Задание 14 · Уравнение с отбором корней

14.10. Тригонометрия и иррациональности

Для репетитора: показать ответы

1. Что это за уравнения

Здесь под знаком корня стоит тригонометрическое выражение, например $\sqrt{\sin x}$, $\sqrt{2\cos x+1}$, или тригонометрическая функция входит в обе части иррационального уравнения. Для решения нужны сразу две теории: иррациональные уравнения (ОДЗ, равносильные переходы) и тригонометрические уравнения (серии корней, отбор на окружности).

2. Корень и ОДЗ

Корень чётной степени существует, если подкоренное выражение неотрицательно: для $\sqrt{f(x)}$ нужно $f(x)\ge0$. Значение корня тоже неотрицательно.
Корень нечётной степени определён при любом подкоренном выражении.
Знаменатели не равны нулю; $\operatorname{tg}x$ определён при $\cos x\ne0$, $\operatorname{ctg}x$ — при $\sin x\ne0$.
$\sqrt[n]{a^n}=|a|$ при чётном $n$: например, $\sqrt{\sin^2x}=|\sin x|$, а не $\sin x$.

3. Равносильные переходы

Уравнение	Равносильная система
$\sqrt{f(x)}=g(x)$	$g(x)\ge0$ и $f(x)=g^2(x)$
$\sqrt[n]{f(x)}=g(x)$, $n$ чётное	$g(x)\ge0$ и $f(x)=g^n(x)$
$\sqrt[n]{f(x)}=g(x)$, $n$ нечётное	$f(x)=g^n(x)$

Когда $f$ и $g$ тригонометрические, условие $g(x)\ge0$ — это тригонометрическое неравенство, например $\cos x\ge0$ или $\sin x>\dfrac12$. Его решают на тригонометрической окружности: отмечают значение на линии синусов (косинусов, тангенсов, котангенсов), выделяют дугу, находят граничные точки и добавляют период.

Возведение обеих частей в чётную степень без условия $g(x)\ge0$ может дать посторонние корни, поэтому их отсекают либо условием, либо подстановкой найденных серий в исходное уравнение.

4. Типовая схема

Записать ОДЗ: подкоренное выражение $\ge0$, знаменатели $\ne0$, ограничения для $\operatorname{tg}$, $\operatorname{ctg}$.
Если уравнение имеет вид $A(x)\cdot\sqrt{B(x)}=0$, оно распадается на совокупность $A(x)=0$ и $\sqrt{B(x)}=0$; корни $A(x)=0$ обязаны удовлетворять ОДЗ — условию $B(x)\ge0$.
Если корень стоит отдельно, уединить его и возвести в квадрат, записав условие неотрицательности правой части; либо сделать замену $t=\sqrt{\dots}$, $t\ge0$.
Решить получившееся тригонометрическое уравнение (квадратное, однородное, разложение на множители).
Исключить посторонние серии: проверить условие $g(x)\ge0$ и ОДЗ на окружности или подстановкой.

5. Отбор корней

Корни проверяют по ограничениям и по отрезку одновременно. Основные способы:

Окружность. Отметьте серии корней, дугу ОДЗ (где подкоренное выражение неотрицательно) и отрезок из условия. Подходят точки, которые лежат и на допустимой дуге, и на выделенной дуге отрезка.
Подстановка. Подставьте корни в ограничение: так, из серий $x=\pm\dfrac\pi3+2\pi k$ условие $\sin x+\cos x>0$ оставляет только $x=\dfrac\pi3+2\pi k$.
Двойное неравенство. Для серий $x=x_0+Tk$ и отрезка $[a;b]$ решите $a\le x_0+Tk\le b$ относительно целого $k$.
Отбор неравенством. Найденные корни проверяют на выполнение заданного явно или неявно неравенства (например, $g(x)\ge0$).

Проверяйте каждую серию и все целые значения параметра, не останавливаясь на первом подходящем корне.

Лайфхак 1. Нужно ли условие $g(x)\ge0$? Можно не решать неравенство полностью, а проверять его только для найденных серий: подставьте серию в $g(x)$ и посмотрите на знак (например, по четверти).

Лайфхак 2. Квадрат с модулем. $\sqrt{\sin^2x}=|\sin x|$: раскрывайте модуль по знаку синуса.

Лайфхак 3. Замена $t=\sqrt{\dots}$, $t\ge0$ даёт квадратное уравнение; корни $t<0$ отбрасывайте сразу.

Типичные ошибки.

Возведение в квадрат без проверки: появляются посторонние корни.
Пропуск условия подкоренного выражения $\ge0$ для корней, найденных из другого множителя.
Ошибки в знаках при отборе серий по неравенству на окружности.

Разобранные примеры

Пример 1

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: корень из 2 косинус x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: минус 5 синус x конец аргумента конец дроби =0.$

б)  Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение

а)  Имеем:

$дробь: числитель: корень из 2 косинус x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: минус 5 синус x конец аргумента конец дроби =0 равносильно система выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби , синус x меньше 0, конец системы . равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$ Получим корни (см. рис.): $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n:n принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Пример 2

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка синус левая круглая скобка 3 Пи минус 2x правая круглая скобка конец аргумента = минус тангенс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение

а)  Преобразуем уравнение:

$корень из: начало аргумента: 2 тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка синус левая круглая скобка 3 Пи минус 2x правая круглая скобка конец аргумента = минус тангенс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби равносильно 2\ctg x синус 2x=3 равносильно$

$равносильно система выражений 4 косинус в квадрате x=3, синус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x не равно 0 конец системы . равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Получим $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источники

«Решение иррациональных уравнений. Подготовка к ЕГЭ», урок для 11 класса, infourok.ru
«Методические рекомендации по изучению темы “Иррациональные уравнения”», naurok.com.ua
«Отбор корней в тригонометрических уравнениях», статья, Казанский федеральный университет (kpfu.ru)
«Отбор корней в тригонометрических уравнениях», лекция, uoirbitmo.ru
«Тригонометрия: теория» (конспект по тригонометрии для ЕГЭ), Школково (shkolkovo.online)
Методические материалы для предметных комиссий субъектов РФ по проверке заданий ЕГЭ с развёрнутым ответом, математика, ФИПИ, 2024

У1
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x плюс синус x минус 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 тангенс x конец аргумента =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У2
а)  Решите уравнение: $левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: минус косинус x конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$
У3
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка корень из 2 синус в квадрате x плюс косинус x минус корень из 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: минус 6 синус x конец аргумента =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У4
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: косинус 2x плюс синус x, знаменатель: корень из: начало аргумента: синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента конец дроби =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 7 Пи правая квадратная скобка .$
У5
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 синус x конец аргумента конец дроби =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У6
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: синус x умножить на косинус x конец аргумента = косинус x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У7
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 1 минус 3 тангенс в квадрате x правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 7 синус x конец аргумента =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У8
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка конец аргумента умножить на косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$
У9
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 4 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка плюс 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: синус x конец аргумента конец дроби =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; 4 Пи правая квадратная скобка .$
У10
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: синус в квадрате x плюс 3 синус x минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента = минус косинус x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$
У11
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка косинус 2x плюс 3 синус x минус 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: косинус x минус синус x конец аргумента = 0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .$
У12
а)  Решите уравнение $синус x умножить на корень из: начало аргумента: 3 минус тангенс в квадрате дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента минус косинус x=2.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 17; 2 правая квадратная скобка .$
У13
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: косинус 2x минус синус в кубе x плюс 3 конец аргумента = синус x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка дробь: числитель: 73 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 41 Пи правая квадратная скобка .$
У14
а)  Решите уравнение $синус x= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$
У15
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: синус x минус косинус x конец аргумента умножить на левая круглая скобка косинус x плюс косинус 2x правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У16
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: косинус 2x минус синус 5x конец аргумента = минус 2 косинус x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; 4 Пи правая квадратная скобка .$
У17
а)  Решите уравнение $косинус x плюс корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка конец аргумента =0.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$
У18
а)  Решите уравнение $2 логарифм по основанию 4 в квадрате левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус x в квадрате плюс 21= левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 25 минус x в квадрате конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс 7 логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$
У19
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента минус левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка синус x конец аргумента =2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$
У20
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 4 косинус в квадрате x плюс 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 4 синус в квадрате x плюс 8 конец аргумента = 6.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У21
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 49 Пи в квадрате минус x в квадрате конец аргумента = 0.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [20; 25].
У22
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 2x в кубе минус 3x в квадрате плюс 6x конец аргумента умножить на косинус x = 0.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 10; корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента правая квадратная скобка .$
У23
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x плюс 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: синус x конец аргумента =0.$
б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$
У24
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 3 тангенс в квадрате x минус 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: минус 5 косинус x конец аргумента =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 Пи ; правая квадратная скобка .$
У25
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 3 тангенс в квадрате x минус 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 7 косинус x конец аргумента =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 6 Пи правая квадратная скобка .$

Д1
а)  Решите уравнение: $левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: минус синус x конец аргумента минус 1 правая круглая скобка =0.}$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д2
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка тангенс в квадрате x минус 3 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 11 косинус x конец аргумента =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$
Д3
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 6 синус в квадрате x плюс 5 синус x минус 4 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: минус 7 косинус x конец аргумента =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи правая квадратная скобка .$
Д4
a)  Решите уравнение $левая круглая скобка синус 2x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: минус 2\ctg x конец аргумента правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$
Д5
а)  Решите уравнение $синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 2 косинус x минус 2 косинус в кубе x конец аргумента = 0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д6
а)  Решите уравнение $2 синус 2x минус синус x умножить на корень из: начало аргумента: 2\ctg x конец аргумента =1.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .$
Д7
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: минус 6 синус x конец аргумента =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д8
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 синус конец аргумента в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус x правая круглая скобка = минус синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 5 косинус x.$
б)  Укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку $совокупность выражений минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;2 Пи конец совокупности правая квадратная скобка .$
Д9
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка конец аргумента = минус косинус x плюс 8 синус левая круглая скобка x минус Пи правая круглая скобка .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$
Д10
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: синус конец аргумента в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x плюс 1= косинус x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$
Д11
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: \ctg x конец аргумента левая круглая скобка синус в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$
Д12
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: синус x минус косинус x конец аргумента левая круглая скобка \ctg x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$
Д13
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: синус в квадрате 0,5x плюс 2 синус 0,5x плюс 1 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 4 синус 0,5x минус 6 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = минус 2,5.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д14
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка тангенс в квадрате x минус 3 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 18 косинус x конец аргумента =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 4 Пи ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д15
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 4 косинус 2x минус 2 синус 2x конец аргумента =2 косинус x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$
Д16
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: тангенс x минус 1 конец аргумента умножить на левая круглая скобка 3 косинус x плюс косинус 2x плюс 2 правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д17
а)  Решите уравнение $синус в кубе x умножить на левая круглая скобка 1 плюс \ctg x правая круглая скобка плюс косинус в кубе x умножить на левая круглая скобка 1 плюс тангенс x правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: синус x умножить на косинус x конец аргумента .$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 7 Пи правая квадратная скобка .$
Д18
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 4 синус в квадрате x плюс 12 косинус x минус 9, знаменатель: корень из: начало аргумента: минус 2 тангенс x конец аргумента конец дроби =0.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус Пи правая квадратная скобка .$
Д19
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 косинус в квадрате x минус 4 косинус x плюс 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: косинус x плюс 6 конец аргумента .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; \; 5 Пи правая квадратная скобка .$
Д20
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: левая круглая скобка синус 3 x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 9 синус в квадрате 3 x минус 24 синус 3 x плюс 16 конец аргумента = минус 4.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$
Д21
а)  Решите уравнение: $корень из: начало аргумента: 12 синус x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби косинус 2x плюс дробь: числитель: 17, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4 синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус в квадрате x.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$
Д22
а)  Решите уравнение $2 синус левая круглая скобка 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 1 плюс 8 синус 2x косинус в квадрате 2x конец аргумента .$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; 2 Пи правая квадратная скобка .$
Д23
Решите уравнение $левая круглая скобка синус 2x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 3 тангенс x конец аргумента правая круглая скобка =0.$
Д24
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x плюс синус x минус 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 тангенс x конец аргумента =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д25
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 4 косинус в квадрате x плюс 9 косинус x плюс 6 конец аргумента = корень из: начало аргумента: косинус x плюс 11 конец аргумента .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; \; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Уравнение	Равносильная система
\(\sqrt{f(x)}=g(x)\)	\(g(x)\ge0\) и \(f(x)=g^2(x)\)
\(\sqrt[n]{f(x)}=g(x)\), \(n\) чётное	\(g(x)\ge0\) и \(f(x)=g^n(x)\)
\(\sqrt[n]{f(x)}=g(x)\), \(n\) нечётное	\(f(x)=g^n(x)\)