‹ База знаний

Задание 11 · Текстовые задачи

11.1. Задачи на проценты, сплавы и смеси

Для репетитора: показать ответы

1. Проценты: основные формулы

Один процент — это одна сотая часть числа. При переводе в десятичную дробь: \(15\%=0{,}15\), \(54\%=0{,}54\).

Что нужноФормула
Число \(b\), составляющее \(p\%\) от числа \(a\)\(b=a\cdot\dfrac{p}{100}\)
Увеличение числа \(a\) на \(p\%\)\(b=a\cdot\dfrac{100+p}{100}\)
Уменьшение числа \(a\) на \(p\%\)\(b=a\cdot\dfrac{100-p}{100}\)
На сколько процентов \(b\) больше \(a\)\(\dfrac{b-a}{a}\cdot100\%\)
На сколько процентов \(a\) меньше \(b\)\(\dfrac{b-a}{b}\cdot100\%\)
\(N\) раз подряд изменить число \(a\) на \(p\%\)\(b=a\cdot\left(1\pm\dfrac{p}{100}\right)^N\) («+» для увеличения, «−» для уменьшения)

Главное правило: при каждом изменении или сравнении чётко определите, от какого числа берётся процент. Именно поэтому в формулах сравнения знаменатель меняется в зависимости от того, какое число считается базовым.

Типичные сюжеты: товар подорожал, затем подешевел (изменения «накладываются» друг на друга последовательно); цена ежегодно снижается на одно и то же число процентов; доли дохода семьи; распределение прибыли пропорционально вкладам.

2. Растворы, смеси, сплавы: основные понятия

Во всех таких задачах работает одна формула: \(K=\dfrac{m}{M}\cdot100\%\), где \(K\) — процент чистого вещества, \(m\) — его масса, \(M\) — масса раствора (смеси, сплава).

Закон сохранения. При смешивании растворов (сплавов) массы складываются: масса смеси равна сумме масс частей. Масса вещества в смеси равна сумме масс вещества в частях. Для каждого раствора: масса вещества = масса раствора × концентрация (концентрация — в виде доли).

3. Таблица для задач на смеси

Масса раствораКонцентрацияМасса вещества
1-й раствор\(M_1\)\(P_1\)\(m_1=M_1P_1\)
2-й раствор\(M_2\)\(P_2\)\(m_2=M_2P_2\)
Смесь\(M_1+M_2\)\(P\)\(m_1+m_2\)

4. Алгоритм решения

  1. Обозначьте неизвестную величину через \(x\) (например, массу одного из растворов).
  2. Выразите остальные массы через \(x\) (например, второй раствор: \(200-x\)).
  3. Выразите массу чистого вещества в каждом компоненте через процент и \(x\).
  4. Составьте уравнение: масса вещества до смешивания равна массе вещества после.
  5. Решите уравнение, проверьте разумность ответа: концентрация смеси лежит между концентрациями исходных растворов, суммарная масса совпадает с заданной.

Пример. Сплавы никеля (10% и 35%) образуют 225 кг сплава с 25% никеля. Пусть первый сплав весит \(x\) кг, тогда второй \(225-x\). Уравнение \(0{,}1x+0{,}35(225-x)=0{,}25\cdot225\) даёт \(x=90\); второй сплав весит \(135\) кг, то есть на \(45\) кг больше первого.

Если в задаче два условия (две ситуации), составьте систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Например: \(x+y=200\), \(0{,}1x+0{,}3y=32\) (растворы 10% и 30% дают 200 г раствора с концентрацией 16%) — отсюда \(x=140\), \(y=60\).

5. Правило креста (квадрат Пирсона)

Это быстрый способ найти отношение масс двух исходных растворов.

Пример: чтобы получить 30 г 80%-го раствора из 90%-го и 60%-го, разности равны 10 и 20, отношение масс 90%-го и 60%-го — \(20:10=2:1\): берут 20 г 90%-го и 10 г 60%-го раствора.

6. Высыхание и испарение

При высыхании или испарении масса сухого вещества не меняется, меняется только масса воды. Пример: сухого вещества в изюме 95%, в винограде 10%. Для 40 кг изюма нужно \(40\cdot0{,}95=38\) кг сухого вещества, значит, винограда нужно \(\dfrac{38}{0{,}1}=380\) кг.

Лайфхак 1. Проценты — в доли. В уравнении пишите \(0{,}15\), а не \(15\).
Лайфхак 2. Работайте с массой чистого вещества, а не с процентами — именно она сохраняется при смешивании.
Лайфхак 3. При высыхании сохраняется сухой остаток: «твёрдая часть» винограда равна «твёрдой части» изюма.
Лайфхак 4. Решайте в общем виде и подставляйте числа в конце: громоздкие выражения не нужно вычислять до конца.
Частые ошибки.
  • Путают массу всей смеси с массой чистого вещества.
  • Считают, что добавленная чистая вода увеличивает массу чистого вещества: она увеличивает массу раствора, но чистого вещества не добавляет.
  • Забывают, что при добавлении 50%-го раствора добавляются и чистое вещество, и масса раствора.
  • Неверно переводят проценты в дроби (54% записывают как 54, а не 0,54).
  • Берут процент не от того числа, которое является базовым.

Разобранные примеры

Пример 1

Три одинаковые рубашки дешевле куртки на 10%. На сколько процентов четыре такие же рубашки дороже куртки?

Решение

Стоимость трех рубашек составляет 90% стоимости куртки. Значит, стоимость одной рубашки составляет 30% стоимости куртки. Поэтому стоимость четырёх рубашек составляет 120% стоимости куртки. Это превышает стоимость куртки на 20%.

Ответ: 20.

Пример 2

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение

Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%, то есть зарплата мужа составляет 56% дохода семьи. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход жены составляет 100% − 56% − 6%  =  38% дохода семьи.

Ответ: 38.

Пример 3

В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 3%, а в 2010 году  — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение

В 2009 году число жителей стало 40000 плюс 0,03 умножить на 40000=41200 человек, а в 2010 году число жителей стало 41200 плюс 0,09 умножить на 41200=44908 человек.

Ответ: 44 908.

Источники
  • «Понятие процента как основа решения финансово-экономических задач», С. П. Беребердина, МАОУ СОШ № 8 им. Ц. Л. Куникова, ИРО Краснодарского края (iro23.ru), 2024
  • «Методика решения текстовых задач («на сплавы и смеси») при подготовке к ОГЭ по математике», С. В. Рудь, Краснодарский ПКУ, 2023
  • «Решение задач по теме растворы, смеси, сплавы», Н. Г. Трищенко, Всеволожская открытая (сменная) общеобразовательная школа № 2
  • «Лайфхаки ЕГЭ», методический материал, nomc.math.tsu.ru, 2024
  • Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров
  1. У1

    В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 1%, а в 2010 году  — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

  2. У2

    Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

  3. У3

    Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

  4. У4

    Смешали некоторое количество 15%-⁠го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19%-⁠го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  5. У5

    Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

  6. У6

    Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

  7. У7

    В среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а в четверг подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?

  8. У8

    Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 900 рублей, через два года был продан за 16 929 рублей.

  9. У9

    В сосуд, содержащий 7 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  10. У10

    Смешали 3 литра 25-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  11. У11

    Имеется два сплава. Первый содержит 15% никеля, второй  — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

  12. У12

    Смешав 11-процентный и 72-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 31-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 51-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 11-процентного раствора использовали для получения смеси?

  13. У13

    В среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а в четверг подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 64% дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?

  14. У14

    Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 58%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вчетверо, общий доход семьи сократился бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

  15. У15

    В сосуд, содержащий 8 кг 11-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 3 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  16. У16

    Смешали 4 литра 20-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 35-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  17. У17

    Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

  18. У18

    Смешав 55-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 65-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 75-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 55-процентного раствора использовали для получения смеси?

  19. У19

    Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 4%. На сколько процентов шесть таких же рубашек дороже куртки?

  20. У20

    Дима, Артем, Гриша и Вова учредили компанию с уставным капиталом 150000 рублей. Дима внес 17% уставного капитала, Артем  — 50000 рублей, Гриша  — 0,24 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Вова. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 900000 рублей причитается Вове? Ответ дайте в рублях.

  21. У21

    Смешали некоторое количество 20-⁠процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 16-⁠процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  22. У22

    Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 14 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

  23. У23

    Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

  24. У24

    Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 800 рублей, через два года был продан за 16 848 рублей.

  25. У25

    В сосуд, содержащий 7 литров 30-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  26. У26

    Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 36 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

  27. У27

    Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 40% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 50 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

  28. У28

    Дима, Антон, Паша и Коля учредили компанию с уставным капиталом 100 000 рублей. Дима внес 22% уставного капитала, Антон  — 50 000 рублей, Паша  — 0,26 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 700 000 рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях.

  29. У29

    Смешали некоторое количество 19-⁠процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 13-⁠процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  30. У30

    Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй  — 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. На сколько килограммов масса первого раствора была меньше массы второго?

  1. Д1

    В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 1% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

  2. Д2

    Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

  3. Д3

    Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42 000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

  4. Д4

    Смешали 4 литра 15-⁠процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-⁠процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

    Конечно, вместо литров следовало бы говорить о килограммах растворов.

  5. Д5

    Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

  6. Д6

    Смешав 30-процентный и 60-⁠процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-⁠процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-⁠процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-⁠процентного раствора использовали для получения смеси?

  7. Д7

    Семь одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов десять таких же рубашек дороже куртки?

  8. Д8

    Митя, Артем, Паша и Женя учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 18% уставного капитала, Артем  — 60000 рублей, Паша  — 0,18 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Женя. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1100000 рублей причитается Жене? Ответ дайте в рублях.

  9. Д9

    Смешали некоторое количество 13-⁠процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-⁠процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  10. Д10

    Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 82 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

  11. Д11

    Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 12% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

  12. Д12

    В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 7%, а в 2010 году  — на 8% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

  13. Д13

    Одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки на 1%. На сколько процентов тринадцать таких же рубашек дороже куртки?

  14. Д14

    Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 19 800 рублей, через два года был продан за 16 038 рублей.

  15. Д15

    Смешали некоторое количество 15-⁠процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-⁠процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  16. Д16

    Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 16 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

  17. Д17

    Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

  18. Д18

    В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 49% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

  19. Д19

    Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 19 100 рублей, через два года был продан за 15 471 рубль.

  20. Д20

    В сосуд, содержащий 8 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  21. Д21

    Смешали 8 литров 25-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 20-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  22. Д22

    Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

  23. Д23

    Смешав 41-процентный и 63-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 49-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 54-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 41-процентного раствора использовали для получения смеси?

  24. Д24

    Дима, Андрей, Саша и Женя учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Дима внес 15% уставного капитала, Андрей  — 55 000 рублей, Саша  — 0,22 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Женя. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 600 000 рублей причитается Жене? Ответ дайте в рублях.

  25. Д25

    Смешали некоторое количество 14-⁠процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-⁠процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  26. Д26

    Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

  27. Д27

    Смешав 43‐процентный и 89‐процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 69‐процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50‐процентного раствора той же кислоты, то получили бы 73‐процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43‐процентного раствора использовали для получения смеси?

  28. Д28

    В сосуд, содержащий 10 литров 18-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  29. Д29

    Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 6 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

  30. Д30

    Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40% меди, второй  — 25% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35% меди. Найдите массу третьего

    сплава. Ответ дайте в килограммах.