12.4. Корни

1. Функция квадратного корня

Базовая функция \(y=\sqrt x\):

• область определения \(D(y)=[0;+\infty)\), область значений \(E(y)=[0;+\infty)\);
• график — ветвь параболы, выходящая из начала координат вправо и вверх;
• функция монотонно возрастает на всей области определения.

Точки с целыми координатами на графике \(y=\sqrt x\): \((0;0)\), \((1;1)\), \((4;2)\), \((9;3)\), \((16;4)\), … — абсцисса точки должна быть точным квадратом.

2. Функция \(y=k\sqrt x\) и её сдвиги

Область определения при сдвиге: подкоренное выражение неотрицательно, то есть \(x+c\ge0\).

3. Алгоритм решения задачи №12 с корнем

1. Определите по графику вид функции: ветвь, выходящая из некоторой точки вправо; куда направлена ветвь (вверх или вниз) — это знак \(k\).
2. По положению начала ветви определите сдвиги \(c\) и \(b\) (если они есть в формуле).
3. Выберите на графике точку с целыми координатами, у которой абсцисса под корнем даёт целое число (например, \(x=4\)).
4. Подставьте точку в формулу и найдите \(k\). Например, если график проходит через \((4;5)\) и формула \(y=k\sqrt x\), то \(5=k\cdot2\), \(k=2{,}5\).
5. Запишите формулу и вычислите нужное значение, подставив в неё \(x\).

4. Пересечение корня с другой функцией

Если по условию графики функций \(f\) и \(g\) пересекаются, ищут абсциссу точки пересечения:

1. Найдите формулы обеих функций.
2. Приравняйте: \(f(x)=g(x)\). Например, \(1{,}5\sqrt x=0{,}5x-2\).
3. Чтобы избавиться от корня, возведите обе части уравнения в квадрат (корень предварительно оставьте одним слагаемым в своей части). Получится квадратное уравнение.
4. Решите его. Обязательно проверьте корни подстановкой в исходное уравнение: возведение в квадрат может добавить посторонний корень. Здесь после возведения в квадрат получается уравнение \(x^2-17x+16=0\) с корнями \(x=1\) и \(x=16\); подстановка показывает, что \(x=1\) не подходит, а \(x=16\) подходит.
5. Найдите ординату точки подстановкой найденной абсциссы.

Разобранные примеры

Пример 1

На рисунке изображен график функции \(f(x)=k\sqrt{x}\). Найдите значение \(x\), при котором \(f(x)=3{,}5\).

Решение

Функция имеет вид:
\(f(x)=k\sqrt{x}.\)
График проходит через точку \((4;5)\), значит:
\(k\sqrt{4}=5,\)
\(2k=5,\)
\(k=2{,}5.\)
Тогда функция принимает вид:
\(f(x)=2{,}5\sqrt{x}.\)
Нужно найти \(x\), при котором \(f(x)=3{,}5\):
\(2{,}5\sqrt{x}=3{,}5.\)
Разделим обе части на \(2{,}5\):
\(\sqrt{x}=1{,}4.\)
Возведём в квадрат:
\(x=1{,}96.\)
Ответ: \(1{,}96\).

Пример 2

На рисунке изображены графики функций видов \(f(x)=a\sqrt{x}\) и \(g(x)=kx\), пересекающиеся в точках \(A\) и \(B\). Найдите абсциссу точки \(B\).

Решение

Функция \(f(x)=a\sqrt{x}\) проходит через точку \((1;5)\), значит:
\(f(1)=a\sqrt{1}=a=5.\)
Следовательно, \(f(x)=5\sqrt{x}\).
Функция \(g(x)=kx\) проходит через точку \((1;1)\), значит:
\(g(1)=k\cdot1=k=1.\)
Следовательно, \(g(x)=x\).
Найдём точки пересечения графиков:
\(5\sqrt{x}=x.\)
При \(x\ge0\) возведём обе части в квадрат:
\(25x=x^2,\)
\(x^2-25x=0,\)
\(x(x-25)=0.\)
Отсюда \(x=0\) или \(x=25\).
Точка \(A\) имеет абсциссу \(0\), значит, абсцисса точки \(B\) равна \(25\).
Ответ: \(25\).

Пример 3

На рисунке изображены графики функций вида \(f(x) = a\sqrt{x}\) и \(g(x) = kx\), пересекающиеся в точках \(A\) и \(B\). Найдите абсциссу точки \(B\).

Решение

Функция \(f(x)=a\sqrt{x}\) проходит через точку \((1;3)\), значит:
\(f(1)=a\sqrt{1}=a=3.\)
Следовательно, \(f(x)=3\sqrt{x}\).
Функция \(g(x)=kx\) проходит через точку \((2;1)\), значит:
\(g(2)=k\cdot2=1 \quad\Rightarrow\quad k=0{,}5.\)
Следовательно, \(g(x)=0{,}5x\).
Найдём точки пересечения графиков:
\(3\sqrt{x}=0{,}5x.\)
При \(x\ge0\) возведём обе части в квадрат:
\(9x=0{,}25x^2,\)
\(0{,}25x^2-9x=0,\)
\(x(0{,}25x-9)=0.\)
Отсюда \(x=0\) или \(x=36\).
Точка \(A\) имеет абсциссу \(0\), значит, абсцисса точки \(B\) равна \(36\).
Ответ: \(36\).