Задание 12 · Графики функций

12.5. Показательные и логарифмические функции

Для репетитора: показать ответы

1. Показательная и логарифмическая функции

	Показательная $y=a^x$	Логарифмическая $y=\log_a x$
Основание	$a>0,\ a\ne1$	$a>0,\ a\ne1$
Область определения	$(-\infty;+\infty)$	$(0;+\infty)$
Область значений	$(0;+\infty)$	$(-\infty;+\infty)$
Монотонность	возрастает при $a>1$, убывает при \(0	возрастает при $a>1$, убывает при \(0
Опорная точка	$a^0=1$: график проходит через $(0;1)$	$\log_a1=0$: график проходит через $(1;0)$

Графики $y=a^x$ и $y=\log_a x$ при одном и том же $a$ симметричны друг другу относительно прямой $y=x$.

2. Сдвиги графиков

Формула	Что происходит с графиком
$y=a^x+b$	сдвиг вдоль $OY$ на $b$: вверх при $b>0$, вниз при $b<0$
$y=a^{x+c}$	сдвиг вдоль $OX$ на $-c$ (влево при $c>0$, вправо при $c<0$)
$y=\log_a x+b$	сдвиг вдоль $OY$ на $b$
$y=\log_a(x+c)$	сдвиг вдоль $OX$ на $-c$: знак меняется на противоположный; область определения $x+c>0$

Аргумент логарифма в формуле обязательно записывается в скобках: $\log_2(x+5)$ — это сдвиг вдоль $OX$, а $\log_2x+5$ — сдвиг вдоль $OY$; это разные функции.

3. Алгоритм решения задачи №12

Определите тип функции по виду графика (показательная или логарифмическая).
Определите диапазон основания по монотонности. Функция возрастает — значит, $a>1$; убывает — значит, \(0
Считайте с рисунка две-три контрольные точки с целыми координатами, внимательно следя за ценой деления на осях.
Подставьте точки в формулу и решите систему (или одно уравнение, если сдвиг известен) относительно параметров: основания $a$, сдвигов $b$, $c$.
Проверьте найденное основание по диапазону из шага 2 (и по области определения логарифма).
Вычислите $f$ в нужной точке подстановкой.

Как находить основание $a$

Для логарифмической функции используйте свойства $\log_a a=1$, $\log_a a^2=2$ и т. п. Например, из равенства $\log_a2=1$ следует $a=2$; из $\log_a4=2$ следует $a=2$.
Для показательной функции приводите обе части уравнения к одному основанию и приравнивайте показатели: из $2^{x+3}=16=2^4$ следует $x+3=4$. Если получилось $a^4=4$, то $a=\sqrt2$ (основание не обязано быть целым).
После нахождения $a$ вычислите значение: например, $\log_2 32=5$.

Лайфхак 1. Монотонность — фильтр для корней. Если при решении получились два значения основания, оставьте то, которое подходит по виду графика: для возрастающей функции $a>1$. Значение, не удовлетворяющее условию $a>1$ (или \(0

Лайфхак 2. Используйте табличные значения. При поиске основания опирайтесь на $\log_a a=1$, $\log_a 4=2$, $a^2=4$ и т. п.: для целых координат точек основание получается «красивым».

Лайфхак 3. Знак сдвига внутри функции обратный. В формуле стоит $+c$, а сдвиг равен $-c$. Сдвиг вдоль $OY$ — это просто слагаемое $b$ ко всей функции.

Лайфхак 4. Вычитайте уравнения. Для функции $a^x+b$ по двум точкам удобно вычесть одно уравнение из другого, чтобы исключить $b$.

Типичные ошибки. (1) Неверная проверка монотонности: сначала определите диапазон основания, и только потом решайте систему, иначе появятся лишние решения. (2) Неверное считывание координат с клеток: определите цену деления по каждой оси. (3) Отсутствие проверки области определения: для $\log_a(x+5)$ аргумент обязан быть положительным. (4) Пропуск посторонних корней при решении уравнений с логарифмами.

Разобранные примеры

Пример 1

На рисунке изображен график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x .$ Найдите значение f(−3).

Решение

Заметим, что $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе = левая круглая скобка f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе =4 в кубе =64$

Ответ: 64.

Пример 2

На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию a x.$ Найдите значение f(16).

Решение

По графику определяем, что f (2)  =  1, тогда $логарифм по основанию a 2 = 1,$ откуда $a = 2.$ Значит, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 x.$ Следовательно,

$f левая круглая скобка 16 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 16 = 4.$

Ответ: 4.

Пример 3

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =32.$

Решение

Из графика находим, что $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 4,$ откуда $a в квадрате = 4.$ Учитывая, что $a больше 0,$ получаем $a = 2.$ Тогда

$2 в степени x = 32 равносильно x = 5.$

Ответ: 5.

Источники

«Графики функции. Задание №11 профильного ЕГЭ по математике», Е. Н. Борщакова, МОАУСОШ №4 им. А. И. Миргородского, г. Новокубанск (ГБОУ ИРО Краснодарского края)
«Задание №11 профильного уровня ЕГЭ 2025 «Функции»», Г. Ф. Оплачко, МБОУ СОШ №4, Приморско-Ахтарский округ (презентация)
«Графики функций для ОГЭ: шпаргалка для 9 класса», журнал KEDU (kedu.ru), 2025

У1
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите $f левая круглая скобка 32 правая круглая скобка .$
У2
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 27 правая круглая скобка .$
У3
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$
У4
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =16.$
У5
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите $f левая круглая скобка 27 правая круглая скобка .$
У6
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 63 правая круглая скобка .$
У7
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка 8 правая круглая скобка .$
У8
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка .$
У9
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите $f левая круглая скобка 16 правая круглая скобка .$
У10
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 29 правая круглая скобка .$
У11
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка .$
У12
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка .$
У13
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 6.$
У14
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 4.$
У15
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка .$
У16
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2.$
У17
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4.$
У18
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка .$
У19
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3.$
У20
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3.$
У21
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка .$
У22
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =1.$
У23
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4.$
У24
На рисунке изображен график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = a в степени x .$ Найдите значение $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка .$
У25
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 77 правая круглая скобка .$
У26
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =9.$
У27
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =8.$
У28
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 122 правая круглая скобка .$
У29
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 3.$
У30
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите $f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 правая круглая скобка .$

Д1
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =1.$
Д2
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 4.$
Д3
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .$
Д4
На рисунке изображен график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x .$ Найдите значение f(4).
Д5
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3.$
Д6
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 6.$
Д7
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =13.$
Д8
На рисунке изображен график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x .$ Найдите значение f(5).
Д9
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 5.$
Д10
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 5.$
Д11
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс b.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =25.$
Д12
На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x .$ Найдите значение f(3).
Д13
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 25 правая круглая скобка .$
Д14
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс b.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 10 правая круглая скобка .$
Д15
На рисунке изображен график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x .$ Найдите значение f(−4).
Д16
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 77 правая круглая скобка .$
Д17
На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x .$ Найдите значение f(2).
Д18
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =27.$
Д19
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 238 правая круглая скобка .$
Д20
На рисунке изображен график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x плюс b.$ Найдите значение f (−8).
Д21
На рисунке изображен график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x .$ Найдите значение f(−2).
Д22
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 29 правая круглая скобка .$
Д23
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени x .$ Найдите значение $f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка .$
Д24
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =7.$
Д25
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =8.$
Д26
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите $f левая круглая скобка 22 правая круглая скобка .$
Д27
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 5.$
Д28
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4.$
Д29
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =6.$
Д30
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =b плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x.$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5.$

	Показательная \(y=a^x\)	Логарифмическая \(y=\log_a x\)
Основание	\(a>0,\ a\ne1\)	\(a>0,\ a\ne1\)
Область определения	\((-\infty;+\infty)\)	\((0;+\infty)\)
Область значений	\((0;+\infty)\)	\((-\infty;+\infty)\)
Монотонность	возрастает при \(a>1\), убывает при \(0	возрастает при \(a>1\), убывает при \(0
Опорная точка	\(a^0=1\): график проходит через \((0;1)\)	\(\log_a1=0\): график проходит через \((1;0)\)

Формула	Что происходит с графиком
\(y=a^x+b\)	сдвиг вдоль \(OY\) на \(b\): вверх при \(b>0\), вниз при \(b<0\)
\(y=a^{x+c}\)	сдвиг вдоль \(OX\) на \(-c\) (влево при \(c>0\), вправо при \(c<0\))
\(y=\log_a x+b\)	сдвиг вдоль \(OY\) на \(b\)
\(y=\log_a(x+c)\)	сдвиг вдоль \(OX\) на \(-c\): знак меняется на противоположный; область определения \(x+c>0\)

12.5. Показательные и логарифмические функции

1. Показательная и логарифмическая функции

2. Сдвиги графиков

3. Алгоритм решения задачи №12

Как находить основание \(a\)

Разобранные примеры