Задание 11 · Текстовые задачи

11.5. Задачи на совместную работу

Для репетитора: показать ответы

1. Основная формула и идея

В задачах на совместную работу работа ведёт себя как путь, а производительность — как скорость.

Величина	Обозначение	Связь
Работа	$A$	$A=p\cdot t$
Производительность (работа за единицу времени)	$p$	$p=\dfrac{A}{t}$
Время	$t$	$t=\dfrac{A}{p}$

Если объём работы не задан числом, его принимают за 1. Тогда производительность того, кто выполняет всю работу за $t$, равна $\dfrac1t$.
Величину, принятую за 1 (вся работа, 100 %), не нужно вводить как неизвестную.
Когда несколько исполнителей (рабочих, труб, насосов, механизмов) работают одновременно, их производительности складываются.
Работа бывает и «осязаемой»: страницы книги, литры воды в бассейне, детали. Тогда в качестве $A$ берут именно этот объём, а $p$ — страниц, литров, деталей в единицу времени.

2. Совместная работа двух исполнителей

Пусть первый выполняет всю работу за $x$ часов, второй — за $y$ часов, вместе — за $T$ часов. Тогда производительности $\dfrac1x$ и $\dfrac1y$ складываются:

$\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac1T$.

Если известны ещё какие-то условия (например, «первый работал 3 ч, второй 12 ч, и они выполнили 75 % работы»), составляют второе уравнение и решают систему. Так, 75 % работы — это $\dfrac34$ от единицы.

3. Алгоритм решения

Примите всю работу за 1 (или возьмите заданный объём).
Обозначьте неизвестные: производительности или времена выполнения работы каждым исполнителем в одиночку.
Составьте таблицу «работа $A$ — производительность $p$ — время $t$» (по строке на каждого исполнителя).
Запишите уравнения по условию: производительности складываются, части работы в сумме дают целое, и т. д.
Решите уравнение или систему. Отбросьте отрицательные корни и корни, не подходящие по смыслу.
Ответьте на вопрос задачи: чаще всего просят время (за сколько часов, дней, минут).

4. Когда известны времена пар исполнителей

Типичный случай: три исполнителя, и для каждой пары известно, за какое время она выполняет работу. Пусть производительности равны $V_1,V_2,V_3$.

Для каждой пары запишите: сумма производительностей равна $\dfrac1{\text{время пары}}$. Например, $V_1+V_2=\dfrac1{t_{12}}$, $V_2+V_3=\dfrac1{t_{23}}$, $V_1+V_3=\dfrac1{t_{13}}$.
Сложите все три уравнения. В левой части каждая производительность встретится дважды, то есть получится $2(V_1+V_2+V_3)$.
Найдите общую производительность: $V_1+V_2+V_3=\dfrac12\left(\dfrac1{t_{12}}+\dfrac1{t_{23}}+\dfrac1{t_{13}}\right)$.
Время совместной работы всех троих равно $\dfrac{1}{V_1+V_2+V_3}$.

5. Если дано отношение производительностей

Условие вроде «вдвое быстрее» или «$2p_1=3p_2$» позволяет выразить одну производительность через другую ($p_2=\tfrac23p_1$). Тогда в уравнении остаётся одна неизвестная, и совместная работа даёт, например, $1=\left(p_1+\tfrac23p_1\right)\cdot T$.

6. Задачи с «насосами» и «трубами»

Если дано, что один исполнитель делает работу быстрее другого на определённую величину (например, откачка идёт на 3 литра в минуту быстрее накачки), то за неизвестную берут скорость (производительность) более медленного, а второго выражают через неё: $x$ и $x+3$. Время каждого находят как объём, делённый на производительность, например $\dfrac{117}{x}$ и $\dfrac{96}{x+3}$, и приравнивают по условию («на 5 минут дольше»). Получается дробное уравнение, которое приводится к квадратному.

Лайфхак 1. Таблица прежде уравнения. Заполните таблицу «работа — производительность — время». Уравнение потом почти пишется само, так как в каждой строке две ячейки задают третью.

Лайфхак 2. Три пары — складывайте уравнения. Если для трёх исполнителей известны времена пар, не решайте систему из трёх уравнений: сложите их, поделите пополам и получите сразу общую производительность. Время работы всех вместе — обратная ей величина.

Лайфхак 3. Единицу не вводите как неизвестную. Объём работы, равный 1, подставляйте сразу: меньше неизвестных, короче уравнения.

Лайфхак 4. Проверяйте квадратное уравнение на «нужные» корни. Если $a+b+c=0$, то корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ равны $1$ и $\dfrac ca$; если $a-b+c=0$, то корни $-1$ и $-\dfrac ca$. Время и производительность положительны, поэтому лишний корень сразу отбрасывается.

Разобранные примеры

Пример 1

В помощь садовому насосу, перекачивающему 9 литров воды за 1 минуту, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 2 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 54 литра воды?

Решение

Скорость совместной работы насосов 9 + 4,5  =  13,5 л/мин. Для того, чтобы перекачать 54 литра воды, понадобится 54 : 13,5  =  4 минуты.

Ответ: 4.

Пример 2

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 13 часов. Через 1 час после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение

Рабочий выполняет 1/13 часть заказа за час, за 1 час он выполнит 1/13 часть заказа. Таким образом, работая вместе, два рабочих должны выполнить 12/13 заказа. Их совместная производительность равна 2/13 работы в час. Следовательно, для выполнения 12/13 работы им потребуется 6 часов. Значит, на выполнение всего заказа потребуется 6+1=7 часов.

Ответ: 7.

Пример 3

Аня и Таня пропалывают грядку за 5 минут, а одна Таня  — за 30 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Аня?

Решение

За минуту Таня пропалывает одну тридцатую грядки, а Аня с Таней вместе  — одну пятую. Поэтому за одну минуту Аня пропалывает $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби$ грядки. Всю грядку она прополет за 6 минут.

Ответ: 6.

Источники

«3 и 16 задания из ЕГЭ 2022» и «8 задание из ЕГЭ 2022» (конспект по текстовым задачам), Школково (shkolkovo.online)
«Текстовые задачи. Задание №10 ЕГЭ по математике профильного уровня», К. А. Шевцова, МАОУ СОШ №2 Павловского района (презентация, iro23.ru)
«Система подготовки учащихся к ОГЭ по математике. Решение текстовых задач», Я. В. Лаврова-Кривенко, ТОГИРРО
«Урок математики в 11 классе «Решение задач на составление уравнений при подготовке учащихся к ЕГЭ»», Инфоурок (infourok.ru)
«Лайфхаки ЕГЭ. Хитрости, помогающие при решении заданий профильного ЕГЭ по математике», НОМЦ ТГУ (nomc.math.tsu.ru), 2024

У1
Заказ на 180 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 3 детали больше?
У2
На изготовление 391 детали первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 460 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
У3
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?
У4
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?
У5
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша  — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
У6
Первый садовый насос перекачивает 5 литров воды за 2 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?
У7
Заказ на 272 детали первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше?
У8
На изготовление 345 деталей первый рабочий затрачивает на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 483 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
У9
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 дня выполняет такую же часть работы, какую второй  — за 3 дня?
У10
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 930 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?
У11
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?
У12
Первый насос наполняет бак за 19 минут, второй  — за 57 минут, а третий  — за 1 час 16 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
У13
Первая труба наполняет резервуар на 27 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 18 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
У14
Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше?
У15
На изготовление 588 деталей первый рабочий затрачивает на 7 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 672 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
У16
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 3 дня выполняет такую же часть работы, какую второй  — за 4 дня?
У17
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 204 литра она заполняет на 5 минут быстрее, чем первая труба?
У18
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 638 литров она заполняет на 7 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 812 литров?
У19
Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой  — за 12 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
У20
Игорь и Паша красят забор за 24 часа. Паша и Володя красят этот же забор за 35 часов, а Володя и Игорь  — за 40 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
У21
Илья и Слава выполняют одинаковый тест. Илья отвечает за час на 16 вопросов текста, а Слава  — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Илья закончил свой тест позже Славы на 33 минуты. Сколько вопросов содержит тест?
У22
На изготовление 780 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 840 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?
У23
На изготовление 33 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 77 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
У24
Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 108 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?
У25
Один мастер может выполнить заказ за 45 часов, а другой  — за 36 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
У26
Две трубы наполняют бассейн за 48 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 1 час. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
У27
Первый садовый насос перекачивает 8 литров воды за 2 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 36 литров воды?
У28
На изготовление 575 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?
У29
На изготовление 837 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 899 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
У30
Первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 200 литров она заполняет на 10 минут дольше, чем вторая труба?

Д1
Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 1 деталь больше второго?
Д2
На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Д3
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?
Д4
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?
Д5
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Д6
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня  — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Д7
Заказ на 132 детали первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 1 деталь больше второго?
Д8
На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Д9
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?
Д10
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?
Д11
Один мастер может выполнить заказ за 15 часов, а другой  — за 10 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
Д12
Катя и Настя пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Настя  — за 42 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Катя?
Д13
Костя и Гриша выполняют одинаковый тест. Костя отвечает за час на 12 вопросов текста, а Гриша  — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Костя закончил свой тест позже Гриши на 90 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Д14
Заказ на 380 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 1 деталь больше второго?
Д15
На изготовление 63 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 72 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Д16
Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 192 литра она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?
Д17
Первая труба пропускает на 8 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 660 литров она заполняет на 11 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 570 литров?
Д18
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 8 часов. Через 4 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Д19
Первый насос наполняет бак за 12 минут, второй  — за 14 минут, а третий  — за 1 час 24 минуты. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Д20
Первый садовый насос перекачивает 8 литров воды за 3 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 6 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 24 литра воды?
Д21
Заказ на изготовление 238 деталей первый рабочий выполнит на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 3 детали больше?
Д22
На изготовление 486 деталей первый рабочий затрачивает на 9 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 621 детали. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Д23
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 2 дня. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 1 день выполняет такую же часть работы, какую второй  — за 2 дня?
Д24
Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 96 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?
Д25
Даша и Маша пропалывают грядку за 18 минут, а одна Маша  — за 54 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Д26
Первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за 45 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Д27
Заказ на изготовление 112 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 2 детали больше?
Д28
На изготовление 396 деталей первый рабочий тратит на 5 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 483 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Д29
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй  — за три дня?
Д30
Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

Величина	Обозначение	Связь
Работа	\(A\)	\(A=p\cdot t\)
Производительность (работа за единицу времени)	\(p\)	\(p=\dfrac{A}{t}\)
Время	\(t\)	\(t=\dfrac{A}{p}\)