Задание 13 · Текстовая задача, в т.ч. финансовая (НОВОЕ в 2027: был №16 части 2, теперь краткий ответ)
13.2. Кредиты (дифференцированные и аннуитетные платежи)
Для репетитора: показать ответы
1. Как устроен кредит в задаче
- Кредит — сумма \(S\), которую заёмщик обязуется вернуть банку по договору. Банк берёт за это проценты.
- Проценты начисляются на остаток долга (а не на первоначальную сумму), и начисляются они за каждый период (месяц или год).
- Сначала в конце периода начисляются проценты, и только потом вносится платёж.
- Платёж состоит из двух частей: начисленных процентов и части суммы кредита (основного долга, «тела» кредита).
- Размер платежей зависит от суммы, срока, ставки и схемы погашения.
Обозначения: \(S\) — сумма кредита, \(n\) — число периодов (срок), \(r\,\%\) — ставка за период, \(k=1+\dfrac{r}{100}\) — коэффициент роста долга, \(X\) — платёж.
Если долг в начале периода равен \(D\), то после начисления процентов он равен \(kD\), а после платежа \(X\) — равен \(kD-X\). Это основная формула: «новый долг = старый долг \(\times k\) − платёж».
2. Первый шаг: определите тип платежей
| Тип | Признак в условии | Что используется |
|---|---|---|
| Аннуитетные платежи | платежи равны на весь срок («равными платежами») | формула суммы геометрической прогрессии |
| Дифференцированные платежи | долг уменьшается каждый период на одну и ту же сумму; платежи не равны | формула суммы арифметической прогрессии |
3. Аннуитетные платежи (равные платежи)
Платежи одинаковы на всём сроке. В первой половине срока основную часть платежа составляют проценты, потом доля погашения основного долга растёт; общая сумма процентов при этом больше, чем при дифференцированных платежах.
Схема долга
- после первого платежа: \(Sk-X\);
- после второго: \((Sk-X)k-X=Sk^2-Xk-X\);
- после \(m\)-го: \(Sk^m-X\left(k^{m-1}+\dots+k+1\right)\);
- после последнего (\(n\)-го) платежа долг равен нулю.
Вывод формулы платежа
- Условие погашения: \(Sk^n-X\left(k^{n-1}+\dots+k+1\right)=0\).
- Сумма в скобках — сумма геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем \(k\), она равна \(\dfrac{k^n-1}{k-1}\).
- Получаем \(Sk^n(k-1)=X\left(k^n-1\right)\), откуда
\(X=\dfrac{S\,k^n(k-1)}{k^n-1}\).
Для трёх платежей это \(X=\dfrac{Sk^3}{k^2+k+1}\). Из этой же формулы выражают и другие величины: сумму кредита \(S\), срок \(n\), ставку \(r\).
- Общая сумма выплат равна \(nX\), переплата равна \(nX-S\).
- Если неизвестен срок \(n\), сравнивают \(k^n\) с найденным порогом перебором значений \(n\) (при этом полезно сначала оценить \(n\) без процентов, а затем уточнить с учётом процентов).
4. Дифференцированные платежи
Долг каждый период уменьшается на одну и ту же величину \(X\), а проценты начисляются на остаток. Поэтому платежи уменьшаются от первого к последнему. Схема долга:
\(S,\ S-X,\ S-2X,\ \dots,\ S-nX=0\), откуда \(S=nX\) и \(X=\dfrac{S}{n}\).
- Проценты за периоды: \(\dfrac{r}{100}S,\ \dfrac{r}{100}(S-X),\ \dots,\ \dfrac{r}{100}\bigl(S-(n-1)X\bigr)\) — это арифметическая прогрессия.
- Платёж в период \(m\): проценты плюс \(X\), то есть \(\dfrac{r}{100}\bigl(S-(m-1)X\bigr)+X\). Каждый следующий платёж меньше предыдущего на \(\dfrac{r}{100}X\).
Общая сумма выплат
\(S_{\text{общ}}=S+\dfrac{r}{100}\cdot\dfrac{2S-(n-1)X}{2}\cdot n\)
(проценты складываются как члены арифметической прогрессии: \(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)). Переплата равна \(S_{\text{общ}}-S\). С учётом \(X=\dfrac Sn\) формула упрощается: переплата \(=\dfrac{r}{100}\cdot\dfrac{n+1}{2}\cdot S\).
5. Алгоритм решения
- Определите тип платежей (равные платежи или равномерное уменьшение долга).
- Введите обозначения \(S\), \(n\), \(k\), \(X\); удобно считать в тысячах или миллионах рублей.
- Составьте таблицу долга по периодам: долг на начало, долг после начисления процентов, платёж, долг после платежа.
- Запишите условие погашения: долг после последнего платежа равен нулю (либо долг в нужный период равен заданному).
- Для аннуитета — используйте сумму геометрической прогрессии, для дифференцированных платежей — арифметической.
- Составьте уравнение по вопросу задачи (переплата, общая сумма выплат, максимальный платёж, остаток долга) и найдите \(S\), \(X\), \(n\) или \(r\).
- Проверьте корни, ответьте в тех единицах, которые просят.
Вариации вопросов
- Найти сумму кредита или платёж при заданных ставке и сроке.
- Найти ставку \(r\) по заданной переплате или общей сумме выплат: для дифференцированных платежей — через \(S_{\text{общ}}\); для аннуитета — через уравнение погашения, которое обычно сводится к квадратному.
- Найти срок \(n\): аннуитет — перебор \(k^n\); дифференцированные платежи — из условия «через \(m\) периодов долг равен…».
- Сравнить две схемы (например, 3 платежа и 2 платежа): найти платежи в каждом случае и вычесть общие суммы.
- Если сумма \(S\) должна быть целой, а платежи — тоже целыми, \(S\) должно делиться на знаменатели всех возникающих дробей, то есть находят наименьшее общее кратное этих знаменателей.
Разобранные примеры
Пример 1
В июле \(2026\) года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг увеличивается на \(20\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(48 250\) рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Ответ: \(162000\).
Пример 2
Предприниматель Александр взял в банке кредит на \(6\) лет. Условия погашения кредита таковы: по прошествии каждого года банк начисляет \(20\%\) на долг, который имеет предприниматель на конец этого года. После этого предприниматель вносит ежегодный платёж по такой схеме: первые три года предприниматель оплачивает только проценты, начисленные банком, следующие три года кредит погашается равными платежами, которые вносятся ежегодно. Сколько рублей Александр взял в банке, если известно, что общая сумма платежей после полного погашения кредита на \(466000\) рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Ответ: \(455000\).
- «Дидактический материал по теме „Задание 17 ЕГЭ. Решение экономических задач“», А. Д. Денисенко, МБОУ БСОШ №1 им. П. П. Корягина, Алтайский край
- «Задание №16 ЕГЭ профильного уровня. Экономическая задача. Кредиты», Е. В. Милоградова, МБОУ гимназия №7, г. Крымск (презентация, iro23.ru)
- «Пособие по решению экономических задач (задание 16 ЕГЭ)», О. А. Маряхичева, МБОУ «СОШ п. Опытный» Цивильского МО ЧР, 2024
- «Решение экономических задач при подготовке к ЕГЭ», Ж. А. Заикина, МБОУ «Гимназия 11», г. Королёв, 2018
- «Разбор теории и практики к заданию 15: Экономическая задача», И. Г. Лаврентьева, МАОУ СОШ №63, г. Тюмень (togirro.ru)
- У1
В июле планируется взять кредит в банке на сумму
9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат (в миллионах рублей) после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит
3,6 млн рублей? - У2
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 27 млн рублей?
- У3
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере
S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год Июль 2026 Июль 2027 Июль 2028 Июль 2029 Долг
(в млн рублей)S 0,8S 0,4S 0 Найдите наибольшее S, при котором каждая из выплат будет меньше
5 млн руб. - У4
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год Июль 2020 Июль 2021 Июль 2022 Июль 2023 Июль 2024 Долг (в млн рублей)
S 0,8S 0,6S 0,4S 0 Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
- У5
В январе 2020 года Борис взял кредит в банке на сумму
4 200 000 рублей. По договору с банком Борис должен был погасить долг двумя равными платежами в феврале2021 года и феврале2022 года, при условии, что в январе2021 года и январе2022 года сумма оставшегося долга увеличивается на 10%. В феврале2021 года Борис сделал первую выплату в соответствии с договором. После этого ему удалось договориться с банком о рефинансировании кредита и уменьшить процент, на который сумма долга вырастет в январе2022 года, до 7%. Сколько рублей сэкономит Борис на рефинансировании своего кредита? - У6
В июле планируется взять в банке некоторую сумму в кредит на три года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года нужно внести платёж, равный 2,662 млн рублей.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что долг был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
- У7
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равны;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году составит 833,8 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж
в 2027 году? - У8
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежам часть долга;
— платежи в 2027 и 2028 годах должны быть 200 тыс. руб.;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Сколько тысяч рублей составит платёж
в 2029 году? - У9
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
Месяц и год Июль 2026 Июль 2027 Июль 2028 Июль 2029 Июль 2030 Долг (в млн руб.) S 0,7S 0,4S 0,2S 0 Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет больше
10 млн рублей. - У10
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 150 тыс. руб.;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 185,9 тыс. руб. Какую сумму
(в тыс. руб.) планируется взять в кредит? - У11
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере S тысяч рублей на три года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 70% меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей по кредиту составила 11 502 тысяч рублей. Найдите S. Ответ дайте в тысячах рублей.
- У12
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита будет на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?
- У13
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. руб.;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 860,6 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит? Ответ дайте в тысячах рублей.
- У14
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что последний платёж будет не менее 0,92 млн рублей.
- У15
Был выдан кредит на 550000 рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму кредита на 20 процентов, после чего происходит платеж. Кредит был полностью выплачен за 2 года, причем платежи были равными. Найдите общую сумму, выплаченную клиентом банку.
- У16
В июле \(2026\) года планируется взять кредит на три года в размере \(800\) тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- выплаты в \(2027\) и \(2028\) годах должны быть равны;
- к июлю \(2029\) года долг должен быть выплачен полностью.Известно, что платеж в \(2029\) году составит \(833,8\) тысяч рублей. Сколько рублей составит платеж в \(2027\) году?
- У17
В июле \(2020\) года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
— в январе каждого года долг увеличивается на \(30\%\) по сравнению с предыдущим годом;
— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму будет взят кредит банке, если известно, что кредит будет выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат будет на \(78 030\) рублей больше суммы взятого кредита.
- У18
В июле \(2020\) года планируется взять кредит в банке на сумму \(536\,800\) рублей. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на \(20\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
- У19
В июле \(2020\) года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг будет возрастать на \(10\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(40 980\) рублей больше суммы, взятой в кредит?
- У20
В июле \(2026\) года планируется взять кредит на три года в размере \(800\) тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг будет возрастать на \(20\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
платежи в \(2027\) и \(2028\) годах должны быть равными;
к июлю \(2029\) года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна \(1254{,}4\) тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж \(2027\) года?
- У21
В июле \(2026\) года планируется взять кредит в банке на сумму \(177 120\) рублей. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на \(25\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
- У22
В июле \(2020\) года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на \(10\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит \(292 820\) рублей?
- У23
В июле \(2026\) года планируется взять кредит на три года в размере \(900\) тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на \(30\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
платежи в \(2027\) и \(2028\) годах должны быть равными;
к июлю \(2029\) года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна \(1482{,}3\) тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж \(2029\) года?
- У24
Предприятие планирует \(1\) июня \(2027\) года взять в банке кредит на \(2\) года в размере \(8400\) тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант \(1\):
— каждый январь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
— кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант \(2\):
— \(1\)-го числа каждого квартала, начиная с \(1\) июля \(2027\) года, долг возрастает на \(3\%\) по сравнению с концом предыдущего квартала;
— во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга;
— на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала;
— к \(1\) июня \(2029\) года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита? - У25
В июле \(2027\) года планируется взять кредит на три года в размере \(1200\) тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в \(2028\) и \(2029\) годах должны быть равными;
— к июлю \(2030\) года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в \(2030\) году составит \(673{,}2\) тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж \(2028\) года?
- Д1
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147 000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года.
- Д2
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200 000 рублей. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130 000 рублей, а второй год — 150 000 рублей.
- Д3
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019 Июль 2020 Долг (в млн рублей)
S 0,8S 0,5S 0,1S 0 Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
- Д4
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S тысяч рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей
Месяц и год Июль 2026 Июль 2027 Июль 2028 Июль 2029 Долг
(в тыс. рублей)S 0,8S 0,4S 0 Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет не больше 840 тысяч рублей.
- Д5
В июле планируется взять кредит в банке на сумму
5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:— каждый январь долг будет возрастать на 14% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна сумма всех платежей после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж будет составлять
475 000 рублей? - Д6
В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере
3,3 млн руб. Условия его возврата таковы:— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годах долг остаётся равен
3,3 млн руб.; — платежи в 2030 и 2031 годах должны быть равны;
— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Сколько млн рублей составит разница между первым и последним платежами.
- Д7
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— платёж в 2027 и 2028 годах должен быть по 400 тыс. рублей;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита. Ответ дайте в рублях.
- Д8
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. руб.;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. руб. Какую сумму (в тысячах рублей) планируется взять в кредит?
- Д9
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
- Д10
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году составит 590,4 тысяч рублей. Найдите сумму всех платежей (в тысячах рублей) после полного погашения кредита.
- Д11
В июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 рублей в банке на три года.
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?
- Д12
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 0,24 млн рублей?
- Д13
В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита будет на 27 320 рублей больше суммы, взятой в кредит?
- Д14
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 1,5 млн рублей?
- Д15
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?
- Д16
В июле 2020 года планируется взять кредит сроком на 5 лет в размере \(630\) тыс. рублей. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2021, 2022 и 2023 годов долг остается равным \(630\) тыс. руб.;
— суммы выплат 2024 и 2025 годов равны.
Найдите \(r\), если в 2025 году долг будет полностью выплачен и общие выплаты составят \(915\) тыс. рублей. - Д17
В июле \(2020\) года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(34\,150\) рублей больше суммы, взятой в кредит? - Д18
В июле \(2026\) года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на \(20\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит \(311 040\) рублей?
- Д19
В июле \(2020\) года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на \(r\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по \(58\,564\) рубля, то кредит будет полностью погашен за \(4\) года, а если ежегодно выплачивать по \(106\,964\) рубля, то кредит будет полностью погашен за \(2\) года. Найдите \(r\).
- Д20
В июле \(2026\) года планируется взять кредит на три года в размере \(900\) тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на \(20\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
платежи в \(2027\) и \(2028\) годах должны быть равными;
к июлю \(2029\) года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в \(2029\) году составит \(1027{,}2\) тыс. рублей. Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
- Д21
В июле \(2020\) года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на \(25\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(104 800\) рублей больше суммы, взятой в кредит?
- Д22
В июле \(2026\) года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на \(20\)% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(77 200\) рублей больше суммы, взятой в кредит?
- Д23
Предприниматель Дмитрий взял в банке кредит на \(4\) года. Условия погашения кредита таковы: по прошествии каждого года банк начисляет \(12{,}5\%\) на долг, который имеет предприниматель на конец этого года. После этого предприниматель вносит ежегодный платёж по такой схеме: первые два года предприниматель оплачивает только проценты, начисленные банком, следующие два года кредит погашается равными платежами, которые вносятся ежегодно. Сколько рублей Дмитрий взял в банке, если известно, что общая сумма платежей после полного погашения кредита равна \(392000\) рублей?
- Д24
Предприятие планирует \(1\) июня \(2029\) года взять в банке кредит на \(2\) года в размере \(8{,}8\) млн рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант \(1\):
— каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
— кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант \(2\):
— \(1\)-го числа каждого квартала, начиная с \(1\) июля \(2029\) года, долг возрастает на \(6\%\) по сравнению с концом предыдущего квартала;
— во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга;
— на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала;
— к \(1\) июня \(2031\) года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита? - Д25
В июле Максим планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Максиму два варианта кредитования.
\(1\)-й вариант:
— кредит предоставляется на \(3\) года;
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на \(20\%\) от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
\(2\)-й вариант:
— кредит предоставляется на \(2\) года;
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на \(24\%\);
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Когда Максим подсчитал, то выяснил, что по \(1\)-му варианту кредитования ему придётся выплачивать на \(373\,600\) рублей больше, чем по \(2\)-му варианту. Какую сумму Максим планирует взять в кредит?