Задание 12 · Графики функций

12.1. Линейные функции

Для репетитора: показать ответы

1. Линейная функция $y=kx+b$

Графиком линейной функции $f(x)=kx+b$ является прямая. Для её построения достаточно двух точек.

Коэффициент	Что означает
$k$ — угловой коэффициент	отвечает за наклон прямой. При $k>0$ функция возрастает (прямая идёт вверх слева направо), при $k<0$ убывает
$b$ — свободный член	$f(0)=b$: это ордината точки пересечения прямой с осью $OY$. Изменение $b$ сдвигает прямую вдоль $OY$

Частные случаи

$k=0$: $y=b$ — прямая, параллельная оси $OX$.
$b=0$: $y=kx$ — прямая, проходящая через начало координат (прямая пропорциональность).

2. Как найти $k$ и $b$ по графику

Через тангенс угла наклона. $k=\operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ — угол между прямой и положительным направлением оси $OX$. Для убывающей прямой $k=-\operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ — острый угол наклона. Иначе: $k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — на сколько изменяется $y$, когда $x$ увеличивается на $\Delta x$.
Через две точки. Для точек $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ получаем $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, затем $b$ находим подстановкой любой из точек.
Через точку пересечения с $OY$. Значение $b$ считываем сразу как $f(0)$.

3. Алгоритм решения задачи №12 с линейной функцией

Найдите по графику две точки с целыми координатами (чаще всего точку пересечения с осью $OY$ и ещё одну). Следите за ценой деления на осях.
Подставьте координаты точек в $y=kx+b$. Если известна точка $(0;b)$, то $b$ уже есть, а $k$ находится подстановкой второй точки.
Запишите формулу $f(x)=kx+b$.
Вычислите значение $f$ в нужной точке: подставьте $x$ в формулу и аккуратно сосчитайте.

Если нужно найти точку пересечения двух прямых $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$, приравнивают правые части: $k_1x+b_1=k_2x+b_2$. Из полученного линейного уравнения находят абсциссу точки пересечения $x$, а её ординату — подстановкой $x$ в любую из двух формул.

Лайфхак 1. Сначала $b$, потом $k$. Свободный член $b$ читается по графику прямо по точке пересечения с осью $OY$. Затем подставьте координаты второй точки в $y=kx+b$ и найдите $k$ из одного линейного уравнения, без системы.

Лайфхак 2. Берите точки с целыми координатами. Точки, лежащие в узлах сетки, дают целые (или простые дробные) $k$ и $b$ и уменьшают риск вычислительной ошибки.

Лайфхак 3. Проверьте знак $k$. Возрастающая прямая — $k>0$, убывающая — $k<0$. Если в вашей формуле знак не совпадает с картинкой, ищите ошибку в считывании точек.

Типичная ошибка. Неверное считывание координат. Перед вычислением определите цену деления на каждой оси: клетка по оси $OY$ может равняться не 1, а, например, 2 единицам. Сверяйтесь с единичными отрезками.

Разобранные примеры

Пример 1

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение

По рисунку определяем, что данные прямые являются графиками функций $y=1,5x минус 3,5$ и $y= минус 3,5x минус 0,5.$ Абсциссу точки пересечения найдём, решив уравнение:

$1,5x минус 3,5= минус 3,5x минус 0,5 равносильно 5x=3 равносильно x=0,6.$

Ответ: 0,6.

Пример 2

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка 12 правая круглая скобка .$

Решение

Заметим, что для линейной функции

$дробь: числитель: f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка , знаменатель: x_1 минус x_2 конец дроби = дробь: числитель: f левая круглая скобка x_3 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x_4 правая круглая скобка , знаменатель: x_3 минус x_4 конец дроби =k.$

Тогда:

$дробь: числитель: f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 4 минус левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 12 правая круглая скобка , знаменатель: 4 минус 12 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1 минус левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 1 минус f левая круглая скобка 12 правая круглая скобка , знаменатель: минус 8 конец дроби равносильно f левая круглая скобка 12 правая круглая скобка = 4.$

Ответ: 4.

Пример 3

На рисунке изображены графики функций вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.

Решение

Заметим, что на рисунке изображены графики линейных функций. Найдём их уравнения y  =  kx + b. Первая прямая проходит через точки (−5; 4) и (−4; 7), следовательно

$система выражений 4= минус 5k плюс b,7= минус 4k плюс b конец системы . равносильно система выражений k=3,b=19. конец системы .$

Значит, уравнение первой прямой  — y  =  3x + 19.

Вторая прямая проходит через точки (1; 8) и (2; 3), следовательно,

$система выражений 8=k плюс b,3=2k плюс b конец системы . равносильно система выражений k= минус 5,b=13. конец системы .$

Значит, уравнение второй прямой  — y  =  −5x + 13.

Теперь найдём абсциссу точки пересечения графиков:

$3x плюс 19 = минус 5x плюс 13 равносильно 8x= минус 6 равносильно x= минус 0,75.$

Тогда ордината точки пересечения функций равна $f левая круглая скобка минус 0,75 правая круглая скобка = 3 умножить на левая круглая скобка минус 0,75 правая круглая скобка плюс 19 = 16,75.$

Ответ: 16,75.

Источники

«Графики функции. Задание №11 профильного ЕГЭ по математике», И. Г. Помозова, МБОУ СОШ №2 г. Темрюк (ГБОУ ИРО Краснодарского края)
«Задание №11 профильного уровня ЕГЭ 2025 «Функции»», Г. Ф. Оплачко, МБОУ СОШ №4, Приморско-Ахтарский округ (презентация)
«Графики функции. Задание №11 профильного ЕГЭ по математике», Е. Н. Борщакова, МОАУСОШ №4 им. А. И. Миргородского, г. Новокубанск (ГБОУ ИРО Краснодарского края)
«Решение задач базового и повышенного уровня: Функции и их графики», Л. Ш. Тютина
«Графики функций для ОГЭ: шпаргалка для 9 класса», журнал KEDU (kedu.ru), 2025

У1
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =14,5.$
У2
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
У3
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
У4
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
У5
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 8.$
У6
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 16 правая круглая скобка .$
У7
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
У8
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 12 правая круглая скобка .$
У9
На рисунке изображены графики функций вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
У10
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 10 правая круглая скобка .$
У11
На рисунке изображены графики функций вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
У12
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
У13
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
У14
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
У15
На рисунке изображены графики линейных функций, которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
У16
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка .$
У17
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка .$
У18
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 6,5.$
У19
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 10 правая круглая скобка .$
У20
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
У21
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
У22
На рисунке изображены графики функций вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
У23
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
У24
На рисунке изображены графики функций вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
У25
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка 28 правая круглая скобка .$

Д1
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Д2
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4,75.$
Д3
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Д4
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Д5
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Д6
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Д7
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 7,25.$
Д8
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Д9
На рисунке изображены графики функций вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.
Д10
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 8.$
Д11
На рисунке изображены графики функций вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
Д12
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Д13
На рисунке изображены графики функций вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.
Д14
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Д15
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Д16
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Д17
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Д18
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Д19
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Д20
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =16.$
Д21
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка 8 правая круглая скобка .$
Д22
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Д23
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =11,5.$
Д24
На рисунке изображены графики функций вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.

Коэффициент	Что означает
\(k\) — угловой коэффициент	отвечает за наклон прямой. При \(k>0\) функция возрастает (прямая идёт вверх слева направо), при \(k<0\) убывает
\(b\) — свободный член	\(f(0)=b\): это ордината точки пересечения прямой с осью \(OY\). Изменение \(b\) сдвигает прямую вдоль \(OY\)

12.1. Линейные функции

1. Линейная функция \(y=kx+b\)

Частные случаи

2. Как найти \(k\) и \(b\) по графику

3. Алгоритм решения задачи №12 с линейной функцией

Разобранные примеры