Задание 11 · Текстовые задачи

11.3. Задачи на движение по окружности

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое задача на движение по окружности

Участники движутся по замкнутой трассе (круговая дорога, стадион, орбита, часовой циферблат). Всё решается через основную формулу движения $S=v\cdot t$, где $S$ — путь, $v$ — скорость, $t$ — время. Новое здесь только одно: трасса замкнута, у неё есть длина круга $L$ (если дан радиус, то $L=2\pi R$).

Слова «встретились», «догнали», «поравнялись», «обогнали» означают, что участники оказались в одной точке трассы.
Когда один участник догоняет другого, разность их путей равна целому числу кругов, то есть кратна $L$.
Путь, пройденный участником, не «обнуляется» на круге: если он проехал 30 км по трассе длиной 12 км, то он проехал 2 полных круга и ещё 6 км.

2. Скорость сближения и скорость удаления

Ситуация	Скорость сближения / удаления
Движение навстречу друг другу	скорость сближения $v_1+v_2$
Движение вдогонку, в одном направлении	скорость сближения $v_1-v_2$ (быстрый догоняет медленного)
Из одной точки в разные стороны	скорость удаления $v_1+v_2$
Из одной точки в одну сторону	скорость удаления $v_1-v_2$

Начальное расстояние (или нужная разность путей) равно скорости сближения, умноженной на время до встречи.

3. Старт из одной точки в одном направлении

Пусть $v_1>v_2$. В момент первой встречи первый участник прошёл ровно на один круг больше второго:

$(v_1-v_2)\cdot t_1=L$, откуда $t_1=\dfrac{L}{v_1-v_2}$.
Встречи повторяются: в момент $t_n=n\cdot t_1$ происходит $n$-я встреча (каждый раз быстрый «выигрывает» ещё один круг).
Если сказано, что первый «обогнал второго на круг» за время $t$, это тоже $(v_1-v_2)\cdot t=L$.

4. Старт из разных точек трассы

Если участники стартовали в одном направлении из разных точек, между ними сначала есть дуга $s$. Время, за которое быстрый впервые поравняется с медленным, находят из условия

$s=(v_1-v_2)\cdot t_0$, то есть $t_0=\dfrac{s}{v_1-v_2}$.

Дальше рассуждают как в пункте 3: каждая следующая встреча наступает через время $\dfrac{L}{v_1-v_2}$ после предыдущей.

Старт из диаметрально противоположных точек: между участниками полкруга, $s=\dfrac{L}{2}$, и первая встреча (быстрый «поравнялся» с медленным) наступает при $(v_1-v_2)\cdot t=\dfrac L2$.

5. Старт с разницей по времени

Если один участник выехал раньше, а второй (быстрее) его догоняет, для двух встреч составляют систему из двух уравнений:

в первом уравнении пути участников до первой встречи равны (к моменту встречи они в одной точке и стартовали из одной точки);
во втором уравнении разность путей до второй встречи равна $L$.

Вторую величину выражают через первую, чтобы осталась одна неизвестная.

6. Алгоритм решения

Нарисуйте окружность, отметьте точки старта и направления движения.
Приведите единицы к одним: минуты в часы (делите на 60), километры в метры и т. д.
Заполните таблицу «путь $S$ — скорость $v$ — время $t$». Если известны две ячейки строки, третья находится по $S=vt$.
Определите, какая встреча описана в условии, и запишите, чему равна разность путей ($L$, $\dfrac L2$ или дуга $s$).
Составьте уравнение (или систему) по разности путей, выразив путь как $v\cdot t$.
Решите, отбросьте корни, не соответствующие условию (отрицательные скорость и время), и ответьте именно на вопрос задачи.

Перевод единиц скорости

Переход	Правило
км/ч в м/с	$1$ км/ч $=\dfrac{5}{18}$ м/с
м/с в км/ч	$1$ м/с $=\dfrac{18}{5}$ км/ч
км/ч в м/мин	$1$ км/ч $=\dfrac{50}{3}$ м/мин

Лайфхак 1. Составляйте уравнение по разности путей, а не по времени. Проще записать «путь первого минус путь второго равен $L$» (или его доле), выразив пути как $v\cdot t$, и решить полученное уравнение.

Лайфхак 2. «Отставание за один час». Найдите, на сколько один участник уходит вперёд за 1 час (это разность скоростей), и разделите на это число длину трассы (или её нужную долю). Получится время встречи.

Лайфхак 3. Не забывайте про полкруга. Если старт из диаметрально противоположных точек, то для первой встречи достаточно выиграть не круг, а полкруга: $\dfrac L2$.

Лайфхак 4. Переводите минуты в часы сразу. Если скорость в км/ч, а время дано в минутах, то 20 минут — это $\dfrac13$ часа, а не 20.

Разобранные примеры

Пример 1

Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

Решение

В первый раз стрелки встретятся между 7 и 8 часами, второй раз  — между 8 и 9 часами, ..., пятый  — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 5 часов 25 минут, что составляет 325 минут.

Ответ: 325.

Пример 2

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть скорость второго автомобиля равна $v$ км/ч. За 1/3 часа первый автомобиль прошел на 12 км больше, чем второй, отсюда имеем

$101 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = v умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 12 равносильно 101= v плюс 36 равносильно v =65.$

Ответ: 65.

Пример 3

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 44 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 33 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения  — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 44 минуты, за это время он проехал на 33 км больше. Следовательно, скорость их сближения составляет 45 км/час.

Итак, 3х  =  45 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 15 км/час, а скорость мотоциклиста равна 60 км/час.

Ответ: 60.

Источники

«3 и 16 задания из ЕГЭ 2022» и «8 задание из ЕГЭ 2022» (конспект по текстовым задачам), Школково (shkolkovo.online)
«Готовимся к ЕГЭ. Математика. Профиль. 11 класс. Урок №20. Задачи на движение», телепроект «Моя школа в online», автор О. Н. Брославская, Физтех-лицей им. П. Л. Капицы
«Занятие факультатива в 9 классе по теме «Решение задач на движение по круговой трассе»», Инфоурок (infourok.ru)
«Система подготовки учащихся к ОГЭ по математике. Решение текстовых задач», Я. В. Лаврова-Кривенко, ТОГИРРО

У1
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
У2
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 30 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 18 км/ч больше скорости другого?
У3
Часы со стрелками показывают 4 часа 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?
У4
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого?
У5
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 50 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 50 км. Ответ дайте в км/ч.
У6
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого?
У7
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 10 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.
У8
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?
У9
Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?
У10
Из одной точки кольцевой дороги, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
У11
Из одной точки кольцевой дороги, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
У12
Из одной точки кольцевой дороги, длина которой равна 22 км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 113 км/ч, и через 30 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
У13
Из одной точки кольцевой дороги, длина которой равна 22 км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 113 км/ч, и через 30 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
У14
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 32 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 119 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
У15
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?
У16
Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
У17
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 19 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?
У18
Часы со стрелками показывают 11 часов 20 минут. Через сколько минут минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой?
У19
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 47 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 47 км. Ответ дайте в км/ч.
У20
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 6 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 18 км/ч больше скорости другого?
У21
Часы со стрелками показывают 2 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
У22
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 21 минуту после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 35 км. Ответ дайте в км/ч.
У23
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 22 круга по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 11 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут? Ответ дайте в км/ч.
У24
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 20 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 8 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 8 км. Ответ дайте в км/ч.
У25
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 94 круга по кольцевой трассе протяжённостью 7,5 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 18 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 50 минут? Ответ дайте в км/ч.

Д1
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.
Д2
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 78 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Д3
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 99 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 22 минуты. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 20 минут? Ответ дайте в км/ч.
Д4
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Д5
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 68 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.
Д6
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 106 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Д7
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 46 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 5 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.
Д8
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Д9
Двум гонщикам предстоит проехать 85 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 8 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 17 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 48 минут? Ответ дайте в км/ч.
Д10
Двум гонщикам предстоит проехать 68 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.
Д11
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 50 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 30 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 12 минут? Ответ дайте в км/ч.
Д12
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 5 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 30 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут? Ответ дайте в км/ч.
Д13
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 25 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Д14
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 6 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 63 км/ч, и через 45 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Д15
Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Д16
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Д17
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 20 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.
Д18
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 7 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого?
Д19
Часы со стрелками показывают 6 часов 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
Д20
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 36 км. Ответ дайте в км/ч.
Д21
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 40 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 25 км/ч больше скорости другого?
Д22
Часы со стрелками показывают 8 часов 20 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Д23
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?
Д24
Часы со стрелками показывают 2 часа 5 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?

Ситуация	Скорость сближения / удаления
Движение навстречу друг другу	скорость сближения \(v_1+v_2\)
Движение вдогонку, в одном направлении	скорость сближения \(v_1-v_2\) (быстрый догоняет медленного)
Из одной точки в разные стороны	скорость удаления \(v_1+v_2\)
Из одной точки в одну сторону	скорость удаления \(v_1-v_2\)

Переход	Правило
км/ч в м/с	\(1\) км/ч \(=\dfrac{5}{18}\) м/с
м/с в км/ч	\(1\) м/с \(=\dfrac{18}{5}\) км/ч
км/ч в м/мин	\(1\) км/ч \(=\dfrac{50}{3}\) м/мин