Задание 10 · Задачи с прикладным содержанием

10.2. Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Для репетитора: показать ответы

1. Какие формулы встречаются

Квадратичные формулы описывают, например, высоту брошенного мяча, путь торможения автомобиля, температуру нагревателя, выручку монополиста. Их график — парабола. Степенные формулы дают зависимость вида $pV^k=\text{const}$ (адиабатический процесс), расстояние через степень с дробным показателем, закон Архимеда или Стефана — Больцмана: из них неизвестную находят возведением в степень.

Общий порядок: выписать данные и единицы, подставить числа в формулу, получить квадратное (или степенное) уравнение либо неравенство, решить его, выбрать ответ по смыслу задачи.

2. Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$

Дискриминант: $D=b^2-4ac$. Корни: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$.
$D>0$ — два корня; $D=0$ — один (двукратный) корень; $D<0$ — действительных корней нет.
Если $b=2k$ (чётный второй коэффициент), удобнее считать $\dfrac D4=k^2-ac$; тогда $x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}$.
Теорема Виета: $x_1+x_2=-\dfrac ba$, $x_1x_2=\dfrac ca$. Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$: сумма корней $-p$, произведение $q$. Обратная теорема позволяет подбирать корни устно.
Разложение на множители: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Неполные уравнения

Вид	Решение
$ax^2=0$	$x=0$
$ax^2+c=0$	$x^2=-\dfrac ca$: два корня, если $-\dfrac ca>0$; корень $0$, если $-\dfrac ca=0$; корней нет, если $-\dfrac ca<0$
$ax^2+bx=0$	$x(ax+b)=0$, корни $x=0$ и $x=-\dfrac ba$

3. Квадратное неравенство

Решают методом интервалов: находят корни трёхчлена (нули), отмечают их на числовой прямой, определяют знак на каждом промежутке и выбирают промежутки с нужным знаком. Для строгого неравенства корни выкалывают, для нестрогого — закрашивают.

Важно, куда направлены ветви параболы и где функция выше или ниже заданного уровня: квадратичную функцию полезно нарисовать — сразу видно, на каком промежутке условие выполняется.

Пример: $x(2x-3)>0$ — корни $0$ и $\dfrac32$, решение $x<0$ или $x>\dfrac32$.

Из неравенства $x^2>100$ получаем $x<-10$ или $x>10$ (корень «извлекать» из неравенства нельзя).
Неравенство $x^2>0$ верно при всех $x\ne0$, а не при $x>0$.
Нельзя сокращать неравенство на выражение с неизвестным знаком: перенесите всё в одну часть, разложите на множители и примените метод интервалов.

4. Уравнение или неравенство: что в ответе

Если в условии «в какой момент…» — нужен корень (или корни) уравнения.
Если «не менее», «не более», «на протяжении какого времени тело находится выше…» — нужно неравенство, и ответом становится промежуток.
Чтобы найти длительность промежутка, из большего момента времени вычитают меньший (оба корня нужны). Например, если мяч находится на высоте 3 м в моменты $t=0{,}2$ с и $t=1{,}4$ с, то выше этого уровня он был $1{,}4-0{,}2=1{,}2$ с.
Корень выбирают по смыслу: время, высота и скорость неотрицательны. В задаче о торможении автомобиля из двух корней $t=2$ и $t=6$ по смыслу задачи подходит только $t=2$.

5. Степенные формулы

В формулах со степенью (например, $pV^k=\text{const}$, где показатель может быть дробным) неизвестную выражают возведением в степень. Все остальные шаги — те же: единицы, подстановка чисел, проверка смысла ответа. Если степень чётная, помните, что обе части при возведении должны быть неотрицательными.

Лайфхак 1. Если неизвестная входит в формулу несколько раз, сначала подставьте числа, затем решайте уравнение (например, по теореме Виета).

Лайфхак 2. Проверка коэффициентов. Если $a+b+c=0$, то корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ равны $1$ и $\dfrac ca$. Если $a-b+c=0$, то корни равны $-1$ и $-\dfrac ca$.

Лайфхак 3. Избавляйтесь от дробей. Умножьте уравнение на подходящее число, чтобы коэффициенты стали целыми.

Лайфхак 4. Нарисуйте параболу. Эскиз с корнями показывает, где функция выше или ниже заданного уровня.

Частые ошибки.

Взять больший корень квадратного уравнения вместо решения неравенства, не прочитав условие.
Взять оба корня, хотя по смыслу задачи подходит только один.
Спутать уравнение и неравенство: корни нужны, но ответом является промежуток.
Не перевести единицы (миллиметры в метры), из-за чего получаются абсурдные ответы.
Искать ответ по одной точке, хотя процесс происходит на промежутке времени.
Неверно определить знаки на числовой оси при методе интервалов.

Разобранные примеры

Пример 1

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v _0 = 21$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3$ м/с². За t − секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v _0 t минус дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 60 метров. Ответ выразите в секундах.

Решение

Найдем, за какое время t, прошедшее от момента начала торможения, автомобиль проедет 60 метров:

$21t минус 1,5t в квадрате =60 равносильно t в квадрате минус 14t плюс 40=0 равносильно совокупность выражений t=4, t=10. конец совокупности .$

Значит, через 4 секунды после начала торможения автомобиль проедет 60 метров.

Ответ: 4.

Пример 2

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \rho gl в кубе ,$ где l  — длина ребра куба в метрах, $\rho = 1000$ кг/м³  — плотность воды, а g  — ускорение свободного падения (считайте $g = 9,8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ выразите в метрах.

Решение

Задача сводится к решению неравенства $F_A меньше или равно 78400$ при заданных значениях плотности воды и ускорении свободного падения:

$F_А меньше или равно 78400 равносильно 1000 умножить на 9,8 умножить на l в кубе меньше или равно 78400 равносильно l в кубе меньше или равно 8 равносильно l меньше или равно 2$ м.

Ответ: 2.

Пример 3

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: F_А  =  αρgr³, где α  =  4,2  — постоянная, r  — радиус аппарата в метрах, ρ  =  1000 кг/м³  — плотность воды, а g  — ускорение свободного падения (считайте g  =  10 Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336 000 Н? Ответ выразите в метрах.

Решение

Задача сводится к решению неравенства $F_А меньше или равно 336 000$ при заданных значениях плотности воды и ускорении свободного падения:

$F_А меньше или равно 336 000 равносильно 4,2 умножить на 1000 умножить на 10 умножить на r в кубе меньше или равно 336 000 равносильно r в кубе меньше или равно 8 равносильно r меньше или равно 2 м.$

Ответ: 2.

Источники

«Задачи с прикладным содержанием» (теория к заданию), examer.ru
«Задачи с прикладным содержанием (профильный ЕГЭ)», ege-study.ru
«Квадратное уравнение», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Как решать задание 15 ЕГЭ по математике профильного уровня», У. В. Татчин, Сургут, 2020
«Лайфхаки ЕГЭ», методический материал, nomc.math.tsu.ru, 2024
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t в квадрате ,$ где h  — расстояние в метрах, t  — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.
У2
Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =1,6 плюс 8t минус 5t в квадрате ,$ где h  — высота в метрах, t  — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?
У3
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = H_0 минус корень из: начало аргумента: 2gH_0 конец аргумента kt плюс дробь: числитель: g, знаменатель: 2 конец дроби k в квадрате t в квадрате ,$ где t  — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0=20$   — начальная высота столба воды, $k = дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби$   — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с $в квадрате$ ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?
У4
Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой $y = ax в квадрате плюс bx,$ где $a = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби$  м $в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$ $b=1$   — постоянные параметры, $x левая круглая скобка м правая круглая скобка$   — смещение камня по горизонтали, $y левая круглая скобка м правая круглая скобка$   — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
У5
Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t плюс дробь: числитель: бета t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где t  — время в минутах, $\omega = 20 градусов/$ мин  — начальная угловая скорость вращения катушки, а $бета = 4 градусов/$ мин²  — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет $1200 градусов.$ Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.
У6
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой $m = 8$ кг и радиуса $R = 10$ см, и двух боковых с массами $M = 1$ кг и с радиусами $R плюс h.$ При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в $кг умножить на см в квадрате ,$ даeтся формулой $I = дробь: числитель: левая круглая скобка m плюс 2M правая круглая скобка R в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс M левая круглая скобка 2Rh плюс h в квадрате правая круглая скобка .$ При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 $кг умножить на см в квадрате$ ? Ответ выразите в сантиметрах.
У7
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t в квадрате ,$ где h  — расстояние в метрах, t  — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,5 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.
У8
Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =1,4 плюс 9t минус 5t в квадрате ,$ где h  — высота в метрах, t  — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?
У9
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = H_0 минус корень из: начало аргумента: 2gH_0 конец аргумента kt плюс дробь: числитель: g, знаменатель: 2 конец дроби k в квадрате t в квадрате ,$ где t  — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0=5$  м  — начальная высота столба воды, $k = дробь: числитель: 1, знаменатель: 200 конец дроби$   — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$  м/с $в квадрате$ ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?
У10
Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой $y = ax в квадрате плюс bx,$ где $a = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби$  м $в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$ $b= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби$   — постоянные параметры, x (м)  — смещение камня по горизонтали, y (м)  — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 14 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
У11
Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t плюс дробь: числитель: бета t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где t  — время в минутах, $\omega =40 градусов/мин$   — начальная угловая скорость вращения катушки, а $бета = 4 градусов/мин в квадрате$   — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет $3000 градусов.$ Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.
У12
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v _0 = 30$  м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 4$  м/с $в квадрате .$ За t секунд после начала торможения он прошел путь $S = v _0 t минус дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 112 метров. Ответ выразите в секундах.
У13
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле $F_А = \rho gl в кубе ,$ где l  — длина ребра куба в метрах, ρ  =  1000 кг/м³  — плотность воды, а g  — ускорение свободного падения (считайте, что g  =  9,8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше чем 3 361 400 Н? Ответ дайте в метрах.
У14
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST в степени 4 ,$ где P  — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5,7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка дробь: числитель: Вт, знаменатель: м в квадрате умножить на К в степени 4 конец дроби$   — постоянная, S  — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T  — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности не-которой звезды равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка$ м², а мощность её излучения равна $2,85 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 25 правая круглая скобка$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
У15
Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой $q=85 минус 5p.$ Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r левая круглая скобка p правая круглая скобка =q умножить на p.$ Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка $r левая круглая скобка p правая круглая скобка$ составит не менее 210 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
У16
Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P= m левая круглая скобка дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: L конец дроби минус g правая круглая скобка ,$ где m  — масса воды в килограммах, υ   — скорость движения ведeрка в м/с, L  — длина верeвки в метрах, g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с $в квадрате$ ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 129,6 см? Ответ выразите в м/с.
У17
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = at в квадрате плюс bt плюс H_0,$ где $H_0 = 2$  м  — начальный уровень воды, $a = дробь: числитель: 1, знаменатель: 512 конец дроби$  м/мин², и $b= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби$  м/мин  — постоянные, t  — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
У18
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T левая круглая скобка t правая круглая скобка = T_0 плюс bt плюс at в квадрате ,$ где t  — время в минутах, $T_0 = 1280$  К, $a = минус 10$  К/мин $в квадрате ,$ $b = 120$  К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.
У19
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v _0 = 90$  км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$  км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S = v _0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где t  — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 72 км от города. Ответ выразите в минутах.
У20
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \rho gl в кубе ,$ где l  — длина ребра куба в метрах, $\rho = 1000~кг/м в кубе$   — плотность воды, а g  — ускорение свободного падения (считайте $g = 9,8Н/кг$ ). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 321 126,4 Н? Ответ выразите в метрах.
У21
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST в степени 4 ,$ где P  — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5,7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка дробь: числитель: Вт, знаменатель: м в квадрате умножить на К в степени 4 конец дроби$   — постоянная, S  — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T  — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности не-которой звезды равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка$ м², а мощность её излучения равна $9,12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 26 правая круглая скобка$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
У22
Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой $q=85 минус 5p.$ Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r левая круглая скобка p правая круглая скобка =q умножить на p.$ Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка $r левая круглая скобка p правая круглая скобка$ составит не менее 360 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
У23
Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P=m левая круглая скобка дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: L конец дроби минус g правая круглая скобка ,$ где m  — масса воды в килограммах, υ   — скорость движения ведёрка в м/с, L  — длина верёвки в метрах, g  — ускорение свободного падения (считайте g  =  10 м/с²). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 44,1 см? Ответ выразите в м/с.
У24
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = at в квадрате плюс bt плюс H_0,$ где $H_0 = 9$  м  — начальный уровень воды, $a = дробь: числитель: 1, знаменатель: 196 конец дроби$  м/мин², и $b= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби$  м/мин  — постоянные, t  — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
У25
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T левая круглая скобка t правая круглая скобка = T_0 плюс bt плюс at в квадрате ,$ где t  — время в минутах, $T_0 = 1320$  К, $a = минус 20$  К/мин $в квадрате ,$ $b = 200$  К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.
У26
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v _0 = 81$  км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 24$  км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S = v _0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где t  — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 21 км от города. Ответ выразите в минутах.
У27
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой $m = 13$  кг и радиуса $R = 4$  см, и двух боковых с массами $M = 9$  кг и с радиусами $R плюс h.$ При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в $кг умножить на \;см в квадрате ,$ даeтся формулой $I = дробь: числитель: левая круглая скобка m плюс 2M правая круглая скобка R в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс M левая круглая скобка 2Rh плюс h в квадрате правая круглая скобка .$ При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения $545кг умножить на \;см в квадрате$ ? Ответ выразите в сантиметрах.
У28
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, действующая на нее выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле F_А  =  αρgr³, где α  =  3,1  — постоянная, r  — радиус сферы в метрах, ρ  =  1000 кг/м³  — плотность воды, а g  =  10 Н/кг  — ускорение свободного падения. Найдите наибольшую длину радиуса сферы (в метрах), при которой выталкивающая сила при погружении не превосходит 837 000 Н.
У29
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h  =  5t², где h  — расстояние в метрах, t  — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,8 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,3 с? Ответ дайте в метрах.
У30
Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =1,6 плюс 12t минус 5t в квадрате ,$ где h  — высота в метрах, t  — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте более 8 метров?

Д1
Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой $q=170 минус 10p.$ Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r левая круглая скобка p правая круглая скобка =q умножить на p.$ Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка $r левая круглая скобка p правая круглая скобка$ составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Д2
Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P= m левая круглая скобка дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: L конец дроби минус g правая круглая скобка ,$ где m  — масса воды в килограммах, $v$ скорость движения ведeрка в м/⁠с, L  — длина верeвки в метрах, g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с $в квадрате$ ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/⁠с.
Д3
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = at в квадрате плюс bt плюс H_0,$ где $H_0 = 4$   — начальный уровень воды, $a = дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби$ м/мин² и $b= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби$ м/мин  — постоянные, t  — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
Д4
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T левая круглая скобка t правая круглая скобка = T_0 плюс bt плюс at в квадрате ,$ где t  — время в минутах, $T_0 = 1400$ К, $a = минус 10$ К/мин $в квадрате ,$ $b = 200$ К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.
Д5
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью υ₀  =  57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a  =  12 км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S = v _0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где t  — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ дайте в минутах.
Д6
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST в степени 4 ,$ где P  — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5,7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка дробь: числитель: Вт, знаменатель: м в квадрате умножить на К в степени 4 конец дроби$   — постоянная, S  — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T  — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка$ м $в квадрате ,$ а мощность её излучения равна $9,12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 25 правая круглая скобка Вт.$ Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Д7
Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой $q=70 минус 2p.$ Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r левая круглая скобка p правая круглая скобка =q умножить на p.$ Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка $r левая круглая скобка p правая круглая скобка$ составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Д8
Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P= m левая круглая скобка дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: L конец дроби минус g правая круглая скобка ,$ где m  — масса воды в килограммах, υ   — скорость движения ведeрка в м/с, L  — длина верeвки в метрах, g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$  м/с²). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 62,5 см? Ответ выразите в м/с.
Д9
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = at в квадрате плюс bt плюс H_0,$ где $H_0 = 2$  м  — начальный уровень воды, $a = дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби$  м/мин², и $b= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби$  м/мин  — постоянные, t  — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
Д10
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T левая круглая скобка t правая круглая скобка = T_0 плюс bt плюс at в квадрате ,$ где t  — время в минутах, $T_0 = 1350$  К, $a = минус 7,5$  К/мин $в квадрате ,$ $b=105$  К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.
Д11
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v _0 = 57$  км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 12$  км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S = v _0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где t  — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.
Д12
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой $m = 3$  кг и радиуса $R = 10$  см, и двух боковых с массами $M = 1$  кг и с радиусами $R плюс h.$ При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг $умножить на см в квадрате ,$ даeтся формулой $I = дробь: числитель: левая круглая скобка m плюс 2M правая круглая скобка R в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс M левая круглая скобка 2Rh плюс h в квадрате правая круглая скобка .$ При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения $775кг умножить на см в квадрате$ ? Ответ выразите в сантиметрах.
Д13
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = альфа \rho gr в кубе ,$ где $альфа = 4,2$   — постоянная, r  — радиус аппарата в метрах, $\rho = 1000~кг/м в кубе$   — плотность воды, а g  — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$  Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 511 014 Н? Ответ выразите в метрах.
Д14
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t в квадрате ,$ где h  — расстояние в метрах, t  — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
Д15
Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =1,2 плюс 9t минус 5t в квадрате ,$ где h  — высота в метрах, t  — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?
Д16
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = H_0 минус корень из: начало аргумента: 2gH_0 конец аргумента kt плюс дробь: числитель: g, знаменатель: 2 конец дроби k в квадрате t в квадрате ,$ где t  — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0=20$  м  — начальная высота столба воды, $k = дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби$   — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$  м/с $в квадрате$ ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?
Д17
Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой $y = ax в квадрате плюс bx,$ где $a = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 110 конец дроби$  м $в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$ $b = дробь: числитель: 13, знаменатель: 11 конец дроби$   — постоянные параметры, x (м)  — смещение камня по горизонтали, y (м)  — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 19 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
Д18
Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол поворота катушки, на который наматывается кабель, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t плюс дробь: числитель: бета t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где t  — время (в минутах) от начала работы лебедки, ω  =  50°/мин  — начальная угловая скорость вращения катушки, а β  =  5°/мин²  — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 750°. Определите время после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.
Д19
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой $m = 8$  кг и радиуса $R = 8$  см, и двух боковых с массами $M = 2$  кг и с радиусами $R плюс h.$ При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в  $кг умножить на \;см в квадрате ,$ даeтся формулой $I = дробь: числитель: левая круглая скобка m плюс 2M правая круглая скобка R в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс M левая круглая скобка 2Rh плюс h в квадрате правая круглая скобка .$ При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения $768кг умножить на \;см в квадрате$ ? Ответ выразите в сантиметрах.
Д20
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = альфа \rho gr в кубе ,$ где $альфа = 4,2$   — постоянная, r  — радиус аппарата в метрах, $\rho = 1000~кг/м в кубе$   — плотность воды, а g  — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$  Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 2 491 398 Н? Ответ выразите в метрах.
Д21
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h  =  5t², где h  — расстояние в метрах, t  — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,8 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,4 с? Ответ дайте в метрах.
Д22
Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =1,4 плюс 14t минус 5t в квадрате ,$ где h  — высота в метрах, t  — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 8 метров?
Д23
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = H_0 минус корень из: начало аргумента: 2gH_0 конец аргумента kt плюс дробь: числитель: g, знаменатель: 2 конец дроби k в квадрате t в квадрате ,$ где t  — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0=5$  м  — начальная высота столба воды, $k = дробь: числитель: 1, знаменатель: 500 конец дроби$   — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$  м/с $в квадрате$ ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?
Д24
Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой $y = ax в квадрате плюс bx,$ где $a = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 600 конец дроби$  м $в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$ $b= дробь: числитель: 4, знаменатель: 15 конец дроби$   — постоянные параметры, x (м)  — смещение камня по горизонтали, y (м)  — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
Д25
Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t плюс дробь: числитель: бета t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где t  — время в минутах, $\omega = 45 градусов/$ мин  — начальная угловая скорость вращения катушки, а $бета = 6 градусов/$ мин $в квадрате$   — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет 4050°. Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.
Д26
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v _0 = 22$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 4$ м/с². За t − секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v _0 t минус дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 60 метров. Ответ выразите в секундах.
Д27
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле $F_А = \rho gl в кубе ,$ где l  — длина ребра куба в метрах, ρ  =  1000 кг/м³  — плотность воды, а g  — ускорение свободного падения (считайте, что g  =  9,8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше чем 2 116 800 Н? Ответ дайте в метрах.
Д28
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST в степени 4 ,$ где P  — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5,7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка дробь: числитель: Вт, знаменатель: м в квадрате умножить на К в степени 4 конец дроби$   — постоянная, S  — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T  — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности не-которой звезды равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка$ м², а мощность её излучения равна $9,234 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 26 правая круглая скобка$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Д29
Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой $q=120 минус 10p.$ Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r левая круглая скобка p правая круглая скобка =q умножить на p.$ Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка $r левая круглая скобка p правая круглая скобка$ составит не менее 350 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Д30
Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P=m левая круглая скобка дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: L конец дроби минус g правая круглая скобка ,$ где m  — масса воды в килограммах, υ   — скорость движения ведёрка в м/с, L  — длина верёвки в метрах, g  — ускорение свободного падения (считайте g  =  10 м/с²). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 122,5 см? Ответ выразите в м/с.

Вид	Решение
\(ax^2=0\)	\(x=0\)
\(ax^2+c=0\)	\(x^2=-\dfrac ca\): два корня, если \(-\dfrac ca>0\); корень \(0\), если \(-\dfrac ca=0\); корней нет, если \(-\dfrac ca<0\)
\(ax^2+bx=0\)	\(x(ax+b)=0\), корни \(x=0\) и \(x=-\dfrac ba\)

10.2. Квадратные и степенные уравнения и неравенства

1. Какие формулы встречаются

2. Квадратное уравнение \(ax^2+bx+c=0\)

Неполные уравнения

3. Квадратное неравенство

4. Уравнение или неравенство: что в ответе

5. Степенные формулы

Разобранные примеры