Задание 12 · Графики функций

12.6. Тригонометрические функции

Для репетитора: показать ответы

1. Синусоида и косинусоида

Графики функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$ — волнообразные кривые (синусоида и косинусоида). Они описывают повторяющиеся (колебательные) процессы. График косинуса — это график синуса, сдвинутый на $\dfrac{\pi}{2}$ влево: $\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$.

$x$	$0$	$\dfrac\pi2$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}2$	$2\pi$
$\sin x$	0	1	0	$-1$	0
$\cos x$	1	0	$-1$	0	1

Обе функции принимают значения от $-1$ до $1$ и повторяются через $2\pi$.

2. Общий вид и смысл параметров

В задаче №12 встречаются функции вида

$y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$ или $y=A\cos(\omega x+\varphi)+B$.

Параметр	Что означает	Как найти по графику
$A$ (амплитуда)	размах колебаний: на сколько график отклоняется вверх и вниз от среднего уровня	$\|A\|=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}$
$B$ (средний уровень)	значение, вокруг которого происходят колебания (сдвиг вдоль $OY$)	$B=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}$
$\omega$ (частота)	определяет, насколько быстро повторяются циклы; растягивает график вдоль $OX$	через период: $T=\dfrac{2\pi}{\|\omega\|}$, то есть $\|\omega\|=\dfrac{2\pi}{T}$
$\varphi$ (фаза)	горизонтальный сдвиг графика относительно обычной синусоиды	по положению характерной точки (максимума или нуля) сравнением с $\sin x$ или $\cos x$

Максимум функции равен $B+|A|$, минимум равен $B-|A|$; отсюда и формулы для $A$ и $B$ в таблице.
Период $T$ — это горизонтальная длина одного полного цикла.
Если коэффициент $A$ отрицателен, график «перевёрнут»: он отражён относительно оси $OX$ (вместо горба — впадина). Модуль амплитуды при этом тот же.

3. Алгоритм решения задачи №12 с тригонометрической функцией

Определите по рисунку, какая функция построена, и найдите наибольшее и наименьшее значения (по цене деления на оси $OY$).
Найдите средний уровень $B=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}$ и амплитуду $|A|=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}$.
Определите знак $A$: если график «перевёрнут» относительно обычной синусоиды (косинусоиды), то $A<0$.
Найдите период $T$ по графику и вычислите $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$.
Подставьте в формулу одну-две контрольные точки (например, значение при $x=0$), чтобы проверить результат или найти оставшийся параметр.
Вычислите искомое значение функции подстановкой, помня значения $\sin$ и $\cos$ в ключевых точках.

Например, если у функции максимум 1,5 и минимум $-2{,}5$, то $B=\dfrac{1{,}5+(-2{,}5)}{2}=-0{,}5$ и $|A|=\dfrac{1{,}5-(-2{,}5)}{2}=2$.

Лайфхак 1. Амплитуда — половина размаха. Расстояние от максимума до минимума равно $2|A|$. Если оно равно 4, то $|A|=2$, а не 4.

Лайфхак 2. Средний уровень — середина между максимумом и минимумом. Он даёт слагаемое $B$ сразу, без системы уравнений.

Лайфхак 3. Период через формулу $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$. Измерьте по графику расстояние между двумя соседними одинаковыми точками (например, максимумами) и найдите $\omega$.

Типичные ошибки. (1) Неверное считывание значений по осям: цена деления на оси $OY$ бывает не равной единице (например, одна клетка по оси $OY$ может соответствовать 2 единицам, и отсчёт нужно вести с учётом этого масштаба). (2) Ошибка в знаке амплитуды у «перевёрнутых» синусоид: модуль амплитуды положителен, но коэффициент $A$ отрицателен.

Разобранные примеры

Пример 1

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите b.

Решение

По графику f(0)  =  1,5, тогда

$a умножить на синус 0 плюс b=1,5 равносильно a умножить на 0 плюс b=1,5 равносильно b=1,5.$

Ответ: 1,5.

Пример 2

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите b.

Решение

По графику, $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1,$ тогда

$a тангенс 0 плюс b=1 равносильно a умножить на 0 плюс b=1 равносильно b=1.$

Ответ: 1.

Пример 3

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите b.

Решение

По графику, $f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =1,$ тогда

$a косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс b=1 равносильно a умножить на 0 плюс b=1 равносильно b=1.$

Ответ: 1.

Источники

«Описание производственных процессов с помощью графиков функций» (практическое занятие по дисциплине «Математика»), В. А. Бережная, ШТЭК ДОННУЭТ, 2026
«Графики функции. Задание №11 профильного ЕГЭ по математике», Е. Н. Борщакова, МОАУСОШ №4 им. А. И. Миргородского, г. Новокубанск (ГБОУ ИРО Краснодарского края)
«Синусоида», Википедия (ru.wikipedia.org)

У1
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите a.
У2
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b,$ где a и b  — целые числа. Найдите $y левая круглая скобка дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$
У3
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите b.
У4
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите b.
У5
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите a.
У6
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите a.
У7
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите b.
У8
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите a.
У9
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите b.
У10
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите b.
У11
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите b.
У12
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = a синус x плюс b,$ где a и b  — целые числа. Найдите $y левая круглая скобка дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$
У13
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите b.
У14
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите b.
У15
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите a.
У16
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите a.
У17
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите b.
У18
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите a.
У19
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите a.
У20
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите b.

Д1
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите a.
Д2
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите a.
Д3
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите b.
Д4
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите b.
Д5
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите b.
Д6
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите a.
Д7
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите b.
Д8
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите b.
Д9
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите b.
Д10
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите b.
Д11
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите a.
Д12
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите a.
Д13
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите a.
Д14
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите a.
Д15
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите a.
Д16
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите a.
Д17
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a тангенс x плюс b.$ Найдите b.
Д18
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус x плюс b.$ Найдите a.
Д19
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите a.
Д20
На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a синус x плюс b.$ Найдите a.

\(x\)	\(0\)	\(\dfrac\pi2\)	\(\pi\)	\(\dfrac{3\pi}2\)	\(2\pi\)
\(\sin x\)	0	1	0	\(-1\)	0
\(\cos x\)	1	0	\(-1\)	0	1

Параметр	Что означает	Как найти по графику
\(A\) (амплитуда)	размах колебаний: на сколько график отклоняется вверх и вниз от среднего уровня	\(\|A\|=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}\)
\(B\) (средний уровень)	значение, вокруг которого происходят колебания (сдвиг вдоль \(OY\))	\(B=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}\)
\(\omega\) (частота)	определяет, насколько быстро повторяются циклы; растягивает график вдоль \(OX\)	через период: \(T=\dfrac{2\pi}{\|\omega\|}\), то есть \(\|\omega\|=\dfrac{2\pi}{T}\)
\(\varphi\) (фаза)	горизонтальный сдвиг графика относительно обычной синусоиды	по положению характерной точки (максимума или нуля) сравнением с \(\sin x\) или \(\cos x\)