Задание 10 · Задачи с прикладным содержанием

10.5. Показательные уравнения и неравенства

Для репетитора: показать ответы

1. Какие формулы встречаются

Показательные модели — это формулы, где неизвестная стоит в показателе степени или основанием служит степень с дробным показателем. Пример: зависимость давления от объёма при $pV^{\alpha}=\text{const}$, а также формулы с дробными степенями. Решение сводится к сравнению степеней с одним основанием: показательное уравнение или неравенство.

Общий порядок: выписать данные и единицы, подставить числа, получить уравнение или неравенство, привести к одному основанию, решить, оценить правдоподобие ответа.

2. Показательная функция и монотонность

Функция $y=a^x$ ($a>0$, $a\ne1$): при $a>1$ возрастает, при $0<a<1$ убывает.
От монотонности зависит, сохраняется ли знак неравенства при переходе от степеней к показателям.

Основание	Уравнение $a^{f}=a^{g}$	Неравенство $a^{f}>a^{g}$
$a>1$	$f=g$	$f>g$ (знак сохраняется)
$0<a<1$	$f=g$	$f<g$ (знак меняется на противоположный)

Пример: $5^a\ge125$ даёт $5^a\ge5^3$, основание $5>1$, поэтому $a\ge3$.

3. Способы решения показательных уравнений

Приведение к одному основанию. Например, $5^x=\dfrac1{125}$ даёт $5^x=5^{-3}$, откуда $x=-3$; для $\left(\dfrac37\right)^{3x+1}=\left(\dfrac73\right)^{5x-3}$ заменяют $\dfrac73=\left(\dfrac37\right)^{-1}$.
Вынесение общего множителя за скобки (например, когда в уравнении степени с показателями $x$ и $x+1$).
Замена переменной — приведение к квадратному уравнению. При замене $t=a^{f(x)}$ обязательно учитывайте условие $t>0$.

4. Метод рационализации (замены множителя)

Для показательных неравенств знак выражения $a^{f(x)}-a^{g(x)}$ совпадает со знаком произведения $(a-1)(f(x)-g(x))$. Значит, показательное неравенство можно заменить рациональным и решить методом интервалов.

Для $a>1$ сохраняется знак разности показателей; для $0<a<1$ он меняется на противоположный.
Меняют множитель, а не слагаемое.
Если в ходе преобразований появляется выражение, знак которого зависит от $x$, решение разбивают на два случая и объединяют ответы.

5. Метод интервалов в показательных неравенствах

Найдите область определения и промежутки непрерывности функции.
Найдите нули (решите уравнение $f(x)=0$).
Отметьте их на числовой прямой; при строгом неравенстве нули выкалываются.
Определите знак на каждом промежутке — знаки нужно проверять, а не считать, что они обязательно чередуются.
Выберите промежутки с нужным знаком и запишите ответ.

6. Как использовать в прикладной задаче

Подставьте известные величины в формулу и приведите единицы к одной системе.
Определите вид зависимости и решите уравнение/неравенство относительно искомой величины.
Для неравенств проверьте, подходит ли ответ по смыслу и в каких единицах его требуют записать.

Лайфхак 1. Смотрите на основание. Если основание меньше $1$, знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

Лайфхак 2. Приводите к одному основанию и лишь потом «отбрасывайте» основания; при замене не забудьте условие $t>0$.

Лайфхак 3. Упрощайте неравенство, пока это возможно: чем проще вид, тем меньше шанс ошибиться.

Лайфхак 4. Проверяйте знак на каждом промежутке метода интервалов, а не предполагайте чередование знаков.

Частые ошибки.

Не учтено, что при основании меньше $1$ знак неравенства для показателей меняется.
Забыты область определения или условия $t>0$ (и $t\ne0$, если оно есть) при замене переменной.
Неверно выбрана строгость неравенства на концах промежутков (выколотая или закрашенная точка).
Потеряны корни при обратной замене.
Неверно объединены промежутки в итоговый ответ, в том числе при разбиении на случаи.
Считают, что нуль функции или выколотая точка обязательно меняет знак.

Разобранные примеры

Пример 1

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус t/T правая круглая скобка ,$ где $m_0$   — начальная масса изотопа, t  — время, прошедшее от начального момента, T  — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 52 мг. Период его полураспада составляет 9 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 13 мг.

Решение

Задача сводится к решению уравнения $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = 13$ при заданных значениях параметров $m_0 = 52 мг$ и $T = 9 мин:$

$52 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус \tfract правая круглая скобка 9 = 13 равносильно 2 в степени левая круглая скобка минус \tfract правая круглая скобка 9= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: t, знаменатель: 9 конец дроби = минус 2 равносильно t = 18.$

Таким образом, масса радиоактивного изотопа будет равна 13 мг через 18 минут.

Ответ: 18.

Пример 2

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 3,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ Па $умножить на$ м⁴, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах, $k= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном $2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$ Па.

Решение

Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление не ниже $2 умножить на 10 в степени 5 ,$ при заданных значениях параметров $k= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ и $\mathrmconst=3,2 умножить на 10 в степени 6$ Па·м⁴ имеем неравенство:

$2 умножить на 10 в степени 5 V в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 3,2 умножить на 10 в степени 6 равносильно V в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 16 равносильно V меньше или равно 16 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка } равносильно V меньше или равно 8м в кубе .$

Ответ: 8.

Пример 3

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $p_1V_1 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка =p_2V_2 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка ,$ где $p_1$ и $p_2$   — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_1$ и $V_2$   — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 224 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Решение

Подставим в формулу $p_1V_1 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка =p_2V_2 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка ,$ данные из условия: $p_1=1 атм,$ $V_1=224 л,$ $p_2=128 атм.$ Решим полученное уравнение, заметив, что $1,4 = дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби$ и возведя обе части уравнения в степень $дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби$ :

$1 умножить на 224 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка = 128 умножить на V_2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка равносильно 224 = левая круглая скобка 2 в степени 7 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка умножить на V_2 равносильно 224=32V_2 равносильно V_2=7 левая круглая скобка л правая круглая скобка .$

Ответ: 7.

Источники

«Показательные неравенства. Задание № 15 ЕГЭ по математике профильного уровня», И. Н. Попова, ИРО Краснодарского края (iro23.ru), 2025
«Как решать задание 15 ЕГЭ по математике профильного уровня», У. В. Татчин, Сургут, 2020
«Показательная функция, уравнения, неравенства», конспект урока, С. А. Магомедова, МКОУ «Балаханская СОШ»
«Задачи с прикладным содержанием (профильный ЕГЭ)», ege-study.ru
«Задание 10 ЕГЭ по математике профильного уровня 2027: теория и практика», egeturbo.ru
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 1,25 умножить на 10 в степени 8 Па умножить на м в степени 4 ,$ где p  — давление газа (в Па), V  — объём газа (в м³), $k = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите, какой объём V (в м³) будет занимать газ при давлении p, равном 2 · 10⁵ Па.
У2
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в два раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?
У3
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $p_1V_1 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка =p_2V_2 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка ,$ где $p_1$ и $p_2$   — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_1$ и $V_2$   — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 256 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
У4
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка /T,$ где $m_0$ − начальная масса изотопа, t − время, прошедшее от начального момента, T − период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 136 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 17 мг.
У5
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = const,$ где p (атм.)  — давление газа, V  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 16 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.
У6
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка /T,$ где $m_0$ − начальная масса изотопа, t − время, прошедшее от начального момента, T − период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 188 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 47 мг.
У7
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = const,$ где p (атм.)  — давление газа, V  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 243,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.
У8
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При это объём и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка =const,$ где p (атм) − давление газа, V  — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 24 л, а его давление равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде поднялось до 128 атмосфер? Ответ выразите в литрах.
У9
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка /T,$ где m₀  — начальная масса изотопа, t  — время, прошедшее от начального момента, T  — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 184 мг. Период его полураспада составляет 7 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 23 мг.
У10
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка /T,$ где $m_0$   — начальная масса изотопа, t  — время, прошедшее от начального момента, T  — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 148 мг. Период его полураспада составляет 4 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 37 мг.
У11
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: t, знаменатель: T конец дроби правая круглая скобка ,$ где $m_0$   — начальная масса изотопа, t  — время, прошедшее от начального момента, T  — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.
У12
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус \tfract правая круглая скобка T,$ где m₀  — начальная масса изотопа, t  — время, прошедшее от начального момента, T  — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 164 мг. Период его полураспада составляет 7 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 41 мг.
У13
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус \tfract правая круглая скобка T,$ где m₀  — начальная масса изотопа, t  — время, прошедшее от начального момента, T  — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 192 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 6 мг.
У14
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 25 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 5 раз?
У15
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 32 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 2 раза?
У16
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 9 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 3 раза?
У17
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 16 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 8 раз?
У18
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 3 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 9 раз?
У19
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 16 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 32 раза?
У20
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 3 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 27 раз?
У21
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = const,$ где p (атм.)  — давление газа, V  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 11,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.
У22
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 8,1 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$ Па $умножить на$ м⁴, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах, $k= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном $6,25 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ Па.
У23
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 6,4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ Па $умножить на$ м⁵, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах, $k= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном $2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$ Па.
У24
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = \mathrmconst,$ где p  — давление газа в паскалях, V  — объeм газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него $k= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ ) из начального состояния, в котором $\mathrmconst=1,25 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка$  Па $умножить на \textrmм в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка ,$ газ начинают сжимать. Какой наибольший объeм V может занимать газ при давлениях p не ниже $2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$ Па? Ответ выразите в кубических метрах.
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 1,25 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка$ Па $умножить на$ м⁵, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах, $k= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном $2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$ Па.

Д1
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус t правая круглая скобка /T,$ где m₀  — начальная масса изотопа, t  — время, прошедшее от начального момента, T  — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 128 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 1 мг.
Д2
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = const,$ где p (атм.)  — давление газа, V  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.
Д3
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 2,56 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ Па $умножить на$ м⁴, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах, $k= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном $6,25 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ Па.
Д4
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 25 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 5 раз?
Д5
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 1,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка$ Па $умножить на$ м⁵, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах, $k= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном $3,75 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ Па.
Д6
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение вчетверо объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 2 раза?
Д7
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вчетверо объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 8 раз?
Д8
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 7,29 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка$ Па $умножить на$ м⁵, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах, $k= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном $3 умножить на 10 в степени 5 }$ Па.
Д9
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 16 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 2 раза?
Д10
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение вдвое объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 8 раз?
Д11
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вчетверо объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 2 раза?
Д12
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение вдвое объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 16 раз?
Д13
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 2 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 32 раза?
Д14
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 9 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 27 раз?
Д15
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 32 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?
Д16
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 9 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 3 раза?
Д17
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 32 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 8 раз?
Д18
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 5 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 25 раз?
Д19
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 2 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 32 раза?
Д20
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 3 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 27 раз?
Д21
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = \mathrmconst,$ где p  — давление газа в паскалях, V  — объeм газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него $k= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ ) из начального состояния, в котором $\mathrmconst=1,6 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$  Па $умножить на \textrmм в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка ,$ газ начинают сжимать. Какой наибольший объeм V может занимать газ при давлениях p не ниже $6,25 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ Па? Ответ выразите в кубических метрах.
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 1,6 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$ Па $умножить на$ м⁴, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах, $k= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном $6,25 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ Па.
Д22
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = const,$ где p (атм.)  — давление газа, V  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 8 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.
Д23
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = const,$ где p (атм.)  — давление газа, V  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 48 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.
Д24
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = const,$ где p (атм.)  — давление газа, V  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 128 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Основание	Уравнение \(a^{f}=a^{g}\)	Неравенство \(a^{f}>a^{g}\)
\(a>1\)	\(f=g\)	\(f>g\) (знак сохраняется)
\(0<a<1\)	\(f=g\)	\(f<g\) (знак меняется на противоположный)