описать окружность можно не около всякого четырёхугольника.
Свойство и признак: четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
Углы, опирающиеся на одну сторону (из вершин по одну сторону от неё), равны; верно и обратное — это тоже признак вписанности.
Угол вписанного четырёхугольника равен углу, смежному с противолежащим ему.
Вписанность следует также из наличия точки, равноудалённой от всех вершин, и из двух прямых углов, опирающихся на одну сторону (она — диаметр).
Теорема Птолемея: для вписанного четырёхугольника $d_1\cdot d_2=ac+bd$ (произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон).
Формула Брахмагупты: $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где $p$ — полупериметр.

4. Частные случаи

Фигура	Описанная окружность
Прямоугольник	есть всегда; центр — точка пересечения диагоналей; $R=\dfrac d2$, где $d=\sqrt{a^2+b^2}$
Квадрат	есть всегда; центр — точка пересечения диагоналей; $R=\dfrac d2$
Равнобедренная трапеция	есть всегда; центр лежит на серединном перпендикуляре к основаниям и может быть внутри трапеции, снаружи или на большем основании
Параллелограмм, не являющийся прямоугольником; ромб, не являющийся квадратом	описать окружность нельзя

5. Как решать задачу №1 про описанную окружность

Определите вид треугольника. Прямоугольный — сразу $R=\tfrac c2$.
Если дан угол и противолежащая ему сторона, применяйте теорему синусов: $2R=\dfrac{a}{\sin\alpha}$.
Если известны три стороны и площадь, $R=\dfrac{abc}{4S}$.
Для четырёхугольника проверьте, что противоположные углы дают в сумме $180^\circ$: тогда четырёхугольник вписанный, и можно пользоваться равенством углов, опирающихся на одну сторону.
Проводите радиусы в вершины: получаются равнобедренные треугольники с боковыми сторонами $R$.

Лайфхак 1. Прямой угол — диаметр. Если угол вписанного треугольника прямой, гипотенуза — диаметр описанной окружности, центр — её середина. И обратно: угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

Лайфхак 2. Теорема синусов даёт радиус сразу. Если в треугольнике известна сторона и противолежащий угол, радиус находится в одно действие: $R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}$.

Лайфхак 3. Сначала проверьте углы. Для четырёхугольника, вписанного в окружность, сначала проверьте равенство углов или сумму противоположных углов, и только потом используйте эти свойства.

Лайфхак 4. Медиана к гипотенузе. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы — это даёт равнобедренный треугольник и равные углы.

Разобранные примеры

Пример 1

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии. Поэтому он равен 180° − 58°  =  122°.

Ответ: 122.

Пример 2

Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.

Решение

Найдем сторону шестиугольника: 108 : 6 = 18.

Рассмотрим треугольник AOB. Радиус описанной вокруг шестиугольника окружности равен его стороне, а диаметр вдвое больше. Поэтому он равен 36.

Ответ: 36.

Пример 3

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 90°. Найдите число вершин многоугольника.

Решение

Сумма углов n-угольника равна 180°(n − 2). Каждый из них равен 90°, поэтому, с другой стороны, эта сумма равна 90°n. Решим уравнение 180°(n − 2)  =  90°n. Получим 90°n  =  360°, откуда n  =  4. Таким образом, многоугольник имеет 4 вершины.

Ответ: 4.

Источники

«Описанная и вписанная окружность», методический материал школы, gosuslugi.ru
«Окружности. Теория», Школково
Справочник «Планиметрия. Вся теория для ЕГЭ», Школково
«ЕГЭ: разбор заданий», nitforyou.com, 2026
«Базовая теория по планиметрии», методические материалы к ЕГЭ, nitforyou.com, 2026

У1
Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
У2
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $95 градусов,$ $49 градусов,$ $71 градусов,$ $145 градусов.$ Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
У3
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
У4
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
У5
В треугольнике ABC AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
У6
Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
У7
Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.
У8
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 108°. Найдите число вершин многоугольника.
У9
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 26°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
У10
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
У11
Сторона правильного треугольника равна $22 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
У12
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 2. Найдите высоту этого треугольника.
У13
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 2. Найдите гипотенузу этого треугольника.
У14
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
У15
Сторона AB треугольника ABC равна 40. Противолежащий ей угол C равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
У16
Сторона AB треугольника ABC равна 7. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
У17
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 52, средняя линия равна 21. Найдите боковую сторону трапеции.
У18
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 168°. Найдите число вершин многоугольника.
У19
Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 6 : 11. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
У20
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен $81 градусов,$ угол CAD равен $31 градусов.$ Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
У21
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $17 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите сторону этого треугольника.
У22
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 86. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
У23
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC  =  7, $BC= корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$ Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
У24
Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 28?
У25
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 48, средняя линия равна 19. Найдите боковую сторону трапеции.
У26
Периметр правильного шестиугольника равен 222. Найдите диаметр описанной окружности.
У27
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 83°, 81°, 64°, 132°. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
У28
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $20 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите сторону этого треугольника.
У29
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
У30
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 65° и 41°. Найдите больший из оставшихся углов этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Д1
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 48°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Д2
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Д3
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите сторону этого треугольника.
Д4
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Д5
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Д6
Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Д7
Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Д8
Одна сторона треугольника равна $корень из 2 ,$ радиус описанной окружности равен 1. Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.
Д9
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 76°, 101°, 106°, 77°. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Д10
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120°, угол ABD равен 43°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Д11
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $42 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите сторону этого треугольника.
Д12
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 28. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Д13
В треугольнике ABC сторона AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Д14
Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 39?
Д15
Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 36, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.
Д16
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 104, основание равно 192. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Д17
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 16° и 33°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Д18
В треугольнике ABC сторона AB равна $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ угол С равен 120°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Д19
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $50 градусов,$ $23 градусов,$ $25 градусов,$ $262 градусов.$ Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Д20
Сторона правильного треугольника равна $34 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Д21
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 30. Найдите высоту этого треугольника.
Д22
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 13. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Д23
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 27, угол при вершине, противолежащей основанию, равен $120 градусов.$ Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Д24
Сторона AB треугольника ABC равна 37. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Д25
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 24° и 67°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Д26
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Найдите число вершин многоугольника.
Д27
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен $56 градусов,$ угол CAD равен $53 градусов.$ Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Д28
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC  =  16, $BC=30.$ Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Д29
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 24, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.
Д30
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.