Задание 12 · Графики функций

12.7. Комбинированные задачи

Для репетитора: показать ответы

1. О чём эти задачи

В комбинированной задаче на одном рисунке изображены графики двух функций разных видов (например, прямая и парабола, прямая и гипербола, корень и прямая, показательная и логарифмическая). По отмеченным точкам нужно восстановить формулы обеих функций, а затем найти точку (абсциссу или ординату) пересечения графиков или значение одной из функций в заданной точке.

Поэтому для решения нужно уметь определять параметры каждой функции по графику. Сводка по видам функций:

Вид функции	Формула	Что считывают по графику
Линейная	$y=kx+b$	$b$ — пересечение с $OY$; $k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
Квадратичная	$y=ax^2+bx+c$, или $y=a(x-m)^2+n$	вершину $(m;n)$, $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, $c=f(0)$
Дробно-линейная	$y=\dfrac{k}{x+c}+d$	асимптоты $x=-c$, $y=d$, затем $k$ по точке
Корень	$y=k\sqrt{x}$ (+ сдвиги)	точку с целыми координатами, например $(4;\,2k)$
Показательная	$y=a^{x+c}+b$	возрастает при $a>1$, убывает при \(0
Логарифмическая	$y=\log_a(x+c)+b$	основание $a$ по свойствам $\log_aa=1$; сдвиги $b$ и $c$
Тригонометрическая	$y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$	$B=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}$, $\|A\|=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}$, период

Сдвиг вдоль $OY$ — это слагаемое вне функции. Сдвиг вдоль $OX$ — это слагаемое внутри функции, при этом знак меняется на противоположный: $f(x+c)$ сдвигает график на $-c$.

2. Общий алгоритм

По отмеченным на рисунке точкам найдите параметры каждой функции отдельно. Для каждой функции подберите способ из соответствующей карточки (линейная, парабола, гипербола, корень, показательная, логарифм, тригонометрия).
Запишите обе формулы, $f(x)$ и $g(x)$.
Чтобы найти точки пересечения, приравняйте выражения: $f(x)=g(x)$.
Приведите уравнение к квадратному или линейному (при необходимости умножьте на знаменатель, возведите в квадрат и т. д.).
Найдите корни и выберите нужный по условию: в задаче спрашивают, например, абсциссу точки $A$ (или $B$), то есть одного из двух корней.
Ординату точки пересечения находят подстановкой абсциссы в любую из двух функций.
Выполните проверку: корни подставьте в оба графика (особенно после возведения в квадрат и при логарифмах).

Когда после приравнивания получается квадратное уравнение

Например, для $f(x)=5x+9$ и $g(x)=x^2+x-3$ получаем $x^2+x-3=5x+9$, то есть $x^2-4x-12=0$, откуда $x_1=-2$ и $x_2=6$. Какой из двух корней нужен, определяется условием: какая из точек $A$ или $B$ спрашивается.

Лайфхак 1. Для пересечения всегда приравнивайте. Точки пересечения графиков — это решения уравнения $f(x)=g(x)$. Ординату находят подстановкой абсциссы в любую функцию.

Лайфхак 2. Для системы вычитайте уравнения. Если для нахождения параметров составлена система из двух уравнений, вычитание одного уравнения из другого часто сразу исключает лишнюю неизвестную. Для квадратичной функции по трём точкам вычитайте попарно, чтобы остались две неизвестные.

Лайфхак 3. Используйте монотонность как фильтр. Если система для параметров даёт два решения, возрастание или убывание графика показывает, какое из них подходит (для показательной и логарифмической функции — условие $a>1$ или \(0

Лайфхак 4. Берите опорные точки с целыми координатами. По ним параметры находятся из простых уравнений. Например, для корня удобна точка вроде $(4;5)$, для логарифма — точка, дающая $\log_a2=1$.

Типичные ошибки. (1) Неверное считывание координат с клеток: определяйте цену деления на осях. (2) Пропуск посторонних корней после возведения в квадрат или при решении логарифмических уравнений. (3) Отсутствие проверки области определения, например аргумент $\log_a(x+5)$ должен быть положительным. (4) Выбор не того корня при поиске нужной точки пересечения.

Разобранные примеры

Пример 1

На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5x$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Решение

По графику, g(−1)  =  2, g(1)  =  0, g(2)  =  2. Тогда

$g левая круглая скобка 1 правая круглая скобка минус g левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =a левая круглая скобка 1 минус 1 правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка 1 плюс 1 правая круглая скобка =2b=0 минус 2 равносильно b= минус 1,$

Тогда

$g левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус g левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =a левая круглая скобка 4 минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка =3a минус 1=2 минус 0 равносильно a=1.$

Из g(2)  =  2 получим c  =  0. Теперь найдём абсциссу точки B:

$5x=x в квадрате минус x равносильно x в квадрате минус 6x=0 равносильно x левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=6,x=0. конец совокупности .$

Таким образом, ответ  — 6.

Ответ: 6.

Пример 2

На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 4x плюс 9$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.

Решение

По графику, g(−3)  =  1, g(−2)  =  −1, g(1)  =  5. Тогда

$g левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка минус g левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =a левая круглая скобка 9 минус 4 правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка минус 3 плюс 2 правая круглая скобка =5a минус b=1 минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно 5a минус b=2,$

$g левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус g левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =a левая круглая скобка 4 минус 1 правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка минус 2 минус 1 правая круглая скобка =3a минус 3b= минус 1 минус 5 равносильно минус a плюс b=2.$

Решая полученную систему, получаем: a  =  1, b  =  3, из g(1)  =  5 получим c  =  1. Найдём абсциссу точки B:

$минус 4x плюс 9=x в квадрате плюс 3x плюс 1 равносильно x в квадрате плюс 7x минус 8=0 равносильно совокупность выражений x= минус 8,x=1. конец совокупности .$

Таким образом, абсцисса точки B  — $x_B= минус 8.$ Теперь найдём ординату точки B: $y_B=f левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка = минус 4 умножить на левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка плюс 9=32 плюс 9=41.$

Ответ: 41.

Пример 3

На рисунке изображены графики функций видов $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx,$ пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Решение

По графику $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,$ $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =2,$ тогда

c  =  0, $x_0= дробь: числитель: минус b, знаменатель: 2 умножить на 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $b= минус 1,$ $a=1.$

Значит, квадратичная функция имеет вид $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус x.$

Заметим, что k  — тангенс угла наклона прямой по отношению к оси абсцисс, тогда

$k= дробь: числитель: 3, знаменатель: 1 конец дроби =3.$

Значит, линейная функция имеет вид $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x.$

Найдём абсциссу точки B:

$3x=x в квадрате минус x равносильно x в квадрате минус 4x=0 равносильно совокупность выражений x=0,x=4. конец совокупности .$

Таким образом, абсцисса точки B равна 4.

Ответ: 4.

Источники

«Задание №11 профильного уровня ЕГЭ 2025 «Функции»», Г. Ф. Оплачко, МБОУ СОШ №4, Приморско-Ахтарский округ (презентация)
«Графики функции. Задание №11 профильного ЕГЭ по математике», Е. Н. Борщакова, МОАУСОШ №4 им. А. И. Миргородского, г. Новокубанск (ГБОУ ИРО Краснодарского края)
«Графики функции. Задание №11 профильного ЕГЭ по математике», И. Г. Помозова, МБОУ СОШ №2 г. Темрюк (ГБОУ ИРО Краснодарского края)
«Описание производственных процессов с помощью графиков функций» (практическое занятие по дисциплине «Математика»), В. А. Бережная, ШТЭК ДОННУЭТ, 2026

У1
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5x плюс 9$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
У2
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = ax в квадрате плюс bx плюс c$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс d,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У3
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У4
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
У5
На рисунке изображены графики функций видов $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx,$ пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У6
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 3x плюс 13$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
У7
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
У8
На рисунке изображены графики функций видов $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx,$ пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У9
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2x минус 4$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У10
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
У11
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 3 x минус 4$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =a x в квадрате плюс b x плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У12
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У13
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс b ,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
У14
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 6x плюс 11$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
У15
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс b ,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
У16
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 7x плюс 19$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У17
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс b ,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.
У18
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
У19
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
У20
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ пересекающиеся в точках A и B. Найдите ординату точки B.
У21
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У22
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.
У23
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 3x плюс 5$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
У24
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x плюс 5$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
У25
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.

Д1
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
Д2
На рисунке изображены графики функций видов $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и g(x)  =  kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д3
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Д4
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.
Д5
На рисунке изображены графики функций видов $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и g(x)  =  kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д6
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Д7
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.
Д8
На рисунке изображены графики функций видов $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и g(x)  =  kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д9
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Д10
На рисунке изображены графики функций видов $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = ax в квадрате плюс bx плюс c$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx,$ пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д11
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
Д12
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Д13
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс b ,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.
Д14
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д15
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс b ,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.
Д16
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс b ,$ которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
Д17
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = a корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = kx плюс b,$ которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.
Д18
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Д19
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д20
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 4x плюс 9$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д21
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
Д22
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 3x плюс 13$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д23
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Д24
На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Вид функции	Формула	Что считывают по графику
Линейная	\(y=kx+b\)	\(b\) — пересечение с \(OY\); \(k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
Квадратичная	\(y=ax^2+bx+c\), или \(y=a(x-m)^2+n\)	вершину \((m;n)\), \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\), \(c=f(0)\)
Дробно-линейная	\(y=\dfrac{k}{x+c}+d\)	асимптоты \(x=-c\), \(y=d\), затем \(k\) по точке
Корень	\(y=k\sqrt{x}\) (+ сдвиги)	точку с целыми координатами, например \((4;\,2k)\)
Показательная	\(y=a^{x+c}+b\)	возрастает при \(a>1\), убывает при \(0
Логарифмическая	\(y=\log_a(x+c)+b\)	основание \(a\) по свойствам \(\log_aa=1\); сдвиги \(b\) и \(c\)
Тригонометрическая	\(y=A\sin(\omega x+\varphi)+B\)	\(B=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}\), \(\|A\|=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}\), период