Задание 10 · Задачи с прикладным содержанием

10.6. Логарифмические уравнения и неравенства

Для репетитора: показать ответы

1. Какие формулы встречаются

Логарифмические модели появляются в физике и технике: работа при изотермическом сжатии газа, температура воды или воздуха, где в формуле стоит логарифм. Решение сводится к логарифмическому уравнению или неравенству: логарифм заменяют степенью, проверяют ОДЗ и смысл ответа.

Общий порядок: выписать данные и единицы, подставить числа, получить уравнение или неравенство, найти ОДЗ, решить, проверить корни.

2. Определение и свойства логарифма

Логарифм положительного числа $b$ по основанию $a$ ($a>0$, $a\ne1$) — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. Например, $\log_2 8=3$, так как $2^3=8$.

$\log_a a=1$, $\log_a 1=0$, $\log_a a^b=b$.
Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b}=b$ (при $a>0$, $a\ne1$, $b>0$).
Вынесение степени: $\log_a b^m=m\log_a b$; $\log_{a^m} b=\dfrac1m\log_a b$.
Если $a$ и $b$ лежат по одну сторону от единицы на числовой оси, то $\log_a b>0$; если по разные стороны, то $\log_a b<0$.
Обозначения: $\lg b=\log_{10}b$, $\ln b=\log_e b$, где $e\approx2{,}718$.

3. ОДЗ

Подлогарифмическое выражение строго больше нуля, основание положительно и не равно единице. Условие $f(x)>0$ удобно проверять после нахождения корней: посторонние корни отсекаются именно этой проверкой.

4. Способы решения логарифмических уравнений

Простейшее уравнение $\log_a x=b$: по определению $x=a^b$, при этом $x>0$.
Уравнение $\log_a f(x)=\log_a g(x)$: приравниваем подлогарифмические выражения и учитываем систему $\begin{cases}f(x)=g(x),\\ f(x)>0,\\ g(x)>0.\end{cases}$
Квадратное относительно логарифма уравнение: вводим $t=\log_a x$ и решаем квадратное уравнение.
Уравнение $a^x=b$: логарифмируем обе части по основанию $a$: $x=\log_a b$.
Вложенные логарифмы, например $\log_5\log_2(x+1)=1$: сначала внешний логарифм ($1=\log_5 5$, откуда $\log_2(x+1)=5$), затем внутренний ($x+1=32$, $x=31$).

Пример с проверкой ОДЗ: $\log_3(x^2-3x-5)=\log_3(7-2x)$. Приравниваем: $x^2-x-12=0$, корни $4$ и $-3$. Проверка условия $7-2x>0$: при $x=4$ получаем $-1$, значит, $x=4$ — посторонний корень; ответ $x=-3$.

5. Логарифмические неравенства

Функция $y=\log_a x$ определена при $a>0$, $a\ne1$, $x>0$. От её монотонности зависит, меняется ли знак неравенства при «отбрасывании» логарифмов.

Основание	Неравенство $\log_a f>\log_a g$
$a>1$	$f>g$ (знак сохраняется), плюс условие $g>0$
$0<a<1$	$f<g$ (знак меняется), плюс условие $f>0$

Метод рационализации заменяет сложный логарифмический множитель рациональным: например, $\log_h f-\log_h g$ заменяется на $(h-1)(f-g)$; все выражения существуют при $f,g,h>0$ и $h\ne1$. Дальше применяется метод интервалов с учётом ОДЗ.

6. Как использовать в прикладной задаче

Подставьте числа в формулу, затем перейдите от логарифма к степени: если $\log_a x=b$, то $x=a^b$.
Если нужно найти, при каких значениях величины выполнено условие «не менее» или «не более», решайте неравенство и учитывайте знак при основании меньше $1$.
Проверьте ответ по смыслу и единицам измерения.

Лайфхак 1. Проверяйте ОДЗ после решения по всем подлогарифмическим выражениям, особенно по тем, что не участвовали в приравнивании.

Лайфхак 2. Логарифм — это показатель степени. Переход «логарифм $\to$ степень» ($\log_a x=b\Rightarrow x=a^b$) — главный приём прикладных задач.

Лайфхак 3. Знак логарифма по положению чисел. Если $a$ и $b$ по одну сторону от единицы, логарифм положителен; по разные — отрицателен. Это удобно для быстрых оценок.

Лайфхак 4. Упрощайте неравенство, пока это возможно, и только потом применяйте метод рационализации.

Частые ошибки.

При «отбрасывании» логарифмов не учтён знак неравенства: он меняется, если основание меньше $1$.
Не проверена ОДЗ — в ответ попали посторонние корни.
Ответ получен по одной точке, хотя нужен промежуток.

Разобранные примеры

Пример 1

Водолазный колокол, содержащий υ = 6 молей воздуха при давлении p₁ = 2,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A= альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =5,75 дробь: числитель: Дж, знаменатель: моль умножить на К конец дроби$   — постоянная, T  =  300 K  — температура воздуха. Найдите, какое давление p₂ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж.

Решение

Задача сводится к решению уравнения $A=10350$ :

$5,75 умножить на 6 умножить на 300 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: 2,5 конец дроби = 10350 равносильно 10350 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: 2,5 конец дроби = 10350 равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: 2,5 конец дроби = 1 равносильно дробь: числитель: p_2, знаменатель: 2,5 конец дроби =2 равносильно p_2=5.$

Ответ: 5.

Пример 2

Водолазный колокол, содержащий υ  =  5 молей воздуха при давлении p₁  =  1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A= альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =14,9 дробь: числитель: Дж, знаменатель: моль умножить на К конец дроби$   — постоянная, T  =  300 K температура воздуха. Найдите, какое давление (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 22 350 Дж.

Решение

Задача сводится к решению уравнения $альфа v T\log _2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби =22350$ при заданных значениях постоянной $альфа =14,9,$ температуры воздуха $T=300$ К, количества вещества воздуха $v =5$ моль и давлении $p_1=1,5$ атмосферы:

$14,9 умножить на 5 умножить на 300 умножить на \log _2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: 1,5 конец дроби =22350 равносильно \log _2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: 1,5 конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: p_2, знаменатель: 1,5 конец дроби =2 равносильно p_2=3$ атм.

Ответ: 3.

Пример 3

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора C  =  8 · 10^–⁠6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R  =  5 · 10⁶ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀  =  56 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением $t = альфа RC логарифм по основанию 2 дробь: числитель: U_0, знаменатель: U конец дроби ,$ где α  =  1,5  — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 180 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

Решение

Задача сводится к решению уравнения $t = 180 с$ при заданных значениях начального напряжения на конденсаторе $U_0 = 56 кВ,$ сопротивления резистора $R = 5 умножить на 10 в степени 6 Ом$ и ёмкости конденсатора $C = 8 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка Ф:$

$t = 180 равносильно 1,5 умножить на 5 умножить на 10 в степени 6 умножить на 8 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 56, знаменатель: U конец дроби = 180 равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 56, знаменатель: U конец дроби = 3 равносильно дробь: числитель: 56, знаменатель: U конец дроби = 8 равносильно U = 7.$

Ответ: 7.

Источники

«Логарифмические уравнения», теория, examer.ru
«Как решать задание 15 ЕГЭ по математике профильного уровня», У. В. Татчин, Сургут, 2020
«Задачи с прикладным содержанием (профильный ЕГЭ)», ege-study.ru
«Задачи с прикладным содержанием» (теория к заданию), examer.ru
«Задание 10 ЕГЭ по математике профильного уровня 2027: теория и практика», egeturbo.ru
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 5 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 4 умножить на 10 в степени 6$  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 12$  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =1,4$   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 28 с. Ответ дайте в киловольтах.
У2
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v =2$  моля воздуха объeмом $V_1=18$  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: V_1 , знаменатель: V_2 конец дроби$  (Дж), где $альфа =9,15$ постоянная, а $T = 300$  К  — температура воздуха. Какой объeм $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10980 Дж?
У3
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 6 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 4 умножить на 10 в степени 6$  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 8$  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =1,3$   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 62,4 с. Ответ дайте в киловольтах.
У4
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени υ  =  2 моля воздуха объeмом V₁  =  32 л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма V₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби левая круглая скобка Дж правая круглая скобка ,$ где α  =  17,3  — постоянная, а T  =  300 К  — температура воздуха. Какой объeм V₂ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 380 Дж?
У5
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 2 умножить на 10 в степени 6$  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 30$  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =1,4$   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 25,2 с. Ответ дайте в киловольтах.
У6
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v = 4$  моля воздуха объeмом $V_1=14$  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: V_1 , знаменатель: V_2 конец дроби$  (Дж), где $альфа =11,6$ постоянная, а $T = 300$  К  — температура воздуха. Какой объeм $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 27 840 Дж?
У7
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 8 умножить на 10 в степени 6$  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 14$  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =1,3$   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 83,2 с. Ответ дайте в киловольтах.
У8
Водолазный колокол, содержащий $v = 3$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1,4$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =10,9$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 29430 Дж.
У9
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 15 градусовC,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m  =  0,4 кг/с. Проходя по трубе расстояние x метров, вода охлаждается от начальной температуры $T_в = 40 градусовC$ до температуры T, причем $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п, знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Вт умножить на с, знаменатель: кг умножить на градусовC конец дроби$   — теплоемкость воды, $гамма = 42 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусовC конец дроби$   — коэффициент теплообмена, а α  =  1,6  — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 64 метра.
У10
Водолазный колокол, содержащий $v = 5$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1,75$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =9,7$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 29100 Дж.
У11
Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха при давлении $p_1 = 2,4$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа \nu T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =13,5$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 16200 Дж.
У12
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 25 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0,3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры до температуры $T_в = 49 градусов C,$ причeм $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$ − теплоeмкость воды, $гамма = 21 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$ − коэффициент теплообмена, а $альфа =1,1$ − постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 66 м.
У13
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v =4$  моля воздуха объeмом $V_1=15$  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: V_1 , знаменатель: V_2 конец дроби$  (Дж), где $альфа =9,15$ постоянная, а $T = 300$  К  — температура воздуха. Какой объeм $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10980 Дж?
У14
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 15 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 1,4$ кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры до температуры $T_в = 75 градусов C,$ причeм $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$ − теплоeмкость воды, $гамма = 63 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$ − коэффициент теплообмена, а $альфа =1,8$ − постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 168 м.
У15
Водолазный колокол, содержащий $v = 5$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1,2$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =19,1$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 28650 Дж.
У16
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 20 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0,3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры до температуры $T_в = 100 градусов C,$ причeм $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$ − теплоeмкость воды, $гамма = 42 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$ − коэффициент теплообмена, а $альфа =0,7$ − постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.
У17
Водолазный колокол, содержащий $v = 6$ моля воздуха при давлении $p_1 = 2,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =5,75$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10350 Дж.
У18
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 20 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0,3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается до температуры $T_в = 80 градусов C,$ причeм $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$ − теплоeмкость воды, $гамма = 21 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$ − коэффициент теплообмена, а $альфа =2,3$ − постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 138 м.
У19
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 5 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 3 умножить на 10 в степени 6$  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 20$  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =1,6$   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 24 с. Ответ дайте в киловольтах.
У20
Водолазный колокол, содержащий $v = 3$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1,2$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =9,15$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 16470 Дж.
У21
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 15 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0,5$ кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается до температуры $T_в = 79 градусов C,$ причeм $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$ − теплоeмкость воды, $гамма = 28 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$ − коэффициент теплообмена, а $альфа =0,7$ − постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 105 м.
У22
Водолазный колокол, содержащий $v = 5$ моля воздуха при давлении $p_1 = 2,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =9,15$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 13725 Дж.
У23
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 15 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0,4$ кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры до температуры $T_в = 87 градусов C,$ причeм $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$ − теплоeмкость воды, $гамма = 63 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$ − коэффициент теплообмена, а $альфа =1,5$ − постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 120 м.
У24
Водолазный колокол, содержащий $v = 4$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1,2$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =11,5$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 27600 Дж.

Д1
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 20 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0,3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры $T_в = 60 градусов C$ до температуры $T левая круглая скобка градусовC правая круглая скобка ,$ причeм $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$   — теплоeмкость воды, $гамма = 21 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$   — коэффициент теплообмена, а $альфа =0,7$   — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.
Д2
Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа \nu T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =5,75$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.
Д3
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 25 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 0,5$ кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры $T_в = 85 градусов C$ до температуры T, причём $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Вт умножить на с, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$   — теплоёмкость воды, $гамма = 21 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$   — коэффициент теплообмена, а $альфа =1,4$   — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 140 м.
Д4
Водолазный колокол, содержащий $v = 5$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1,1$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =11,5$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 34500 Дж.
Д5
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 25 градусовC,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m  =  0,6 кг/с. Проходя по трубе расстояние x метров, вода охлаждается от начальной температуры $T_в = 49 градусовC$ до температуры T, причем $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п, знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Вт умножить на с, знаменатель: кг умножить на градусовC конец дроби$   — теплоемкость воды, $гамма = 28 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусовC конец дроби$   — коэффициент теплообмена, а α  =  0,9  — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 81 метра.
Д6
Водолазный колокол, содержащий $v = 13$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1,2$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =15$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 117000 Дж.
Д7
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 15 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m = 0,6 кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры $T_в = 91 градусов C$ до температуры T, причём $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Вт умножить на с, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$   — теплоёмкость воды, $гамма = 28 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$   — коэффициент теплообмена, а $альфа =0,8$   — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 144 м.
Д8
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C = 6 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$ Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 6 умножить на 10 в степени 6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 26$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =1,2$ − постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 43,2 с. Ответ дайте в киловольтах.
Д9
Водолазный колокол, содержащий υ = 2 моля воздуха при давлении p₁ = 2,4 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A= альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =13,5 дробь: числитель: Дж, знаменатель: моль умножить на К конец дроби$   — постоянная, T  =  300 K  — температура воздуха. Найдите, какое давление p₂ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 16 200 Дж.
Д10
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$ Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 8 умножить на 10 в степени 6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 4$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =1,4$ − постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 33,6 с. Ответ дайте в киловольтах.
Д11
Водолазный колокол, содержащий υ = 2 моля воздуха при давлении p₁ = 1,75 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A= альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где  $альфа =13,3 дробь: числитель: Дж, знаменатель: моль умножить на К конец дроби$   — постоянная, T  =  300 K  — температура воздуха. Найдите, какое давление (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15 960 Дж.
Д12
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 20 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0,2$ кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры до температуры $T_в = 100 градусов C,$ причeм $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$ − теплоeмкость воды, $гамма = 42 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$ − коэффициент теплообмена, а $альфа =1,4$ − постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 28 м.
Д13
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 5 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 2 умножить на 10 в степени 6$  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 25$  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =2,3$   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 46 с. Ответ дайте в киловольтах.
Д14
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v =4$  моля воздуха объeмом $V_1=72$  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: V_1 , знаменатель: V_2 конец дроби$  (Дж), где $альфа =14,9$ постоянная, а $T = 300$  К  — температура воздуха. Какой объeм $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 35760 Дж?
Д15
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 5 умножить на 10 в степени 6$  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 16$  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =0,7$   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 21 с. Ответ дайте в киловольтах.
Д16
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v =3$  моля воздуха объeмом $V_1=40$  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: V_1 , знаменатель: V_2 конец дроби$  (Дж), где $альфа =11,5$ постоянная, а $T = 300$  К  — температура воздуха. Какой объeм $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?
Д17
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 5 умножить на 10 в степени 6$  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 36$  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =1,8$   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 72 с. Ответ дайте в киловольтах.
Д18
Водолазный колокол, содержащий $v = 4$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби ,$ где $альфа =9,15$   — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10980 Дж.
Д19
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 20 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0,2$ кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается до температуры $T_в = 68 градусов C,$ причeм $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби ,$ где $c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби$ − теплоeмкость воды, $гамма = 21 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби$ − коэффициент теплообмена, а $альфа =1,7$ − постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 136 м.
Д20
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 3 умножить на 10 в степени 6$  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 16$  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =1,4$   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 8,4 с. Ответ дайте в киловольтах.
Д21
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v = 4$  моля воздуха объeмом $V_1=22$  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: V_1 , знаменатель: V_2 конец дроби$  (Дж), где $альфа =9,1$ постоянная, а $T = 300$  К  — температура воздуха. Какой объeм $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 21840 Дж?
Д22
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 5 умножить на 10 в степени 6$  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 3$  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби$ (с), где $альфа =2,3$   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 46 с. Ответ дайте в киловольтах.
Д23
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v = 5$  молей воздуха объeмом $V_1=28$  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: V_1 , знаменатель: V_2 конец дроби$  (Дж), где $альфа =6,3$ постоянная, а $T = 300$  К  — температура воздуха. Какой объeм $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 28350 Дж?

Основание	Неравенство \(\log_a f>\log_a g\)
\(a>1\)	\(f>g\) (знак сохраняется), плюс условие \(g>0\)
\(0<a<1\)	\(f<g\) (знак меняется), плюс условие \(f>0\)