Задание 10 · Задачи с прикладным содержанием

10.7. Тригонометрические уравнения и неравенства

Для репетитора: показать ответы

1. Какие формулы встречаются

Тригонометрические модели описывают колебания и волны: груз на пружине (скорость и кинетическая энергия в заданный момент), дифракционная решётка. В формуле стоит $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ или $\operatorname{tg}\alpha$, и задача сводится к простейшему тригонометрическому уравнению (например, $\cos\alpha=\dfrac12$) или неравенству (например, $\sin\alpha\ge\dfrac{\sqrt3}{2}$) на заданном промежутке.

Общий порядок: выписать данные и единицы, подставить числа, получить простейшее уравнение или неравенство, решить его на нужном промежутке, проверить смысл ответа.

2. Обратные тригонометрические функции

Функция	Значение $t$	Область значений $t$	Условие на $a$
$\arcsin a$	$\sin t=a$	$\left[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right]$	$\|a\|\le1$
$\arccos a$	$\cos t=a$	$[0;\pi]$	$\|a\|\le1$
$\operatorname{arctg}a$	$\operatorname{tg}t=a$	$\left(-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right)$	любое $a$
$\operatorname{arcctg}a$	$\operatorname{ctg}t=a$	$(0;\pi)$	любое $a$

Полезные свойства: $\arcsin(-a)=-\arcsin a$; $\arccos(-a)=\pi-\arccos a$; $\operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a$; $\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg}a$.

3. Формулы корней простейших уравнений

Уравнение	Решения ($n\in\mathbb Z$)
$\cos t=a$, $\|a\|\le1$	$t=\pm\arccos a+2\pi n$
$\sin t=a$, $\|a\|\le1$	$t=\arcsin a+2\pi n$ или $t=\pi-\arcsin a+2\pi n$ (то же самое, что $t=(-1)^n\arcsin a+\pi n$)
$\operatorname{tg}t=a$	$t=\operatorname{arctg}a+\pi n$
$\operatorname{ctg}t=a$	$t=\operatorname{arcctg}a+\pi n$

При $|a|>1$ уравнения $\sin t=a$ и $\cos t=a$ решений не имеют.

Частные случаи

Синус	Косинус
$\sin t=0$: $t=\pi n$	$\cos t=0$: $t=\dfrac\pi2+\pi n$
$\sin t=1$: $t=\dfrac\pi2+2\pi n$	$\cos t=1$: $t=2\pi n$
$\sin t=-1$: $t=-\dfrac\pi2+2\pi n$	$\cos t=-1$: $t=\pi+2\pi n$

Примеры: $\cos t=-\dfrac12$ даёт $t=\pm\dfrac{2\pi}3+2\pi n$; $\operatorname{tg}t=1$ даёт $t=\dfrac\pi4+\pi n$.

4. Простейшие тригонометрические неравенства

Решения записывают как промежутки с периодом ($k\in\mathbb Z$).

$\cos t>a$: $t\in(-\arccos a+2\pi k;\ \arccos a+2\pi k)$.
$\sin t<a$: $t\in(-\pi-\arcsin a+2\pi k;\ \arcsin a+2\pi k)$.
$\operatorname{tg}t>a$: $t\in\left(\operatorname{arctg}a+\pi k;\ \dfrac\pi2+\pi k\right)$.
$\operatorname{ctg}t>a$: $t\in(\pi k;\ \operatorname{arcctg}a+\pi k)$.

Тригонометрическое неравенство удобнее решать по графику или по тригонометрической окружности, а не «в уме». В прикладной задаче обязательно учитывайте период и промежуток, на котором ищется решение.

5. Основные тождества (пригодятся при подстановке)

$\sin^2x+\cos^2x=1$; $\operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$; $\operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$; $\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x=1$.
$\sin 2x=2\sin x\cos x$; $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2$; $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2$.

6. Отбор решений на промежутке

Если нужно найти решение на заданном промежутке, подставляйте в общую серию корней целые значения $n$ и смотрите, какие попадают в промежуток. Неравенство для $n$ решают делением на $\pi$ и округлением до целых. Например, из серии $-\dfrac\pi4+\pi n$ на отрезке $[3\pi;4\pi]$ подходит $n=4$ и корень $\dfrac{15\pi}{4}$. Другие способы отбора: по тригонометрической окружности и по графику.

Лайфхак 1. Рисуйте окружность или график. Тригонометрическое неравенство решайте по окружности или графику, а не «в уме».

Лайфхак 2. Период и промежуток. В прикладной задаче проверьте, на каком промежутке (времени, угла) ищется решение: из бесконечной серии нужен только подходящий корень.

Лайфхак 3. Проверяйте существование корней. Если $|a|>1$, уравнения $\sin t=a$, $\cos t=a$ решений не имеют.

Лайфхак 4. Сверяйте результат с физическим смыслом и записывайте ответ в той форме и тех единицах, которые просит задача.

Частые ошибки.

Решение тригонометрического неравенства «в уме», без графика или окружности.
Не учтены период и промежуток, на котором ищется решение.
Взят один корень вместо промежутка (для неравенств ответом является промежуток).
Ответ записан не в той форме или не в тех единицах, что требуются в условии.

Разобранные примеры

Пример 1

Груз массой 0,15 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=0,4$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 6 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Найдем скорость груза через 6 секунд после начала колебаний:

$v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби =0,4 умножить на косинус дробь: числитель: 2 Пи умножить на 6, знаменатель: 2 конец дроби =0,4 умножить на косинус {6 Пи =0,4 умножить на 1=0,4$

Найдем кинетическую энергию груза через 6 секунд после начала колебаний:

$E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 0,15 умножить на 0,4 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =0,012$

Ответ: 0,012

Пример 2

Мяч бросили под углом $альфа$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле $t = дробь: числитель: 2 v _0 синус альфа , знаменатель: g конец дроби .$ При каком значении угла $альфа$ (в градусах) время полeта составит 5,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v _0= 28$  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10$  м/с $в квадрате .$

Решение

Задача сводится к решению уравнения $t левая круглая скобка альфа правая круглая скобка = 5,6$ на отрезке $левая квадратная скобка 0 градусов ; 90 градусов правая квадратная скобка$ при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения:

$дробь: числитель: 2 умножить на 28 умножить на синус альфа , знаменатель: 10 конец дроби = 5,6 равносильно синус альфа = 1\underset0 градусов меньше или равно альфа меньше или равно 90 градусов \mathop равносильно альфа =90 градусов .$

Ответ: 90.

Пример 3

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  12 с  — период колебаний, $v _0=0,5$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/⁠с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Найдем скорость груза через 1 секунду после начала колебаний:

$v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби = 0,5 умножить на синус дробь: числитель: 2 Пи умножить на 1, знаменатель: 12 конец дроби =0,5 умножить на синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = 0,5 умножить на 0,5 = 0,25м/с.$

Найдем кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний:

$E = дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 0,08 умножить на 0,25 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = 0,0025.$

Ответ: 0,0025.

Источники

Материалы по теме «Тригонометрические уравнения», Г. М. Галиева, МБОУ «Изминская СОШ» (Республика Татарстан)
«Тригонометрические уравнения (задание 13 ЕГЭ)», М. А. Курбанов, МБОУ гимназия № 2, Сургут, 2019
«Решение простейших тригонометрических уравнений», урок в 10 классе, Л. В. Антипова, МОУ Елшанская СОШ, 2013
«Система повторения по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» для 11 класса», Т. Г. Волик, infourok.ru
«Задачи с прикладным содержанием (профильный ЕГЭ)», ege-study.ru
«Задание 10 ЕГЭ по математике профильного уровня 2027: теория и практика», egeturbo.ru
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
При нормальном падении света с длиной волны $\lambda=450$  нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением $d синус \varphi= k\lambda.$ Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1800 нм?
У2
Катер должен пересечь реку шириной $L = 100$ м и со скоростью течения $u =0,5$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = дробь: числитель: L, знаменатель: u конец дроби \mathop\rm ctg\nolimits альфа ,$ где $альфа$   — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $альфа$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?
У3
Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=0,5$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/⁠с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
У4
Мяч бросили под углом $альфа$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле $t = дробь: числитель: 2 v _0 синус альфа , знаменатель: g конец дроби .$ При каком значении угла $альфа$ (в градусах) время полeта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v _0= 30$ м/⁠с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с $в квадрате .$
У5
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 синус левая круглая скобка \omega t плюс \varphi правая круглая скобка ,$ где t  — время в секундах, амплитуда U₀  =  2 В, частота ω  =  120°/с, фаза φ  =  –30°. Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
У6
При нормальном падении света с длиной волны $\lambda=400$  нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом острый угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением $d синус \varphi= k\lambda.$ Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 2400 нм?
У7
Катер должен пересечь реку шириной $L=75$  м и со скоростью течения $u =0,5$  м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = дробь: числитель: L, знаменатель: u конец дроби \mathop\rm ctg\nolimits альфа ,$ где $альфа$   — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $альфа$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 150 с?
У8
Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  12 с  — период колебаний, $v _0=1,5$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 11 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
У9
Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v левая круглая скобка t правая круглая скобка = 7 синус дробь: числитель: Пи t, знаменатель: 4 конец дроби$  (см/с), где t  — время в секундах. Какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала 3,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
У10
Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н $умножить на$ м) определяется формулой $M = NIBl в квадрате синус альфа ,$ где $I = 3A$   — сила тока в рамке, $B=4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка$  Тл  — значение индукции магнитного поля, $l =0,5$  м  — размер рамки, $N=600$   — число витков провода в рамке, $альфа$   — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла $альфа$ (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,9 Н $умножить на$ м?
У11
Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом $q=5 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v =6$  м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол $альфа$  с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B=6 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка$  Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_л = q v B синус альфа$  (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $альфа принадлежит левая квадратная скобка 0 градусов ;180 градусов правая квадратная скобка$ шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_л$ была не менее, чем $9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка$  Н? Ответ дайте в градусах.
У12
Два тела массой $m=2$  кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v =10$  м/с под углом $2 альфа$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением $Q = m v в квадрате синус в квадрате альфа .$ Под каким наименьшим углом $2 альфа$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 100 джоулей?
У13
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью $v = 3,6$  м/с под острым углом $альфа$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = дробь: числитель: m, знаменатель: m плюс M конец дроби v косинус альфа$  (м/с), где $m = 70$  кг  — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 350$  кг  — масса платформы. Под каким максимальным углом $альфа$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?
У14
Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=0,5$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 7 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
У15
Мяч бросили под углом $альфа$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле $t = дробь: числитель: 2 v _0 синус альфа , знаменатель: g конец дроби .$ При каком значении угла $альфа$ (в градусах) время полeта составит 1,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v _0= 16$  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10$  м/с $в квадрате .$
У16
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 синус левая круглая скобка \omega t плюс \varphi правая круглая скобка ,$ где t  — время в секундах, амплитуда $U_0 = 2$ В, частота $\omega=120 градусов$ /с, фаза $\varphi=30 градусов.$ Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
У17
При нормальном падении света с длиной волны $\lambda=350$  нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением $d синус \varphi= k\lambda.$ Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1400 нм?
У18
Груз массой 0,15 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  16 с  — период колебаний, $v _0=0,4$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 2 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
У19
Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v левая круглая скобка t правая круглая скобка = 6 синус дробь: числитель: Пи t, знаменатель: 3 конец дроби$  (см/с), где t  — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 3 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
У20
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 синус левая круглая скобка \omega t плюс \varphi правая круглая скобка ,$ где t  — время в секундах, амплитуда U₀  =  2 В, частота ω =150 °/c , фаза φ = 45° . Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
У21
При нормальном падении света с длиной волны $\lambda = 710 нм$ на дифракционную решётку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением $d синус \varphi = k \lambda.$ Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим 2840 нм?
У22
Груз массой 0,02 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  16 с  — период колебаний, $v _0=1$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 6 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
У23
Мяч бросили под углом $альфа$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле $t = дробь: числитель: 2 v _0 синус альфа , знаменатель: g конец дроби .$ При каком значении угла $альфа$ (в градусах) время полeта составит 2,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v _0= 13$  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10$  м/с $в квадрате .$
У24
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 синус левая круглая скобка \omega t плюс \varphi правая круглая скобка ,$ где t  — время в секундах, амплитуда U₀  =  2 В, частота ω =120 °/c , фаза φ = 15° . Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
У25
Два тела массой $m=12$  кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v =5$  м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением $Q = m v в квадрате синус в квадрате альфа ,$ где m  — масса в килограммах, υ  — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 75 джоулей?
У26
Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=0,6$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
У27
Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  8 с  — период колебаний, $v _0=0,6$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 3 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
У28
Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  6 с  — период колебаний, $v _0=0,8$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 5 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
У29
Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  16 с  — период колебаний, $v _0=0,4$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 2 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
У30
Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  16 с  — период колебаний, $v _0=1,9$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 6 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Д1
Два тела массой $m=3$  кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v =12$  м/с под углом $2 альфа$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением $Q = m v в квадрате синус в квадрате альфа .$ Под каким наименьшим углом $2 альфа$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 108 джоулей?
Д2
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью $v = 3$ м/с под острым углом $альфа$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = дробь: числитель: m, знаменатель: m плюс M конец дроби v косинус альфа$ (м/с), где $m = 80$ кг  — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 400$ кг  — масса платформы. Под каким максимальным углом $альфа$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/⁠с?
Д3
Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v левая круглая скобка t правая круглая скобка = 5 синус Пи t$ (см/с), где t  — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения была не менее 2,5 см/⁠с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Д4
Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку (в Н $умножить на$ м), определяется формулой $M = NIBl в квадрате синус альфа ,$ где $I = 2A$   — сила тока в рамке, $B = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка$ Тл  — значение индукции магнитного поля, $l =0,5$ м  — размер рамки, $N = 1000$   — число витков провода в рамке, $альфа$   — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла $альфа$ (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Н $умножить на$ м?
Д5
Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом $q = 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v = 5$ м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол $альфа$ с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B = 4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_л = q v B синус альфа$ (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $альфа принадлежит левая квадратная скобка 0 градусов ;180 градусов правая квадратная скобка$ шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_л$ была не менее чем $2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка$ Н? Ответ дайте в градусах.
Д6
Два тела массой $m=10$  кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v =6$  м/с под углом $2 альфа$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением $Q = m v в квадрате синус в квадрате альфа .$ Под каким наименьшим углом $2 альфа$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 90 джоулей?
Д7
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью $v =4$  м/с под острым углом $альфа$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = дробь: числитель: m, знаменатель: m плюс M конец дроби v косинус альфа$  (м/с), где $m =75$  кг  — масса скейтбордиста со скейтом, а $M=300$  кг  — масса платформы. Под каким максимальным углом $альфа$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,4 м/с?
Д8
Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=0,5$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 60 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Д9
Мяч бросили под углом $альфа$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле $t = дробь: числитель: 2 v _0 синус альфа , знаменатель: g конец дроби .$ При каком значении угла $альфа$ (в градусах) время полeта составит 1,9 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v _0= 19$  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10$  м/с $в квадрате .$
Д10
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 косинус левая круглая скобка \omega t плюс \varphi правая круглая скобка ,$ где t  — время в секундах, амплитуда $U_0 = 2$  В, частота $\omega = 240 градусов$ /с, фаза $\varphi = минус 120 градусов.$ Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Д11
При нормальном падении света с длиной волны $\lambda =450$ нм на дифракционную решётку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $бета$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением $d синус бета =k \lambda .$ Под каким минимальным углом $бета$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим 1800 нм.
Д12
Катер должен пересечь реку шириной $L = 49$  м и со скоростью течения $u =0,7$  м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = дробь: числитель: L, знаменатель: u конец дроби \mathop\rm ctg\nolimits альфа ,$ где $альфа$   — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $альфа$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 70 с?
Д13
Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  12 с  — период колебаний, $v _0=0,5$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 7 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Д14
Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v левая круглая скобка t правая круглая скобка = 10 синус дробь: числитель: Пи t, знаменатель: 5 конец дроби$  (см/с), где t  — время в секундах. Какую долю времени из первых трех секунд скорость движения превышала 5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Д15
Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н $умножить на$ м) определяется формулой $M = NIBl в квадрате синус альфа ,$ где $I = 8A$   — сила тока в рамке, $B = 7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка$  Тл  — значение индукции магнитного поля, $l =0,3$  м  — размер рамки, $N = 250$   — число витков провода в рамке, $альфа$   — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла $альфа$ (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,63 Н  $умножить на$  м?
Д16
Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом $q = 8 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка$  Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v = 3$  м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол $альфа$  с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B = 5 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка$  Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_л = q v B синус альфа$  (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $альфа принадлежит левая квадратная скобка 0 градусов ;180 градусов правая квадратная скобка$ шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_л$ была не менее чем $6 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка$  Н? Ответ дайте в градусах.
Д17
Два тела, массой m  =  9 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью υ = 6 м/c под углом $2 альфа$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q=m v в квадрате синус в квадрате альфа ,$ где m  — масса (в кг), υ   — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2 альфа$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 81 Дж. Ответ дайте в градусах.
Д18
Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=1,5$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 2 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Д19
Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н $умножить на$ м) определяется формулой $M = NIBl в квадрате синус альфа ,$ где $I = 4A$ − сила тока в рамке, $B = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка$ Тл  — значение индукции магнитного поля, $l =0,3$ м  — размер рамки, $N = 2500$ − число витков провода в рамке, $альфа$ − острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла $альфа$ (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 1,35 Н · м?
Д20
Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом $q = 2,5 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка Кл$ скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v = 4м/с,$ на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол α с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B = 5 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка Тл.$ При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_л = q v B синус альфа левая круглая скобка Н правая круглая скобка$ и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $альфа принадлежит левая квадратная скобка 0 градусов; 180 градусов правая квадратная скобка$ шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_л$ была не менее, чем $5 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка Н?$ Ответ дайте в градусах.
Д21
Два тела, массой m   =  6 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью υ = 9 м/c под углом $2 альфа$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q=m v в квадрате синус в квадрате альфа$ , где m  — масса (в кг), υ   — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2 альфа$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.
Д22
Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v левая круглая скобка t правая круглая скобка = 7 синус Пи t левая круглая скобка см/с правая круглая скобка ,$ где t  — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения была не менее 3,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Д23
Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н $умножить на$ м) определяется формулой $M = NIBl в квадрате синус альфа ,$ где $I = 10A$ − сила тока в рамке, $B = 7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка$ Тл  — значение индукции магнитного поля, $l =0,5$ м  — размер рамки, $N = 200$ − число витков провода в рамке, $альфа$ − острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла $альфа$ (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 1,75 Н · м?
Д24
При нормальном падении света c длиной волны $\lambda=640 нм$ на дифракционную решётку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением $d синус \varphi = k \lambda.$ Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решётке с периодом, не превосходящим 3840 нм?
Д25
Груз массой 0,8 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  16 с  — период колебаний, $v _0=0,5$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Д26
Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v левая круглая скобка t правая круглая скобка = 8 синус дробь: числитель: Пи t, знаменатель: 3 конец дроби$  (см/с), где t  — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 4 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Д27
Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=1,4$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 13 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Д28
Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=1,1$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 17 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Д29
Груз массой 0,15 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=0,4$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 12 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Д30
Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби ,$ где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, $v _0=1,5$ м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где m  — масса груза в килограммах, υ   — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 16 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Функция	Значение \(t\)	Область значений \(t\)	Условие на \(a\)
\(\arcsin a\)	\(\sin t=a\)	\(\left[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right]\)	\(\|a\|\le1\)
\(\arccos a\)	\(\cos t=a\)	\([0;\pi]\)	\(\|a\|\le1\)
\(\operatorname{arctg}a\)	\(\operatorname{tg}t=a\)	\(\left(-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right)\)	любое \(a\)
\(\operatorname{arcctg}a\)	\(\operatorname{ctg}t=a\)	\((0;\pi)\)	любое \(a\)

Уравнение	Решения (\(n\in\mathbb Z\))
\(\cos t=a\), \(\|a\|\le1\)	\(t=\pm\arccos a+2\pi n\)
\(\sin t=a\), \(\|a\|\le1\)	\(t=\arcsin a+2\pi n\) или \(t=\pi-\arcsin a+2\pi n\) (то же самое, что \(t=(-1)^n\arcsin a+\pi n\))
\(\operatorname{tg}t=a\)	\(t=\operatorname{arctg}a+\pi n\)
\(\operatorname{ctg}t=a\)	\(t=\operatorname{arcctg}a+\pi n\)

Синус	Косинус
\(\sin t=0\): \(t=\pi n\)	\(\cos t=0\): \(t=\dfrac\pi2+\pi n\)
\(\sin t=1\): \(t=\dfrac\pi2+2\pi n\)	\(\cos t=1\): \(t=2\pi n\)
\(\sin t=-1\): \(t=-\dfrac\pi2+2\pi n\)	\(\cos t=-1\): \(t=\pi+2\pi n\)