Задание 13 · Текстовая задача, в т.ч. финансовая (НОВОЕ в 2027: был №16 части 2, теперь краткий ответ)

13.1. Вклады

Для репетитора: показать ответы

1. Основные понятия

Вклад (депозит) — деньги, которые передают банку, чтобы получать доход в виде процентов по договору.
Процентная ставка $r\,\%$ годовых показывает, на сколько процентов за год увеличивается сумма на счёте.
Капитализация — прибавление начисленных процентов к сумме вклада. После неё в следующем периоде проценты начисляются уже на увеличенную сумму (это сложные проценты).

В ЕГЭ-2027 финансовая задача стоит в первой части экзамена, и в бланк записывают только итоговое число. Но решать её нужно так же аккуратно: ошибка в модели сразу даёт неверный ответ.

2. Проценты: основные формулы

Что нужно	Формула
$r\,\%$ от числа $S$	$\dfrac{r}{100}\cdot S$
Увеличение числа на $r\,\%$	$S\left(1+\dfrac{r}{100}\right)=k\cdot S$, где $k=1+\dfrac{r}{100}$ — коэффициент роста
Уменьшение числа на $r\,\%$	$S\left(1-\dfrac{r}{100}\right)$
Два последовательных изменения на $p\,\%$ и на $q\,\%$	$S\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\left(1+\dfrac{q}{100}\right)$
Изменение $n$ раз подряд на $a\,\%$	$S_0\left(1\pm\dfrac{a}{100}\right)^n$

Например, если вклад равен $S$ и ставка 5 % годовых, то через год на счёте будет $1{,}05\,S$. Проценты можно складывать только от одной и той же величины, поэтому проценты разных лет перемножаются через коэффициенты роста, а не складываются.

3. Простые и сложные проценты

	Простые проценты	Сложные проценты
Что происходит с процентами	их можно забрать в конце каждого периода, они не прибавляются к сумме вклада	проценты каждого периода прибавляются к сумме вклада
Сумма через $N$ лет при ставке $i\,\%$	$X\left(\dfrac{i}{100}\cdot N+1\right)$	$X\left(1+\dfrac{i}{100}\right)^N$

Здесь $X$ — вложенная сумма. В задаче ЕГЭ нужно внимательно прочитать, начисляются ли проценты на проценты. Если в условии сказано, что «проценты прибавляются к сумме вклада», используется формула сложных процентов. Сложные проценты по вкладу образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $k=1+\dfrac{r}{100}$.

4. Схема решения по годам

Проценты начисляются в конце периода на ту сумму, которая лежит на счёте в этот момент. Поэтому удобно вести таблицу по годам:

Год	Сумма на начало года	Сумма после начисления процентов
1	$S$	$kS$
2	$kS$ (плюс пополнение, если оно внесено в начале года)	$k\cdot(\text{сумма на начало года})$
$\dots$	$\dots$	$\dots$

Пополнение в начале года попадает в ту сумму, на которую в конце этого года начисляются проценты. Снятие части денег уменьшает сумму, на которую проценты будут начисляться в следующем периоде.

5. Алгоритм решения

Прочитайте условие и выпишите, что дано: начальную сумму, ставку, срок, пополнения и снятия, что нужно найти.
Введите переменные: вклад $S$ (или $X$), коэффициент роста $k=1+\dfrac{r}{100}$.
Составьте таблицу по годам и дойдите до конца срока.
Запишите итоговую сумму в виде выражения и составьте уравнение или неравенство по условию («не менее», «не более», «меньше», «больше»).
Решите. Если искомая величина должна быть целой (сумма в миллионах, число процентов), выбирайте ближайшее целое с нужной стороны неравенства и проверьте соседние целые значения.
Запишите ответ в тех единицах, которые просят (рубли, тысячи, миллионы, проценты).

Типичные постановки вопросов

Найти начальную сумму или срок так, чтобы итоговая сумма была не больше (не меньше) заданной: получается неравенство.
Сравнить два вклада (какой выгоднее): сравнивают итоговые множители роста за весь срок.
Ставка зависит от параметра (например, часть денег снимается, а на остаток начисляется процент вида «$30-x$»). Тогда итоговая сумма — квадратичная функция от $x$, её наибольшее значение достигается в вершине параболы $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.

Лайфхак 1. Переходите к коэффициентам роста. Вместо «+10 %» пишите множитель $1{,}1$, а вместо «−20 %» — $0{,}8$. Тогда цепочка изменений превращается в произведение, а не в сумму процентов.

Лайфхак 2. Решайте в общем виде. Не вычисляйте громоздкие степени числа до конца: сначала составьте выражение и сократите, а числа подставляйте в самом конце.

Лайфхак 3. Не бойтесь вводить неизвестные. Начальную сумму обозначайте $S$ или $X$: в итоговом уравнении она часто сокращается или выносится за скобку.

Лайфхак 4. Параметрическая ставка — это вершина параболы. Если проценты зависят от переменной $x$, а итоговая сумма — произведение двух линейных выражений от $x$, то максимум достигается в вершине: $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.

Типичные ошибки. (1) Единицы измерения должны совпадать у всех одноимённых величин: не смешивайте тысячи и миллионы рублей. (2) Проверка смысла: из двух корней квадратного уравнения отрицательный (или не подходящий по условию) отбрасывается. (3) Округление: сначала разберитесь, допустимо ли оно по смыслу условия (например, сумма в целых рублях или в целых миллионах).

Разобранные примеры

Пример 1

При открытии вклада на сумму 1000 тысяч рублей на 3 года банк предлагает два варианта. Первый вариант  — фиксированная ставка 10% годовых на весь срок. При втором варианте ставка в первый год составляет 8% годовых, а каждый следующий год увеличивается на 2%. Определите, при выборе какого из вариантов к концу третьего года сумма на вкладе окажется наибольшей. В ответе укажите разницу между суммами вкладов к концу третьего года в рублях.

Решение

При выборе первого варианта сумма на вкладе к концу третьего года будет равна $1000 умножить на 1,1 в кубе = 1331 тыс. руб.$ При выборе второго варианта сумма на вкладе к концу третьего года будет равна $1000 умножить на 1,08 умножить на 1,1 умножить на 1,12 = 1330,56 тыс. руб.$ Разница между суммами вкладов равна $1331 минус 1330,56 = 0,44 тыс. руб. = 440 руб.$

Ответ: 440.

Пример 2

В 2026 году был открыт вклад на сумму 500 тысяч рублей сроком на 3 года. В конце каждого года банк увеличивает размер вклада на r%. Известно, что в конце третьего года сумма на вкладе составит 665,5 тысяч рублей. Найдите r.

Решение

Пусть $k = 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби .$ Так как первоначальный размер вклада равен 500 тыс. руб., а к концу третьего года сумма вклада будет равна 665,5 тыс. руб., имеем:

$500 умножить на k в кубе = 665,5 равносильно k в кубе = 1,331 равносильно k = 1,1,$

откуда $r = 10.$

Ответ: 10.

Источники

«Разбор теории и практики к заданию 15: Экономическая задача», И. Г. Лаврентьева, МАОУ СОШ №63, г. Тюмень (togirro.ru)
«Решение экономических задач при подготовке к ЕГЭ», Ж. А. Заикина, МБОУ «Гимназия 11», г. Королёв, 2018
«Пособие по решению экономических задач (задание 16 ЕГЭ)», О. А. Маряхичева, МБОУ «СОШ п. Опытный» Цивильского МО ЧР, 2024
«Управление личными финансами и формирование семейного бюджета», О. М. Никитина
«ЕГЭ-2027: что изменится в экзамене и к чему теперь готовиться выпускникам», Мел (mel.fm)

У1
В 2026 году был открыт вклад на 3 года некоторую сумму под 20% годовых. Определите изначальную величину вклада (в тысячах рублей), если известно, что в начале второго и третьего года вклад пополнялся на 10 тысяч рублей, а в конце третьего года сумма на вкладе составила 173,28 тысяч рублей.
У2
Клиент вложил некоторую сумму под 10% годовых, начисляемых на вклад раз в год. Известно, что в конце первого года (после начисления процентов) он снял со своего счета 10% от имеющейся на тот момент суммы, а в конце второго года (также после начисления процентов) он доложил на счет 10% от имеющейся суммы. Определите, в конце третьего года (после начисления процентов) увеличилась или уменьшилась сумма на счете после таких манипуляций по сравнению с первоначальным вкладом и на сколько процентов. В ответ запишите разницу в процентах.
У3
По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 14% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 8% в первый год и на целое число $n$ процентов за второй год. Найдите наименьшее значение $n,$ при котором за два года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
У4
Владелец автосалона решил разделить свой капитал на 3 части и вложить их в 3 различных банка, причем годовые процентные ставки в этих банках относятся как $2 :3:5.$ В каком отношении он должен поделить свой капитал, чтобы через год чистая прибыль от вкладов во всех трех банках была одинакова? В ответ запишите три числа без пробелов.
У5
В банке оформили два одинаковых вклада под один и тот же процент годовых на 3 года.
По первому вкладу были проделаны следующие манипуляции: в конце первого года после начисления процентов со счета было снято 20% от имеющейся там суммы, а в конце второго года после начисления процентов было доложено 30% от имеющейся там суммы.
По второму вкладу были проделаны следующие манипуляции: в конце первого года после начисления процентов на счет было доложено 20% от имеющейся там суммы, а в конце второго года после начисления процентов было снято 30% от имеющейся там суммы.
Определите, на каком из двух счетов в конце третьего года после проделанных действий оказалось больше денег. Найдите отношение суммы, находящейся на первом счете, к сумме, находящейся на втором счете.
Ответ приведите к несократимой дроби. В ответ запишите числитель этой дроби.
У6
По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 10% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей во второй и третий годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором через четыре года на вкладе будет больше 220 миллионов рублей. Ответ дайте в рублях.
У7
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10%$ по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 3 миллиона рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит более шести миллионов рублей. Ответ дайте в рублях.
У8
Алексей решил внести некоторую сумму $A$ рублей в банк под целое число $y$ процентов годовых. Каждый год после начисления процентов он дополнительно вносит на счет сумму, равную половине от той, которая находилась на счете у Алексея в начале текущего года. Какая наименьшая процентная ставка $y$ должна быть у банка, чтобы к концу третьего года (после внесения третьей дополнительной суммы) сумма на счете была не менее $8A$ рублей?

Д1
В июле 2026 года Николай планирует открыть накопительный счёт на три года. Его условия таковы:
– 1 июля 2026 года Николай помещает на счёт 488 000 рублей;
– 30 июня каждого года сумма на счёте увеличивается на 25% по сравнению с суммой, находящейся на счёте 29 июня;
– 1 июля 2027, 2028 и 2029 годов Николай снимет со счёта некоторую одну и ту же сумму денег;
– 1 июля 2029 года остаток на счёте должен оказаться равным 0 рублей.
Найдите сумму, которую Николай должен снимать со счёта каждый год. Ответ дайте в рублях.
Д2
В феврале женщина оформила в банке вклад на 4 года. Каждый год в ноябре банк начисляет на вклад 8%. В декабре первого года пользования услугами данного банка женщина решила купить квартиру и сняла для этой цели со своего счета 8 млн рублей. Ровно через два года она продала эту квартиру и сразу же вернула на счет в банке 8 млн рублей.
Определите, сколько рублей потеряла эта женщина по истечении срока действия вклада из-за подобных действий.
Д3
Клиент вложил некоторую сумму под 20% годовых, начисляемых на вклад раз в год. Известно, что в конце первого года (после начисления процентов) он доложил на счет 20% от имеющейся суммы, а в конце второго года (также после начисления процентов) он снял со своего счета 20% от имеющейся на тот момент суммы. Определите, в конце третьего года (после начисления процентов) увеличилась или уменьшилась сумма на счете после таких манипуляций по сравнению с первоначальным вкладом и на сколько процентов. В ответ запишите разницу в процентах.
Д4
Ваня сделал вклад в банке на 3 года. Раз в год банк начисляет на сумму, находящуюся на счете, некоторое количество процентов.
У Вани есть возможность в первый год после начисления процентов снять со счета 20% от имеющейся там суммы, а во второй год — доложить 20% от имеющейся там суммы. Также у Вани есть возможность сделать наоборот, то есть в первый год после начисления процентов доложить на счет 20% от имеющейся там суммы, а во второй год — снять 20% от имеющейся там суммы.
Определите, в какой из этих возможностей спустя 3 года у Вани на счете окажется большая сумма и на сколько процентов эта сумма больше по сравнению с другой возможностью. В ответ запишите разницу в процентах.
Д5
Вклад планируется открыть на три года. Первоначальный размер вклада составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 20% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале второго и третьего годов вклад пополняется на 4 миллиона рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через три года он будет меньше 25 миллионов рублей. Ответ дайте в рублях.
Д6
По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей. Ответ дайте в рублях.
Д7
По вкладу «Шоколадный» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на $10%$ сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Гарантированный» — увеличивает на $13%$ в течение первого и второго года, и на $p%$ в третий год. Найдите наименьшее целое число процентов $p$ по вкладу «Гарантированный», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «Шоколадный».

Что нужно	Формула
\(r\,\%\) от числа \(S\)	\(\dfrac{r}{100}\cdot S\)
Увеличение числа на \(r\,\%\)	\(S\left(1+\dfrac{r}{100}\right)=k\cdot S\), где \(k=1+\dfrac{r}{100}\) — коэффициент роста
Уменьшение числа на \(r\,\%\)	\(S\left(1-\dfrac{r}{100}\right)\)
Два последовательных изменения на \(p\,\%\) и на \(q\,\%\)	\(S\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\left(1+\dfrac{q}{100}\right)\)
Изменение \(n\) раз подряд на \(a\,\%\)	\(S_0\left(1\pm\dfrac{a}{100}\right)^n\)

Год	Сумма на начало года	Сумма после начисления процентов
1	\(S\)	\(kS\)
2	\(kS\) (плюс пополнение, если оно внесено в начале года)	\(k\cdot(\text{сумма на начало года})\)
\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)