Задание 14 · Уравнение с отбором корней

14.1. Показательные уравнения

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое показательное уравнение

Показательное уравнение — уравнение, в котором неизвестная стоит в показателе степени, например $6^x-6^{x-1}=1$. Основание степени всегда удовлетворяет условию $a>0$, $a\ne1$. Любое показательное уравнение в итоге сводится к простейшим.

Простейшие уравнения

$a^{f(x)}=a^{g(x)}\;\Rightarrow\;f(x)=g(x)$ (при одном и том же основании приравниваем показатели).
$a^x=b$: при $b\le0$ решений нет; при $b>0$ единственное решение $x=\log_{a}b$.

Свойства степеней, которые нужны постоянно

$a^{x+k}=a^x\cdot a^k$, $a^{x-k}=\dfrac{a^x}{a^k}$
$a^{2x}=(a^x)^2$, $a^{kx}=(a^x)^k$
$a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$, $a^x\cdot b^x=(ab)^x$

2. Основные методы решения

Метод	Когда применяют	Суть
Приведение к одному основанию	обе части — степени одного числа	$3^x=27=3^3$, значит $x=3$
Вынесение общего множителя	степени отличаются сдвигом показателя: $a^x,\ a^{x+1},\ a^{x-2}$	выносим наименьшую степень за скобки: $3^x+3^{x+1}=108\Rightarrow3^x(1+3)=108$
Замена переменной	есть $a^{2x}$ и $a^x$ (или $a^{3x},a^{2x},a^x$)	$t=a^x$, $t>0$; получаем квадратное (или кубическое) уравнение
Деление на степень (однородные)	в уравнении степени с разными основаниями вида $A^{2x},\ B^{2x},\ (AB)^x$	делим все члены на одну из степеней, затем замена
Группировка	степени с одинаковыми основаниями можно собрать в одной части	переносим, выносим общие множители, делим на степень
Функционально-графический	уравнение вида $a^{f(x)}=g(x)$	строим графики обеих частей, абсцисса точки пересечения — корень

Замена переменной: как это выглядит

Уравнение вида $k\cdot a^{2f(x)}+b\cdot a^{f(x)}+c=0$ решают так: $y=a^{f(x)}$, $y>0$; решают квадратное уравнение $ky^2+by+c=0$; корни $y\le0$ отбрасывают; для оставшихся решают $a^{f(x)}=y$. Например, $9^x-5\cdot3^x+4=0$: при $t=3^x$ получаем $t^2-5t+4=0$, $t=1$ или $t=4$, откуда $x=0$ или $x=\log_{3}4$.

Если степеней три ($8^x,\,4^x,\,2^x$), та же замена $t=2^x$ даёт кубическое уравнение; его раскладывают на множители (подбор корня, группировка) и снова отбрасывают корни $t\le0$.

Однородное показательное уравнение

В уравнении $3\cdot4^x+2\cdot25^x-7\cdot10^x=0$ основания связаны: $4=2^2$, $25=5^2$, $10=2\cdot5$. Делим все члены на $25^x$ и обозначаем $y=\left(\dfrac25\right)^x>0$: получаем $3y^2-7y+2=0$.

3. Запись корней и отбор на отрезке

Если корень не целый, записывайте его через логарифм: $x=\log_{3}4$.
Среди найденных значений выбирают те, что принадлежат заданному отрезку. Нетабличные корни (с логарифмами) сравнивают с концами отрезка по неравенствам, а не «на глаз».
Проверьте, включены ли концы отрезка, и подставьте корни в исходное уравнение, особенно после замены и деления на степени.

Лайфхак 1. Сдвиг показателя — повод вынести за скобки. Если в уравнении есть $a^x$, $a^{x+1}$, $a^{x-1}$, выносите наименьшую степень: в скобках останутся числа.

Лайфхак 2. Разные основания, связанные между собой. Когда в уравнении встречаются $4^x$, $25^x$ и $10^x$, делите на степень с «крайним» основанием — получится квадратное уравнение относительно $\left(\dfrac25\right)^x$ или $\left(\dfrac52\right)^x$.

Лайфхак 3. Группировка. Если степени с одним основанием стоят в разных частях, соберите их вместе: например, $5^{2x}-4^{x+1}=4^x+5^{2x-1}$ сводится к $\left(\dfrac{25}{4}\right)^x=\dfrac{25}{4}$, откуда $x=1$.

Типичные ошибки.

Забыть, что после замены $t=a^x$ нужно $t>0$: корень $t=-2$ в уравнении $4^x+2^x-2=0$ не даёт решений.
Делить обе части на выражение с переменной, которое может обращаться в ноль, и терять решения.
Не проверить найденное значение подстановкой после замены или деления.

Разобранные примеры

Пример 1

а) Решите уравнение

$4x− 10⋅2x+ 20= (∘4-−-x2)2+ x2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2;4].$

Решение

а) Сделаем замену $t= 2x$ , $t> 0$ :

$( ( ||t= 2x ||t= 2x |{ 2 |{ 2 ||t − 10t+20 =4 ⇔ ||t − 10t+ 16 =0 ⇔ |(4− x2 ≥ 0 |(−2 ≤ x≤ 2 ( |||{t= 2x ({ t= 2;8 ⇔ x= 1;3 ⇔ x= 1 |||( ( −2≤ x ≤ 2 − 2≤ x≤ 2$

б) Корень $x= 1$ не лежит на указанном отрезке.

Пример 2

а) Решите уравнение

$3⋅9x− 28⋅3x+ 11= (∘2-−-2x2)2+ 2x2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3;3].$

Решение

а) Сделаем замену $t= 3x$ , $t> 0$ :

$( ( || t= 3x || t= 3x |{ 2 |{ 2 || 3t− 28t+ 11= 2 ⇔ || 3t − 28t+ 9= 0 ⇔ |( 2− 2x2 ≥ 0 |( −1≤ x ≤1 ( |||{ t= 3x ({ t= 1;9 ⇔ x = −1;2 ⇔ x = −1 |||( 3 (− 1≤ x≤ 1 −1≤ x ≤ 1$

б) Корень $x= −1$ лежит на указанном отрезке.

Источники

«Показательные уравнения», статья в журнале «Урок», urok.1sept.ru («Первое сентября»)
«Методы решения уравнений для ЕГЭ: шпаргалка», Школково (shkolkovo.online)
«Математика. Решение логарифмических уравнений», методическая разработка, mpk.brstu.ru, 2021
«Решение показательных уравнений и неравенств», infourok.ru
«Отбор корней в тригонометрических уравнениях», статья, Казанский федеральный университет (kpfu.ru)

У1
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 3=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка .$
У2
а)  Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 45=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 4; логарифм по основанию 3 10 правая квадратная скобка .$
У3
а)  Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку $левая квадратная скобка 2;3 правая квадратная скобка .$
У4
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 24 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка плюс 8=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая квадратная скобка .$
У5
а)  Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в кубе плюс 2 в степени 8 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 11 плюс 4x правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 0,25; логарифм по основанию 2 16,1 правая квадратная скобка .$
У6
а)  Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$
У7
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 0, корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка .$
У8
а)  Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 5 правая круглая скобка плюс 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 4 правая круглая скобка минус 180 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 7 правая круглая скобка =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ $минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ; корень из: начало аргумента: 3,5 конец аргумента$ ].
У9
а)  Решите уравнение $5 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка плюс 20 умножить на 10 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 1 правая круглая скобка минус 7 умножить на 25 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3;1 правая квадратная скобка .$
У10
а)  Решите уравнение $8 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка \log _52;\log _520 правая квадратная скобка .$
У11
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 3=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$
У12
а) Решите уравнение: $9^{x-\frac{1}{2}}-8\cdot 3^{x-1}+5=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $(1;\frac{7}{3})$.
У13
а) Решите уравнение: $4^x-2^{x+3}+15=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2;\sqrt{10}]$.
У14
а) Решите уравнение
$8^x-9\cdot2^{x+1}+2^{5-x}=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_5 2;\log_5 20\right]$.
У15
а) Решите уравнение
$27^x-28\cdot3^{x+1}+3^{5-x}=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\sqrt{3};\log_2 5\right]$.
У16
а) Решите уравнение $\sqrt{16-25x^2}\cdot\left(9^{3x+2}-163\cdot27^x+2\right)=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0{,}4;4\right]$.
У17
а) Решите уравнение $25^{x+0{,}5}+1{,}2\cdot2^{4x+1}=140\cdot20^{x-1}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2{,}5;-0{,}5\right]$.
У18
а) Решите уравнение $4x+√x−1,5+ 3⋅4x−√x+1,5− 4x+1 = 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[2;6].$
У19
а) Решите уравнение $9x+1 − 2 ⋅3x+2 +5 = 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( ) log 3 ;√5- . 32$
У20
а) Решите уравнение $16x+0,25− 41⋅4x−1+ 9= 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(0;1).$
У21
а) Решите уравнение $2⋅9x2−4x+1+ 42⋅6x2− 4x − 15⋅4x2−4x+1 = 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[−1;3].$
У22
а) Решите уравнение $8x+ 8= 3⋅4x+ 3⋅2x+1.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[1;e].$
У23
а) Решите уравнение $40,5−8x − 23 ⋅160,25−2x + 240 = 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[−0,4;0].$
У24
а) Решите уравнение $5⋅25x−0,5− 9⋅15x+ 2⋅9x+1 = 0.$
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[2;3].$
У25
а) Решите уравнение $27x− 5⋅9x− 3x+2 +45 =0.$

Д1
а)  Решите уравнение: $9 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 14=0.$
б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка 1; корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая квадратная скобка .$
Д2
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка =20.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 1;2 правая квадратная скобка .$
Д3
а)  Решите уравнение $7 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 6 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 48 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].
Д4
а)  Решите уравнение $24 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x минус 0,5 правая круглая скобка минус 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 6=0.$
б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−1; 1].
Д5
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−0,5; 0,5].
Д6
a)  Решите уравнение $8 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = 0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 2; логарифм по основанию 5 10 правая квадратная скобка .$
Д7
а)  Решите уравнение $8 в степени x минус 7 умножить на 4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка плюс 112=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 5; логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 11 правая квадратная скобка .$
Д8
а)  Решите уравнение $19 умножить на 4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 1=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 5; минус 4 правая квадратная скобка .$
Д9
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 3=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$
Д10
а)  Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 5=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 2 , корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка .$
Д11
а) Решите уравнение: $4^{x^2-1}-24\cdot 2^{x^2-3}+8=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5}{3};2]$.
Д12
а) Решите уравнение: $4^{x^2-2x+1}+4^{x^2-2x}=20$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1;2]$.
Д13
а) Решите уравнение
$8^x-3\cdot2^{x+2}+2^{5-x}=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_4 5;\sqrt{3}\right]$.
Д14
а) Решите уравнение
$27^x-4\cdot3^{x+2}+3^{5-x}=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_7 4;\log_7 16\right]$.
Д15
а) Решите уравнение $\sqrt{4x^2-1}\cdot\left(4^{3x+1}-26\cdot8^x+12\right)=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-1;1\right]$.
Д16
а) Решите уравнение $6^{2x-1}+2\cdot25^{x-0{,}5}=16\cdot30^{x-1}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0{,}5;4\right]$.
Д17
а) Решите уравнение $5^{x+\sqrt{x}-1}+6\cdot5^{x-\sqrt{x}+1}-5^{x+1}=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[1;2{,}56]$.
Д18
а) Решите уравнение $8x− 9⋅2x+1+ 25−x =0.$
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[log5 2;log5 20].$
Д19
а) Решите уравнение $22x+1− 3⋅2x+2+ 14= 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[1;3].$
Д20
Решите уравнение: $4 ⋅25x+0,5 − 60⋅5x−1 + 1 = 0$
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3;− 1]$ .
Д21
а) Решите уравнение $8x− 3⋅4x− 2x+ 3= 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3 ] 2;2 .$
Д22
Решите уравнение $2⋅8x+ 4x− 8⋅2x− 4= 0.$
Д23
а) Решите уравнение $√----- ( ) x2− 1⋅ 16x− 12 − 10⋅4x−1+ 6 = 0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 8] 1;3 .$
Д24
а) Решите уравнение $16x2−6x+6+ 2⋅12x2−6x+5− 2⋅9x2−6x+6 = 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;4].$
Д25
а) Решите уравнение $8⋅4x−1− 10⋅6x+ 4⋅9x+0,5 = 0.$
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[− 3;− 2].$

Метод	Когда применяют	Суть
Приведение к одному основанию	обе части — степени одного числа	\(3^x=27=3^3\), значит \(x=3\)
Вынесение общего множителя	степени отличаются сдвигом показателя: \(a^x,\ a^{x+1},\ a^{x-2}\)	выносим наименьшую степень за скобки: \(3^x+3^{x+1}=108\Rightarrow3^x(1+3)=108\)
Замена переменной	есть \(a^{2x}\) и \(a^x\) (или \(a^{3x},a^{2x},a^x\))	\(t=a^x\), \(t>0\); получаем квадратное (или кубическое) уравнение
Деление на степень (однородные)	в уравнении степени с разными основаниями вида \(A^{2x},\ B^{2x},\ (AB)^x\)	делим все члены на одну из степеней, затем замена
Группировка	степени с одинаковыми основаниями можно собрать в одной части	переносим, выносим общие множители, делим на степень
Функционально-графический	уравнение вида \(a^{f(x)}=g(x)\)	строим графики обеих частей, абсцисса точки пересечения — корень