Задание 10 · Задачи с прикладным содержанием

10.3. Рациональные уравнения и неравенства

Для репетитора: показать ответы

1. Какие формулы встречаются

Рациональные модели — это формулы, в которых неизвестная стоит в знаменателе: зависимость времени от скорости, сопротивление параллельно соединённых проводников, расстояния и скорости в движении. Решение сводится к дробно-рациональному уравнению или неравенству. Основная опасность — потерять знаменатель и получить ответ, при котором деление на ноль.

Общий порядок: выписать данные с единицами, подставить числа, записать уравнение или неравенство, найти область допустимых значений, решить, проверить корни по смыслу задачи.

2. Рациональное уравнение

Найдите ОДЗ: все знаменатели не равны нулю.
Перенесите всё в одну часть, приведите к общему знаменателю.
Приравняйте числитель к нулю и решите полученное уравнение (часто квадратное).
Исключите корни, не входящие в ОДЗ, и корни, не подходящие по смыслу.

Например, в задаче на скорость корень $x=-45$ отбрасывается, потому что по условию скорость больше $15$ км/ч (скорость положительна).

3. Рациональное неравенство

Дробно-рациональное неравенство имеет вид $\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$ (или $<$, $\ge$, $\le$), где $P$ и $Q$ — многочлены, причём $Q(x)\ne0$.

Метод интервалов

Перенесите все слагаемые в одну сторону, чтобы справа остался $0$.
Приведите левую часть к одной дроби.
Разложите числитель и знаменатель на множители.
Найдите критические точки: корни числителя и корни знаменателя.
Отметьте их на числовой прямой. Точки знаменателя всегда выколоты. Точки числителя выколоты при строгом знаке и закрашены при нестрогом.
Определите знак на каждом промежутке, подставив любое число внутри него (граничные точки для подстановки не годятся).
Выберите промежутки с нужным знаком: для $>0$ берём «$+$», для $<0$ — «$-$». Проверьте граничные точки.

Знак неравенства	Нули числителя	Нули знаменателя
строгий ($>$, $<$)	в ответ не входят	в ответ не входят
нестрогий ($\ge$, $\le$)	входят в ответ	не входят

Правило кратности. При переходе через корень чётной кратности знак не меняется, нечётной — меняется. Например, в $(x-1)^2$ знак сохраняется, а в $(x+2)^3$ меняется.

Пример. $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-2}\le0$ даёт $x\in(-\infty;-3]\cup(2;3]$: точка $x=2$ выколота (обращает знаменатель в ноль), а $x=\pm3$ входят в ответ.

Решение неравенства — промежуток или объединение промежутков.

Неравенство и умножение на знаменатель

Нельзя умножать обе части неравенства на выражение, знак которого неизвестен. Правильно: перенести всё влево, привести к общему знаменателю и применить метод интервалов. Если степень числителя не меньше степени знаменателя, полезно выделить целую часть дроби (разделить с остатком).

4. Системы неравенств

Решите каждое неравенство отдельно, затем найдите пересечение полученных множеств. Например, если $x\in(-\infty;-2)\cup[2;+\infty)$ и $x\in(1;5)$, то общее решение $x\in[2;5)$.

Лайфхак 1. Сначала ОДЗ, потом решение. Выпишите, какие знаменатели не равны нулю, до начала преобразований. В задаче с дробью $\dfrac{\ldots}{c-30}$ знаменатель $c-30$ терять нельзя.

Лайфхак 2. Выделяйте целую часть дроби, если степень числителя не меньше степени знаменателя, — неравенство станет проще.

Лайфхак 3. Проверьте корни по смыслу. Отрицательный корень для скорости, времени, длины не подходит.

Лайфхак 4. Не вычисляйте громоздкие выражения до конца. Лучше решить задачу в общем виде и подставить числа в конце.

Частые ошибки.

Не учтена область допустимых значений: в ответ включена точка, где знаменатель равен нулю.
Неверно расставлены знаки на промежутках или не учтена кратность корней.
Перепутано, какие промежутки выбирать для знаков $>$ и $<$.
Не проверены граничные точки: для строгих знаков их нет в ответе.
Неверная запись ответа: решение неравенства — промежуток, а не один корень.

Разобранные примеры

Пример 1

Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I = дробь: числитель: U, знаменатель: R конец дроби ,$ где U  — напряжение в вольтах, R  — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

Решение

Задача сводится к решению неравенства $I меньше или равно 4$ А при известном значении напряжения $U=220$ В:

$I меньше или равно 4 равносильно дробь: числитель: 220, знаменатель: R конец дроби меньше или равно 4 равносильно R больше или равно 55$ Ом.

Ответ: 55.

Пример 2

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = дробь: числитель: T_1 минус T_2 , знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100\% ,$ где $T_1$ − температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$ − температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет $20\%,$ если температура холодильника $T_2 = 336$ К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Решение

Задача сводится к решению равенства $\eta = 20%$ при известном значении температуры холодильника $T_2=336К$ :

$\eta = 20 равносильно дробь: числитель: T_1 минус 336, знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100= 20 равносильно 100T_1 минус 33600= 20T_1 равносильно T_1=420$ К.

Ответ: 420.

Пример 3

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс r конец дроби ,$ где $\varepsilon$   — ЭДС источника (в вольтах), r  =  3 Ом  — его внутреннее сопротивление, R  — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 3% от силы тока короткого замыкания $I_кз = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: r конец дроби ?$ (Ответ выразите в омах.)

Решение

Задача сводится к решению неравенства $I меньше или равно 0,03I_кз$ при известном значении внутреннего сопротивления r  =  3 Ом:

$I меньше или равно 0,03I_кз равносильно дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс 3 конец дроби меньше или равно 0,03 умножить на дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: 3 конец дроби равносильно R плюс 3 больше или равно 100 равносильно R больше или равно 97 Ом.$

Ответ: 97.

Источники

«Рациональные неравенства», И. Соколова, эксперт О. Комарова, kp.ru
«Задание 10 ЕГЭ по математике профильного уровня 2027: теория и практика», egeturbo.ru
«Задачи с прикладным содержанием» (теория к заданию), examer.ru
«Показательные неравенства. Задание № 15 ЕГЭ по математике профильного уровня», И. Н. Попова, ИРО Краснодарского края (iro23.ru), 2025
«Лайфхаки ЕГЭ», методический материал, nomc.math.tsu.ru, 2024
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 50$  см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 55 до 70 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана  — в пределах от 260 до 300 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби .$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
У2
По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс r конец дроби ,$ где $\varepsilon$   — ЭДС источника (в вольтах), $r = 1$ Ом  — его внутреннее сопротивление, R  — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $20\%$ от силы тока короткого замыкания $I_кз = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: r конец дроби$  ? (Ответ выразите в омах.)
У3
Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = дробь: числитель: T_1 минус T_2 , знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100\% ,$ где $T_1$   — температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$   — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $15\%,$ если температура холодильника $T_2 = 340$ К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
У4
Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m = 1260$ тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной $l = 18$ метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p = дробь: числитель: mg, знаменатель: 2ls конец дроби ,$ где m  — масса экскаватора (в тоннах), l  — длина балок в метрах, s  — ширина балок в метрах, g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с $в квадрате$ ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.
У5
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 150$ Гц и определяется следующим выражением: $f =f_0 дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус v конец дроби$ (Гц), где c  — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=10$ м/с и $v =15$ м/с  — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 160 Гц?
У6
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P = дробь: числитель: 4mg, знаменатель: Пи D в квадрате конец дроби ,$ где $m = 1200$ кг  — общая масса навеса и колонны, D  — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $g=10$  м/с $в квадрате ,$ а $Пи = 3,$ определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400 000 Па. Ответ выразите в метрах.
У7
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 50$  см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 60 до 80 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана  — в пределах от 150 до 175 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби .$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
У8
По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс r конец дроби ,$ где $\varepsilon$   — ЭДС источника (в вольтах), $r = 1$  Ом  — его внутреннее сопротивление, R  — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $20\%$ от силы тока короткого замыкания $I_кз = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: r конец дроби$ ? (Ответ выразите в омах.)
У9
Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле $A левая круглая скобка \omega правая круглая скобка = дробь: числитель: A_0 \omega _p в квадрате , знаменатель: |\omega_p в квадрате минус \omega в квадрате | конец дроби ,$ где ω  — частота вынуждающей силы (в  $c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ ), $A_0$   — постоянный параметр, $\omega_p = 300 c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$   — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega ,$ меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $80\%.$ Ответ выразите в $c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$
У10
Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = дробь: числитель: T_1 минус T_2 , знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100\% ,$ где $T_1$   — температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$   — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $25\%,$ если температура холодильника $T_2 = 276$  К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
У11
Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m = 1500$  тонн представляют собой две пустотелые балки длиной $l = 15$  метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p = дробь: числитель: mg, знаменатель: 2ls конец дроби ,$ где m  — масса экскаватора (в тоннах), l  — длина балок в метрах, s  — ширина балок в метрах, g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с $в квадрате$ ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 200 кПа. Ответ выразите в метрах.
У12
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 130$  Гц и определяется следующим выражением: $f =f_0 дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус v конец дроби$ (Гц), где c  — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=16$  м/с и $v =15$  м/с  — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 135 Гц?
У13
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P = дробь: числитель: 4mg, знаменатель: Пи D в квадрате конец дроби ,$ где $m = 2400$  кг  — общая масса навеса и колонны, D  — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $g=10$  м/с $в квадрате ,$ а $Пи = 3,$ определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 800 000 Па. Ответ выразите в метрах.
У14
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 80$  см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 330 до 350 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана  — в пределах от 80 до 105 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби .$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
У15
По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс r конец дроби ,$ где $\varepsilon$   — ЭДС источника (в вольтах), r  =  3 Ом  — его внутреннее сопротивление, R  — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 8% от силы тока короткого замыкания $I_кз = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: r конец дроби ?$ (Ответ выразите в омах.)
У16
Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле $A левая круглая скобка \omega правая круглая скобка = дробь: числитель: A_0 \omega _p в квадрате , знаменатель: |\omega_p в квадрате минус \omega в квадрате | конец дроби ,$ где $\omega$   — частота вынуждающей силы (в  $c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ ), $A_0$   — постоянный параметр, $\omega_p = 345\;c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$   — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega ,$ меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $12,5\%.$ Ответ выразите в $c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$
У17
Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = дробь: числитель: T_1 минус T_2 , знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100\% ,$ где $T_1$   — температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$   — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $50\%,$ если температура холодильника $T_2 = 250$  К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
У18
Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m = 1400$  тонн представляют собой две пустотелые балки длиной $l = 14$  метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p = дробь: числитель: mg, знаменатель: 2ls конец дроби ,$ где m  — масса экскаватора (в тоннах), l  — длина балок в метрах, s  — ширина балок в метрах, g  — ускорение свободного падения (считайте $g=10$  м/с $в квадрате$ ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 250 кПа. Ответ выразите в метрах.
У19
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 110$  Гц и определяется следующим выражением: $f =f_0 дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус v конец дроби$ (Гц), где c  — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=9$  м/с и $v =15$  м/с  — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 120 Гц?
У20
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P = дробь: числитель: 4mg, знаменатель: Пи D в квадрате конец дроби ,$ где $m = 1350$  кг  — общая масса навеса и колонны, D  — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $g=10$  м/с $в квадрате ,$ а $Пи = 3,$ определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 200 000 Па. Ответ выразите в метрах.
У21
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 45$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 50 до 70 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана  — в пределах от 200 до 270 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби .$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
У22
По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс r конец дроби ,$ где $\varepsilon$   — ЭДС источника (в вольтах), $r = 3$  Ом  — его внутреннее сопротивление, R  — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $25\%$ от силы тока короткого замыкания $I_кз = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: r конец дроби$ ? (Ответ выразите в омах.)
У23
Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = дробь: числитель: T_1 минус T_2 , знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100\% ,$ где $T_1$ − температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$ − температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $80\%,$ если температура холодильника $T_2 = 200$ К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
У24
К источнику с ЭДС $\varepsilon = 75$  В и внутренним сопротивлением $r = 0,4$  Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой $U = дробь: числитель: \varepsilon R, знаменатель: R плюс r конец дроби .$ При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 60 В? Ответ выразите в омах.
У25
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 447 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v = c дробь: числитель: f минус f_0 , знаменатель: f плюс f_0 конец дроби ,$ где $c=1500$ м/с  — скорость звука в воде, $f_0$   — частота испускаемых импульсов, f  — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 10 м/с.
У26
Автомобиль, масса которого равна m  =  1500 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь S  =  600 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю (тяги двигателя), равно $F= дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби .$ Определите время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, равна 2000 Н. Ответ выразите в секундах.
У27
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 295$  Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f левая круглая скобка v правая круглая скобка = дробь: числитель: f_0 , знаменатель: 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: c конец дроби конец дроби$  (Гц), где c  — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$  м/с. Ответ выразите в м/с.
У28
Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = дробь: числитель: T_1 минус T_2 , знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100\% ,$ где T₁  — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T₂  — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $45\%,$ если температура холодильника $T_2 = 275$ К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
У29
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0=120$ Гц и равна: $f=f_0 умножить на дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус \nu конец дроби ,$ где c  — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=10$ м/с и $\nu=5$ м/с  — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота f сигнала в приёмнике будет равна 125 Гц?
У30
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P= дробь: числитель: 4mg, знаменатель: Пи D в квадрате конец дроби ,$ где m  =  4050 кг  — общая масса навеса и колонны, D  — диаметр колонны (в метрах). Считая, что ускорение свободного падения g  =  10 м/с², а π  =  3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 600 000 Па. Ответ выразите в метрах.

Д1
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 267$  Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f левая круглая скобка v правая круглая скобка = дробь: числитель: f_0 , знаменатель: 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: c конец дроби конец дроби$  (Гц), где c  — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 3 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 315$  м/с. Ответ выразите в м/с.
Д2
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1=90 Ом.$ Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1 Ом$ и $R_2 Ом$ их общее сопротивление даeтся формулой $R_общ = дробь: числитель: R_1 R_2 , знаменатель: R_1 плюс R_2 конец дроби левая круглая скобка Ом правая круглая скобка ,$ а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.
Д3
Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой m_в (в килограммах) от температуры t₁ до температуры t₂ (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы m_др кг. Он определяется формулой $\eta = дробь: числитель: c_в m_в левая круглая скобка t_2 минус t_1 правая круглая скобка , знаменатель: q_др m_др конец дроби умножить на 100\%,$ где $c_в = 4,2 умножить на 10 в кубе Дж/ левая круглая скобка кг умножить на градусов \! \! C правая круглая скобка$   — теплоёмкость воды, $q_др = 8,3 умножить на 10 в степени 6 Дж/кг$   — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m_в  =  83 кг воды от 10 °C до 100 °C, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах.
Д4
К источнику с ЭДС $\varepsilon = 55$ В и внутренним сопротивлением $r = 0,5$ Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой $U = дробь: числитель: \varepsilon R, знаменатель: R плюс r конец дроби .$ При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в омах.
Д5
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v = c умножить на дробь: числитель: f минус f_0, знаменатель: f плюс f_0 конец дроби ,$ где c  =  1500 м/с  — скорость звука в воде, f₀  — частота испускаемых импульсов, f  — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.
Д6
Автомобиль, масса которого равна $m = 2160$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь $S = 500$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F = дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби .$ Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.
Д7
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 593$  Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f левая круглая скобка v правая круглая скобка = дробь: числитель: f_0, знаменатель: 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: c конец дроби конец дроби$  (Гц), где c  — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 7 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$  м/с. Ответ выразите в м/с.
Д8
Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I = дробь: числитель: U, знаменатель: R конец дроби ,$ где U  — напряжение в вольтах, R  — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.
Д9
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1=72$  Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$  Ом и $R_2$  Ом их общее сопротивление даeтся формулой $R_общ = дробь: числитель: R_1 R_2 , знаменатель: R_1 плюс R_2 конец дроби$  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 8 Ом. Ответ выразите в омах.
Д10
Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой m_в (в килограммах) от температуры t₁ до температуры t₂ (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы m_др кг. Он определяется формулой $\eta = дробь: числитель: c_в m_в левая круглая скобка t_2 минус t_1 правая круглая скобка , знаменатель: q_др m_др конец дроби умножить на 100\%,$ где $c_в = 4,2 умножить на 10 в кубе Дж/ левая круглая скобка кг умножить на градусов \! \! C правая круглая скобка$   — теплоёмкость воды, $q_др = 8,3 умножить на 10 в степени 6 Дж/кг$   — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m_в  =  80 кг воды от 17 °C до 100 °C, если известно, что КПД кормозапарника не больше 14%. Ответ выразите в килограммах.
Д11
К источнику с ЭДС $\varepsilon = 180$  В и внутренним сопротивлением $r = 1$  Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой $U = дробь: числитель: \varepsilon R, знаменатель: R плюс r конец дроби .$ При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 170 В? Ответ выразите в омах.
Д12
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ульт-развуковые импульсы частотой 187 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v = c дробь: числитель: f минус f_0 , знаменатель: f плюс f_0 конец дроби ,$ где $c=1500$ м/с  — скорость звука в воде, $f_0$   — частота испускаемых импульсов, f  — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмни-ком (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 4 м/с.
Д13
Автомобиль, масса которого равна $m = 1500$  кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь $S = 1000$  метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F = дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби .$ Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 1200 Н. Ответ выразите в секундах.
Д14
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 190$  Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f левая круглая скобка v правая круглая скобка = дробь: числитель: f_0, знаменатель: 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: c конец дроби конец дроби$  (Гц), где c  — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300$  м/с. Ответ выразите в м/с.
Д15
Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I = дробь: числитель: U, знаменатель: R конец дроби ,$ где U  — напряжение в вольтах, R  — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 2,5 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.
Д16
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1=96$  Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$  Ом и $R_2$  Ом их общее сопротивление даeтся формулой $R_общ = дробь: числитель: R_1 R_2 , знаменатель: R_1 плюс R_2 конец дроби$  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 24 Ом. Ответ выразите в омах.
Д17
Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой m_в (в килограммах) от температуры t₁ до температуры t₂ (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы m_др кг. Он определяется формулой $\eta = дробь: числитель: c_в m_в левая круглая скобка t_2 минус t_1 правая круглая скобка , знаменатель: q_др m_др конец дроби умножить на 100\%,$ где $c_в = 4,2 умножить на 10 в кубе Дж/ левая круглая скобка кг умножить на градусов \! \! C правая круглая скобка$   — теплоёмкость воды, $q_др = 8,3 умножить на 10 в степени 6 Дж/кг$   — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m_в  =  90 кг воды от 17 °C до 100 °C, если известно, что КПД кормозапарника не больше 18%. Ответ выразите в килограммах.
Д18
К источнику с ЭДС $\varepsilon = 60$  В и внутренним сопротивлением $r = 0,8$  Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой $U = дробь: числитель: \varepsilon R, знаменатель: R плюс r конец дроби .$ При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 55 В? Ответ выразите в омах.
Д19
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 124 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v = c умножить на дробь: числитель: f минус f_0, знаменатель: f плюс f_0 конец дроби ,$ где c  =  1500 м/с  — скорость звука в воде, f₀  — частота испускаемых импульсов, f  — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 12 м/с.
Д20
Автомобиль, масса которого равна $m = 1500$  кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь $S = 300$  метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F = дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби .$ Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 1440 Н. Ответ выразите в секундах.
Д21
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 308$  Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f левая круглая скобка v правая круглая скобка = дробь: числитель: f_0, знаменатель: 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: c конец дроби конец дроби$  (Гц), где c  — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 7 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 315$  м/с. Ответ выразите в м/с.
Д22
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1=90$  Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$  Ом и $R_2$  Ом их общее сопротивление даeтся формулой $R_общ = дробь: числитель: R_1 R_2 , знаменатель: R_1 плюс R_2 конец дроби$  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 15 Ом. Ответ выразите в омах.
Д23
Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой m_в (в килограммах) от температуры t₁ до температуры t₂ (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы m_др кг. Он определяется формулой $\eta = дробь: числитель: c_в m_в левая круглая скобка t_2 минус t_1 правая круглая скобка , знаменатель: q_др m_др конец дроби умножить на 100\%,$ где $c_в = 4,2 умножить на 10 в кубе Дж/ левая круглая скобка кг умножить на градусов \! \! C правая круглая скобка$   — теплоёмкость воды, $q_др = 8,3 умножить на 10 в степени 6 Дж/кг$   — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m_в  =  166 кг воды от 10 °C до 100 °C, если известно, что КПД кормозапарника не больше 14%. Ответ выразите в килограммах.
Д24
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0=160$ Гц и равна: $f=f_0 умножить на дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус \nu конец дроби ,$ где c  — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=8$ м/с и $\nu=16$ м/с  — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота f сигнала в приёмнике будет равна 170 Гц?
Д25
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P= дробь: числитель: 4mg, знаменатель: Пи D в квадрате конец дроби ,$ где m  =  7500 кг  — общая масса навеса и колонны, D  — диаметр колонны (в метрах). Считая, что ускорение свободного падения g  =  10 м/с², а π  =  3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400 000 Па. Ответ выразите в метрах.
Д26
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 36$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана  — в пределах от 160 до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби .$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ дайте в сантиметрах.
Д27
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1=72$  Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$  Ом и $R_2$  Ом их общее сопротивление даeтся формулой $R_общ = дробь: числитель: R_1 R_2 , знаменатель: R_1 плюс R_2 конец дроби$  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 18 Ом. Ответ выразите в омах.
Д28
К источнику с ЭДС ε  =  55 В и внутренним сопротивлением r  =  0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, задаётся формулой $U= дробь: числитель: эпсилон R, знаменатель: R плюс r конец дроби .$ При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 50 В? Ответ выразите в омах.
Д29
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 745 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v = c дробь: числитель: f минус f_0 , знаменатель: f плюс f_0 конец дроби ,$ где $c=1500$ м/с  — скорость звука в воде, $f_0$   — частота испускаемых импульсов, f  — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 10 м/с.
Д30
Автомобиль, масса которого равна m  =  2000 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь S  =  1000 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю (тяги двигателя), равно $F= дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби .$ Определите время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, равна 1600 Н. Ответ выразите в секундах.

Знак неравенства	Нули числителя	Нули знаменателя
строгий (\(>\), \(<\))	в ответ не входят	в ответ не входят
нестрогий (\(\ge\), \(\le\))	входят в ответ	не входят