Задание 12 · Графики функций

12.2. Параболы

Для репетитора: показать ответы

1. Квадратичная функция и её график

Графиком функции $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\ne0$) является парабола.

Что	Как связано с формулой
Направление ветвей	$a>0$ — ветви вверх, $a<0$ — ветви вниз
Пересечение с осью $OY$	$f(0)=c$: ордината точки пересечения с осью $OY$ равна $c$
Абсцисса вершины	$x_0=-\dfrac{b}{2a}$
Ордината вершины	$y_0=f(x_0)$

Через вершину проходит ось симметрии параболы $x=x_0$.

Другие виды записи

$y=ax^2$ — вершина в начале координат.
$y=ax^2+n$ — парабола $y=ax^2$, сдвинутая вдоль оси $OY$ на $n$.
$y=a(x-m)^2+n$ — вершина в точке $M(m;n)$. Это вершинная форма, удобная, когда вершина видна на графике.

Раскрыв скобки, получаем связь: $b=-2am$, $c=am^2+n$. Это согласуется с формулой вершины $m=-\dfrac{b}{2a}$.

Сдвиги и растяжения графика

Преобразование	Формула	Эффект
Сдвиг вдоль $OY$	$y=f(x)\pm n$	вверх при $+n$, вниз при $-n$
Сдвиг вдоль $OX$	$y=f(x\pm m)$	влево при $+m$, вправо при $-m$
Отражение относительно $OX$	$y=-f(x)$	график переворачивается сверху вниз
Растяжение вдоль $OY$	$y=a\,f(x)$	при $\|a\|>1$ график «вытягивается» вверх

Например, $y=-2(x-1)^2+3$: ветви вниз, график растянут, вершина сдвинута вправо на 1 и вверх на 3, то есть вершина в точке $(1;3)$.

2. Два способа найти формулу по графику

Способ 1. Система по трём точкам

Снимите с графика координаты трёх точек с целыми координатами.
Подставьте их в $y=ax^2+bx+c$, получив три уравнения.
Вычитанием уравнений друг из друга исключите $c$: останется система двух уравнений с $a$ и $b$.
Найдите $a$, $b$, затем $c$.

Способ 2. Через вершину и одну точку

Найдите по графику вершину $(m;n)$ и ещё какую-либо точку $A(x_1;y_1)$.
Подставьте точку в $y=a(x-m)^2+n$ и найдите $a$.
Найдите $b$ из условия $m=-\dfrac{b}{2a}$.
Найдите $c$: это ордината точки пересечения с осью $OY$, либо подставьте $a$, $b$ и точку $A$ в $y=ax^2+bx+c$.

Способ 2 быстрее, когда вершина хорошо видна на графике.

3. Алгоритм решения задачи №12 с параболой

Определите по рисунку направление ветвей (знак $a$) и найдите вершину и точки с целыми координатами.
Выберите способ (по вершине или по трём точкам) и найдите $a$, $b$, $c$.
Запишите формулу $f(x)=ax^2+bx+c$ и сделайте проверку: подставьте ещё одну точку графика.
Найдите значение $f$ в нужной точке подстановкой.
Если требуется найти точки пересечения с другой функцией, приравняйте выражения, получите квадратное уравнение и выберите нужный корень по условию (какая из точек $A$ или $B$ спрашивается).

Лайфхак 1. Вершинная форма экономит время. Если вершина $M(m;n)$ читается по графику, то формула $f(x)=a(x-m)^2+n$ с одной неизвестной $a$ гораздо проще системы из трёх уравнений. Её особенно удобно использовать, когда $c$ нельзя прочитать по графику.

Лайфхак 2. Вычитайте уравнения. В системе по трём точкам вычтите первое уравнение из второго и из третьего: $c$ исчезнет, и останется простая система для $a$ и $b$.

Лайфхак 3. Знак сдвига вдоль $OX$ обратный. В формуле стоит $(x-m)$, а вершина находится в точке $x=+m$. Не путайте знак.

Типичные ошибки. (1) Неверное считывание координат с клеток: определяйте цену деления по каждой оси и сверяйтесь с единичными отрезками. (2) Выбор не того корня при поиске точки пересечения: оба корня квадратного уравнения проверяйте по условию задачи (абсцисса точки $A$ или $B$).

Разобранные примеры

Пример 1

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс 11.$ Найдите значение f(0,5).

Решение

Заметим, что $f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =16a минус 4b плюс 11= минус 1,$ $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =a минус b плюс 11=2.$ Решая эту систему, находим: a  =  2, b  =  11. Тогда

$f левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка =2 умножить на 0,25 плюс 11 умножить на 0,5 плюс 11=0,5 плюс 5,5 плюс 11=17.$

Ответ: 17.

Пример 2

На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ где числа a, b и c  — целые. Найдите значение $f левая круглая скобка 6,5 правая круглая скобка .$

Решение

По рисунку определяем, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс 7 = минус x в квадрате плюс 10x минус 18,$ значит, $a= минус 1, b=10, c= минус 18.$

Тогда $f левая круглая скобка 6,5 правая круглая скобка = минус левая круглая скобка 6,5 минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс 7 = минус 2,25 плюс 7=4,75.$

Ответ: 4,75.

Пример 3

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите значение f(−3).

Решение

Из рисунка видно, что $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 7,$ $f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = минус 5,$ тогда

$f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =18 плюс 3b плюс c минус 2 минус b минус c= минус 5 минус левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка равносильно 2b= минус 14 равносильно b= минус 7.$

Следовательно, $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =2 минус 7 плюс c= минус 7 равносильно c= минус 2.$ Таким образом, $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =18 плюс 21 минус 2=37.$

Ответ: 37.

Источники

«Графики функции. Задание №11 профильного ЕГЭ по математике», И. Г. Помозова, МБОУ СОШ №2 г. Темрюк (ГБОУ ИРО Краснодарского края)
«Задание №11 профильного уровня ЕГЭ 2025 «Функции»», Г. Ф. Оплачко, МБОУ СОШ №4, Приморско-Ахтарский округ (презентация)
«Решение задач базового и повышенного уровня: Функции и их графики», Л. Ш. Тютина
«Графики функции. Задание №11 профильного ЕГЭ по математике», Е. Н. Борщакова, МОАУСОШ №4 им. А. И. Миргородского, г. Новокубанск (ГБОУ ИРО Краснодарского края)
«Графики функций для ОГЭ: шпаргалка для 9 класса», журнал KEDU (kedu.ru), 2025

У1
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 2x в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка .$
У2
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ где числа a, b и c  — целые. Найдите $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка .$
У3
На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = ax в квадрате плюс bx плюс c,$ где числа a, b и c  — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус 12 правая круглая скобка .$
У4
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка .$
У5
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ где числа a, b и c  — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$
У6
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в квадрате плюс 17x плюс 14$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
У7
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате минус 7x плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка 7 правая круглая скобка .$
У8
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$
У9
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ где числа a, b и c  — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$
У10
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате минус 17x плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка .$
У11
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус x минус 2$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
У12
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус x минус 2$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У13
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 2x в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка .$
У14
На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ где числа a, b и c  — целые. Найдите $f левая круглая скобка 12 правая круглая скобка .$
У15
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка .$
У16
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2x в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка .$
У17
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в квадрате плюс 11x плюс 11$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У18
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате минус 3x плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка .$
У19
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в квадрате плюс 17x плюс 14$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У20
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2x в квадрате плюс 7x минус 2$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
У21
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx минус 31.$ Найдите $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка .$
У22
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 4x в квадрате минус 23x минус 31$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У23
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ где числа a, b и c  — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка .$
У24
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx минус 3.$ Найдите значение f(8).
У25
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ где числа a, b и c  — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$

Д1
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx минус 4.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка .$
Д2
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в квадрате минус 25x плюс 41$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д3
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате минус 8x плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка .$
Д4
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в квадрате плюс 11x плюс 11$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Д5
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .$
Д6
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ где числа a, b и c  — целые. Найдите $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка .$
Д7
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = ax в квадрате плюс bx плюс 4.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка .$
Д8
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2x в квадрате плюс 7x минус 2$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д9
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$
Д10
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 4x в квадрате плюс 17x минус 14$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д11
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите значение f(−6).
Д12
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в квадрате минус 7x плюс 3$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Д13
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка .$
Д14
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате минус 3x плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка .$
Д15
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в квадрате минус 25x плюс 41$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Д16
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс 2.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка .$
Д17
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2x в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка .$
Д18
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс 4.$ Найдите $f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка .$
Д19
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2x в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка .$
Д20
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс 10x плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$
Д21
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка .$
Д22
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 4x в квадрате минус 23x минус 31$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Д23
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка .$
Д24
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка .$

Преобразование	Формула	Эффект
Сдвиг вдоль \(OY\)	\(y=f(x)\pm n\)	вверх при \(+n\), вниз при \(-n\)
Сдвиг вдоль \(OX\)	\(y=f(x\pm m)\)	влево при \(+m\), вправо при \(-m\)
Отражение относительно \(OX\)	\(y=-f(x)\)	график переворачивается сверху вниз
Растяжение вдоль \(OY\)	\(y=a\,f(x)\)	при \(\|a\|>1\) график «вытягивается» вверх

Что	Как связано с формулой
Направление ветвей	\(a>0\) — ветви вверх, \(a<0\) — ветви вниз
Пересечение с осью \(OY\)	\(f(0)=c\): ордината точки пересечения с осью \(OY\) равна \(c\)
Абсцисса вершины	\(x_0=-\dfrac{b}{2a}\)
Ордината вершины	\(y_0=f(x_0)\)