‹ База знаний

Задание 12 · Графики функций

12.3. Гиперболы

Для репетитора: показать ответы

1. Гипербола \(y=\dfrac kx\)

Графиком обратной пропорциональности \(y=\dfrac kx\) является гипербола, состоящая из двух ветвей. Функция не определена при \(x=0\), поэтому график не пересекает осей координат; оси \(OX\) и \(OY\) служат асимптотами (линиями, к которым ветви приближаются неограниченно).

Знак \(k\)Где расположены ветви
\(k>0\)в I и III координатных четвертях
\(k<0\)во II и IV координатных четвертях

Чем больше \(|k|\), тем дальше ветви гиперболы от осей координат. При малых \(|k|\) (меньше 1) график «прижат» к осям.

2. Сдвиги гиперболы: дробно-линейная функция

ФормулаЧто происходит с графикомАсимптоты
\(y=\dfrac kx+d\)сдвиг вдоль \(OY\)горизонтальная \(y=d\), вертикальная \(x=0\)
\(y=\dfrac{k}{x+c}\)сдвиг вдоль \(OX\) на \(-c\) (знак меняется на противоположный)вертикальная \(x=-c\), горизонтальная \(y=0\)
\(y=\dfrac{k}{x+c}+d\)оба сдвигавертикальная \(x=-c\), горизонтальная \(y=d\)

Например, запись \(\dfrac{k}{x-5}\) означает сдвиг вправо на 5, и вертикальная асимптота — прямая \(x=5\).

Функция \(y=\dfrac{kx+a}{x+b}\)

Такую формулу сводят к виду \(\dfrac{m}{x+b}+n\). Тогда горизонтальная асимптота — \(y=n\), вертикальная — \(x=-b\). Преобразование делается выделением целой части: \(kx+a=k(x+b)+(a-kb)\), поэтому

\(\dfrac{kx+a}{x+b}=k+\dfrac{a-kb}{x+b}\).

Значит, горизонтальная асимптота этой функции — прямая \(y=k\).

3. Как найти формулу по графику

  1. По рисунку найдите асимптоты. Горизонтальная асимптота даёт слагаемое \(d\), вертикальная даёт сдвиг: если вертикальная асимптота — прямая \(x=-c\), в знаменателе стоит \(x+c\).
  2. Выберите на графике точку с целыми координатами (чем «круглее» числа, тем проще, например \((1;1)\) или \((2;1)\) для базовой гиперболы).
  3. Подставьте координаты точки в формулу и найдите оставшийся коэффициент \(k\).
  4. Запишите формулу и вычислите нужное значение \(f\) подстановкой.
  5. Если сказано, что график пересекает другую функцию (прямую или параболу), приравняйте выражения, получите уравнение, найдите корни и выберите нужный по условию. Ординату находят подстановкой абсциссы в любую из функций.

Если в задаче три неизвестных (\(k\), \(a\), \(b\) в формуле \(\dfrac{kx+a}{x+b}\)), сводят дробь к виду \(\dfrac{m}{x+b}+n\) по асимптотам, затем раскрывают скобки и сравнивают с исходной записью.

Лайфхак 1. Асимптоты читаются раньше всего. Сначала определите по рисунку горизонтальную и вертикальную асимптоты. Они сразу дают два из трёх параметров формулы \(y=\dfrac{k}{x+c}+d\), и остаётся найти только \(k\) подстановкой одной точки.
Лайфхак 2. Берите точку с целыми координатами. Для нахождения \(k\) подходит любая точка графика, но с целыми координатами (например, \((1;1)\) для \(y=\dfrac1x\) или \((2;1)\) для \(y=\dfrac2x\)) вычисления проще.
Лайфхак 3. Знак сдвига обратный. В формуле \(\dfrac{k}{x+c}\) вертикальная асимптота — \(x=-c\). Прибавление \(c\) внутри функции сдвигает график в противоположную сторону.
Лайфхак 4. Для системы из двух уравнений с одной неизвестной вычитайте. Если для нахождения коэффициентов составлено два уравнения, их вычитание часто сразу исключает лишнюю неизвестную.
Типичные ошибки. (1) Неверное считывание координат с клеток: определяйте цену деления по каждой оси. (2) Путаница в знаке сдвига вдоль \(OX\): запись \(x+c\) даёт сдвиг на \(-c\). (3) Выбор не того корня при поиске точки пересечения графиков: подставляйте корни в условие и проверяйте, какая точка спрашивается.

Разобранные примеры

Пример 1

На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: k, знаменатель: x конец дроби . Найдите f(10).

Решение

По графику f(1)  =  1, тогда дробь: числитель: k, знаменатель: 1 конец дроби =1, откуда k  =  1. Таким образом,

f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби =0,1.

Ответ: 0,1.

Пример 2

На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите, при каком значении x значение функции равно 19.

Решение

График функции имеет горизонтальную асимптоту y  =  −1, значит, a  =  −1. По графику f(1)  =  1, тогда дробь: числитель: k, знаменатель: 1 конец дроби минус 1=1 равносильно k=2. Таким образом,

дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби минус 1=19 равносильно x=0,1.

Ответ: 0,1.

Пример 3

На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a . Найдите значение x, при котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0,2.

Решение

График функции имеет вертикальную асимптоту x  =  −1, значит, a  =  1. По графику f(2)  =  1, тогда дробь: числитель: k, знаменатель: 2 плюс 1 конец дроби =1 равносильно k=3. Таким образом,

дробь: числитель: 3, знаменатель: x плюс 1 конец дроби =0,2 равносильно 0,2x=2,8 равносильно x=14.

Ответ: 14.

Источники
  • «Графики функции. Задание №11 профильного ЕГЭ по математике», И. Г. Помозова, МБОУ СОШ №2 г. Темрюк (ГБОУ ИРО Краснодарского края)
  • «Задание №11 профильного уровня ЕГЭ 2025 «Функции»», Г. Ф. Оплачко, МБОУ СОШ №4, Приморско-Ахтарский округ (презентация)
  • «Решение задач базового и повышенного уровня: Функции и их графики», Л. Ш. Тютина
  • «Графики функций для ОГЭ: шпаргалка для 9 класса», журнал KEDU (kedu.ru), 2025
  • «Графики функции. Задание №11 профильного ЕГЭ по математике», Е. Н. Борщакова, МОАУСОШ №4 им. А. И. Миргородского, г. Новокубанск (ГБОУ ИРО Краснодарского края)
  1. У1

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b . Найдите k.

  2. У2

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка \dfrac13 правая круглая скобка .

  3. У3

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: k, знаменатель: x конец дроби . Найдите f(30).

  4. У4

    На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите значение x, при котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0,12.

  5. У5

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: k, знаменатель: x конец дроби . Найдите f(10).

  6. У6

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка минус 24 правая круглая скобка .

  7. У7

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите a.

  8. У8

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка минус 22 правая круглая скобка .

  9. У9

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите, при каком значении x значение функции равно −27.

  10. У10

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите k.

  11. У11

    На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите значение x, при котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 12,5.

  12. У12

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка минус 40 правая круглая скобка .

  13. У13

    На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: k, знаменатель: x плюс a конец дроби . Найдите значение x, при котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 0,125.

  14. У14

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка 50 правая круглая скобка .

  15. У15

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a . Найдите f левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .

  16. У16

    На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a . Найдите значение x, при котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 0,08.

  17. У17

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: kx плюс a, знаменатель: x плюс b конец дроби . Найдите a.

  18. У18

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка 18 правая круглая скобка .

  19. У19

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите, при каком значении x значение функции равно 2,2.

  20. У20

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка 12,5 правая круглая скобка .

  21. У21

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите a.

  22. У22

    На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите значение x, при котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0,4.

  23. У23

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка 0,25 правая круглая скобка .

  24. У24

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка минус 23 правая круглая скобка .

  25. У25

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите k.

  1. Д1

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b . Найдите a.

  2. Д2

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка минус 1,8 правая круглая скобка .

  3. Д3

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка .

  4. Д4

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите k.

  5. Д5

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка 25 правая круглая скобка .

  6. Д6

    На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите значение x, при котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 0,04.

  7. Д7

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,75.

  8. Д8

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите k.

  9. Д9

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка 13 правая круглая скобка .

  10. Д10

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите a.

  11. Д11

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите a.

  12. Д12

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите, при каком значении x значение функции равно −9,5.

  13. Д13

    На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , где числа a, b и c  — целые. Найдите a.

  14. Д14

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,8.

  15. Д15

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите, при каком значении x значение функции равно −3,1.

  16. Д16

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b . Найдите k.

  17. Д17

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите, при каком значении x значение функции равно −17.

  18. Д18

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите a.

  19. Д19

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите k.

  20. Д20

    На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите значение x, при котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 0,3.

  21. Д21

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка 20 правая круглая скобка .

  22. Д22

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка 0,25 правая круглая скобка .

  23. Д23

    На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс ax плюс b. Найдите k.

  24. Д24

    На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a. Найдите значение x, при котором f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0,2.