Задание 11 · Текстовые задачи

11.6. Задачи на прогрессии

Для репетитора: показать ответы

1. Как узнать, что в задаче прогрессия

В текстовой задаче прогрессия «спрятана» в рассказе о повторяющихся шагах:

каждый шаг величина меняется на одно и то же число (на 5 м больше, на 3 детали меньше) — это арифметическая прогрессия;
каждый шаг величина умножается на одно и то же число (в 2 раза больше, на 10 % больше) — это геометрическая прогрессия. Рост на $p\,\%$ за период означает умножение на $1+\dfrac{p}{100}$, падение на $p\,\%$ — на $1-\dfrac{p}{100}$.

Номер члена прогрессии $n$ — это номер дня, года, месяца, ряда, этажа, то есть натуральное число.

2. Арифметическая прогрессия

Определение. Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа $d$ (разности прогрессии).

Что	Формула
$n$-й член	$a_n=a_1+(n-1)d$
Характеристическое свойство	$a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
Обобщение свойства	$a_{n-k}+a_{n+k}=2a_n$
Сумма первых $n$ членов	$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$
Она же через $d$	$S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

При $d>0$ прогрессия возрастает, при $d<0$ убывает, при $d=0$ все члены равны.
Для суммы подряд идущих натуральных чисел $1+2+\dots+m$ работает та же формула: $\dfrac{1+m}{2}\cdot m$. Например, $1+2+\dots+20=210$.

3. Геометрическая прогрессия

Определение. Последовательность $b_1,b_2,\dots$, где $b_1\ne0$, а каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же ненулевое число $q$ (знаменатель прогрессии).

Что	Формула
$n$-й член	$b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}$
Характеристическое свойство	$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$; для положительных членов $b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$
Сумма первых $n$ членов ($q\ne1$)	$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{b_n q-b_1}{q-1}$
При $q=1$	$S_n=n\,b_1$
Сумма бесконечно убывающей прогрессии ($\|q\|<1$)	$S=\dfrac{b_1}{1-q}$

Если $q<0$, знаки членов чередуются.
Если $|q|<1$, прогрессию называют бесконечно убывающей.

4. Алгоритм решения задачи на прогрессии

Определите тип: «на одно и то же число» — арифметическая, «в одно и то же число раз (на один и тот же процент)» — геометрическая.
Выпишите известные: $a_1$ (или $b_1$), разность $d$ (или знаменатель $q$), число шагов $n$, сумму $S_n$.
Определите, что требуется найти: член прогрессии, сумму или число шагов $n$.
Подберите формулу из таблицы и составьте уравнение. Если неизвестно $n$, получается уравнение относительно $n$ (часто квадратное).
Решите, отбросьте отрицательные и нецелые значения (число дней, лет, рядов — натуральное), проверьте ответ по условию.
Ответьте на вопрос задачи, переведя результат на язык условия.

Лайфхак 1. Сумма через первый и последний член. Если известны первый и последний члены арифметической прогрессии и их количество, то не ищите $d$: используйте $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$. Если известно, что $a_1+a_n$ равно, например, 10, то $S_n=5n$ — уравнение для $n$ получается сразу.

Лайфхак 2. Симметричные члены. В арифметической прогрессии члены, равноудалённые от данного, в сумме дают удвоенный средний: $a_{n-k}+a_{n+k}=2a_n$. Это позволяет быстро найти средний член, не вычисляя $d$.

Лайфхак 3. Проценты — это геометрическая прогрессия. Рост на $p\,\%$ в год $n$ лет подряд даёт $S_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$. Переходите к множителю $1+\dfrac{p}{100}$ и не складывайте проценты разных лет.

Лайфхак 4. Не считайте лишнего. Решайте в общем виде и подставляйте числа в конце. Если неизвестных больше, чем нужно, «лишние» обычно сокращаются.

Разобранные примеры

Пример 1

Бизнесмен Оладьев получил в 2000 году прибыль в размере 1100000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Оладьев за 2002 год?

Решение

Поскольку каждый год прибыль увеличивалась на 7%, она увеличивалась в 1,07 раза по сравнению с предыдущим годом. Ищем третий член геометрической прогрессии: за 2002 год Бубликов заработал $1100000 умножить на 1,07 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =1259390$ руб.

Ответ: 1259390.

Пример 2

Васе надо решить 140 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 8 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.

Решение

В первый день Вася решил $a_1=8$ задач, в последний  — $a_7$ задач. Всего надо решить $S_7=140$ задач. Поскольку $S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a_n, знаменатель: 2 конец дроби n,$ где $a_1 = 8, n=7$ имеем:

$дробь: числитель: 8 плюс a_7, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7=140 равносильно 8 плюс a_7 = 40 равносильно a_7 = 32.$

Следовательно, в последний день Вася решил 32 задачи.

Ответ: 32.

Пример 3

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 11 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 33 метрам.

Решение

Пусть улитка проползла в первый день $a_1$ метров, во второй − $a_2,$ … , в последний − $a_n$ метров. Тогда $a_1 плюс a_n=11$ м, а за n дней проползла $S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a_n, знаменатель: 2 конец дроби n=5,5n$ метров. Поскольку всего она проползла 33 метра, имеем: $5,5n=33,$ откуда $n=6.$ Таким образом, улитка потратила на весь путь 6 дней.

Ответ: 6.

Источники

«3 и 16 задания из ЕГЭ 2022» и «8 задание из ЕГЭ 2022» (конспект по текстовым задачам), Школково (shkolkovo.online)
«Арифметическая прогрессия», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Геометрическая прогрессия», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Решение экономических задач при подготовке к ЕГЭ», Ж. А. Заикина, МБОУ «Гимназия 11», г. Королёв, 2018
«Дидактический материал по теме „Задание 17 ЕГЭ. Решение экономических задач“», А. Д. Денисенко, МБОУ БСОШ №1 им. П. П. Корягина

У1
Бригада маляров красит забор длиной 810 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 180 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
У2
Пете надо решить 333 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Петя решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Петя в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.
У3
Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
У4
Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
У5
Бригада маляров красит забор длиной 270 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 90 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
У6
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 8 километров. Определите, сколько километров прошел турист за четвертый день, если весь путь он прошел за 10 дней, а расстояние между городами составляет 215 километров.
У7
Лене надо подписать 972 открытки. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Лена подписала 20 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за седьмой день, если вся работа была выполнена за 18 дней.
У8
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?
У9
Рабочие прокладывают тоннель длиной 39 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 4 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.
У10
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за четвертый день, если весь путь он прошел за 10 дней, а расстояние между городами составляет 180 километров.
У11
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 9 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 18 метрам.
У12
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
У13
Васе надо решить 98 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Вася решил 8 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.
У14
Грузовик перевозит партию щебня массой 224 тонны, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
У15
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 12 километров. Определите, сколько километров прошел турист за четвертый день, если весь путь он прошел за 10 дней, а расстояние между городами составляет 255 километров.
У16
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за шестой день, если весь путь он прошел за 7 дней, а расстояние между городами составляет 105 километров.
У17
Турист идёт из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошёл 11 километров. Определите, сколько километров прошёл турист за шестой день, если весь путь он прошёл за 10 дней, а расстояние между городами составляет 245 километров.
У18
Бригада маляров красит забор длиной 630 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 140 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
У19
Насте надо подписать 799 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Настя подписала 15 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за шестой день, если вся работа была выполнена за 17 дней.
У20
Бригада маляров красит забор длиной 450 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 150 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
У21
Мише надо решить 390 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Миша решил 12 задач. Определите, сколько задач решил Миша в последний день, если со всеми задачами он справился за 10 дней.
У22
Маше надо подписать 570 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Маша подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за девятый день, если вся работа была выполнена за 15 дней.
У23
Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 5000 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?
У24
Рабочие прокладывают тоннель длиной 180 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 9 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
У25
Грузовик перевозит партию щебня массой 224 тонны, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Д1
Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
Д2
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Д3
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Д4
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10 000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Д5
Рабочие прокладывают тоннель длиной 99 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.
Д6
Грузовик перевозит партию щебня массой 360 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 18 дней.
Д7
Бизнесмен Печенов получил в 2000 году прибыль в размере 1 000 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 16% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Печенов за 2002 год?
Д8
Бригада маляров красит забор длиной 150 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 75 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Д9
Васе надо решить 245 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Вася решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.
Д10
Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.
Д11
Ире надо подписать 880 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Ира подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за восьмой день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
Д12
Рабочие прокладывают тоннель длиной 87 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.
Д13
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 11 километров. Определите, сколько километров прошел турист за седьмой день, если весь путь он прошел за 10 дней, а расстояние между городами составляет 245 километров.
Д14
Бизнесмен Коржов получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей составила прибыль Коржова за 2004 год?
Д15
Грузовик перевозит партию щебня массой 90 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за десятый день, если вся работа была выполнена за 12 дней.
Д16
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 11 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 81 километр.
Д17
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Д18
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 15 метрам.
Д19
Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Д20
Рабочие прокладывают тоннель длиной 117 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 9 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.
Д21
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 7 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 14 метрам.
Д22
Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?
Д23
Бригада маляров красит забор длиной 750 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 150 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Д24
Олегу надо решить 315 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Что	Формула
\(n\)-й член	\(a_n=a_1+(n-1)d\)
Характеристическое свойство	\(a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\)
Обобщение свойства	\(a_{n-k}+a_{n+k}=2a_n\)
Сумма первых \(n\) членов	\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
Она же через \(d\)	\(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n\)

Что	Формула
\(n\)-й член	\(b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}\)
Характеристическое свойство	\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\); для положительных членов \(b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}\)
Сумма первых \(n\) членов (\(q\ne1\))	\(S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{b_n q-b_1}{q-1}\)
При \(q=1\)	\(S_n=n\,b_1\)
Сумма бесконечно убывающей прогрессии (\(\|q\|<1\))	\(S=\dfrac{b_1}{1-q}\)