Задание 14 · Уравнение с отбором корней

14.11. Тригонометрия и логарифмы

Для репетитора: показать ответы

1. Что это за уравнения

В таких уравнениях тригонометрическая функция стоит внутри логарифма (например, $\log_{4}(4\sin x)$, $\lg\cos x$) или в его основании (например, $\log_{\sin x}\dots$). Нужны две теории: логарифмы (ОДЗ, свойства, методы) и тригонометрия (серии корней, отбор).

2. Логарифм: главное

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $a^{\log_{a}b}=b$.

Свойство ($a>0,\ a\ne1,\ x>0,\ y>0$)	Формула
Логарифм единицы и основания	$\log_{a}1=0$, $\log_{a}a=1$
Произведение	$\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$
Частное	$\log_{a}\dfrac xy=\log_{a}x-\log_{a}y$
Степень	$\log_{a}x^p=p\log_{a}x$
Новое основание	$\log_{a}x=\dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$

3. ОДЗ — обязательный первый шаг

Аргумент логарифма строго положителен: для $\log_{a}(\cos x)$ нужно $\cos x>0$; для $\log_{4}(4\sin x)$ нужно $\sin x>0$.
Основание положительно и не равно 1: для $\log_{\sin x}\dots$ нужно $\sin x>0$ и $\sin x\ne1$.
Условия ОДЗ решают тригонометрически: $\sin x>0$ — верхняя полуокружность, $\cos x>0$ — правая полуокружность (эти же неравенства решают по алгоритму: значение на линии синусов или косинусов, дуга, период).
Корни, не попавшие в ОДЗ, отбрасывают. Если ОДЗ найти трудно, можно подставить корни в исходное уравнение.

4. Методы

Метод	Суть
По определению	$\log_{a}f(x)=b\Rightarrow f(x)=a^b$
Потенцирование	$\log_{a}u=\log_{a}v$, $u>0$, $v>0$ $\Rightarrow u=v$
Замена	$t=\log_{a}f(x)$, решаем квадратное уравнение, возвращаемся к $x$
Одно основание	по формуле перехода переводим все логарифмы к одному основанию
Разложение на множители	приводим к виду $A\cdot B=0$

Типичная схема: замена $u=\log_{4}(4\sin x)$ даёт квадратное уравнение, например $2u^2-5u+2=0$ с корнями $u=2$ и $u=\dfrac12$. Из $u=2$ получаем $4\sin x=16$, то есть $\sin x=4$ — решений нет. Из $u=\dfrac12$ получаем $\sin x=\dfrac12$, что удовлетворяет ОДЗ ($\sin x>0$).

После логарифмирования или потенцирования всегда получается тригонометрическое уравнение: решайте его так же, как обычное (квадратное, однородное, разложение на множители), а затем сверяйте серии с ОДЗ.

5. Отбор корней

Окружность. Отметьте серии, дугу ОДЗ (например, верхняя полуокружность для $\sin x>0$), концы отрезка. Годятся точки на пересечении всех условий.
Подстановка. Подставьте корни в ограничения: так, из $\cos x=\dfrac12$ получаем $x=\pm\dfrac\pi3+2\pi k$, а условие $\sin x>0$ оставляет только $x=\dfrac\pi3+2\pi k$.
Двойное неравенство для серии $x=x_0+Tk$ и отрезка $[a;b]$: $a\le x_0+Tk\le b$.

Проверяйте каждую серию и все целые значения параметра.

Лайфхак 1. ОДЗ — до решения. Запишите $\sin x>0$ (или $\cos x>0$) в самом начале: тогда половина серий отпадёт без вычислений.

Лайфхак 2. Невозможное значение отпадает сразу. Если после замены получилось $\sin x=4$, эта ветвь решений не даёт: $|\sin x|\le1$.

Лайфхак 3. Уравняйте основания и разложите на множители. Если есть логарифмы с разными основаниями, переведите их к одному ($\log_{2}x=2\log_{4}x$) и сгруппируйте слагаемые: произведение распадается на простейшие уравнения.

Типичные ошибки.

Переход от $\log_{a}u=\log_{a}v$ к $u=v$ без проверки $u>0$, $v>0$ — посторонние корни.
Не проверена ОДЗ после замены и потенцирования.
Ошибка в ОДЗ или в простейшем логарифмическом уравнении — не вычислительная ошибка, она лишает баллов.

Разобранные примеры

Пример 1

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 2 синус 2x плюс логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac12 правая круглая скобка косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение

а)  Преобразуем уравнение:

$логарифм по основанию 2 синус 2x плюс логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac12 правая круглая скобка косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x косинус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно система выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений 2 синус x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , косинус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x больше 0 конец системы . равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходит число  $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Пример 2

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x минус синус x плюс 1 правая круглая скобка =2.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение

а)  Заметим, что $0 меньше синус x меньше 1.$ При этом условии исходное уравнение равносильно следующим:

$косинус 2x минус синус x плюс 1= синус в квадрате x равносильно 3 синус в квадрате x плюс синус x минус 2=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . \underset 0 меньше синус x меньше 1 \mathop равносильно синус x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно совокупность выражений x= арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= Пи минус арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходит $Пи минус арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи минус арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $Пи минус арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Источники

«Математика. Решение логарифмических уравнений», методическая разработка, mpk.brstu.ru, 2021
«Решение логарифмических уравнений. Нестандартные приёмы решения», урок и презентация для 11 класса, infourok.ru
«Методы решения уравнений для ЕГЭ: шпаргалка по тригонометрии», Школково (shkolkovo.online)
Сборник задач «Тригонометрические уравнения», mathus.ru
«Отбор корней в тригонометрических уравнениях», лекция, uoirbitmo.ru
Методические материалы для предметных комиссий субъектов РФ по проверке заданий ЕГЭ с развёрнутым ответом, математика, ФИПИ, 2024

У1
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 2 косинус в квадрате x минус корень из 3 косинус x, знаменатель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка конец дроби =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби Пи правая квадратная скобка .$
У2
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x плюс 2 правая круглая скобка умножить на \log _11 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У3
а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус синус 2x правая круглая скобка =x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У4
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 косинус x минус корень из 3 конец дроби =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$
У5
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус 4 косинус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус 16 косинус в степени 4 x правая круглая скобка =2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус 4 косинус в квадрате x правая круглая скобка конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$
У6
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x минус 6 косинус в квадрате x минус 2 правая круглая скобка =x.$
б)  Найдите решения уравнения из отрезка $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$
У7
а)  Решите уравнение $\log _2 синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка плюс \log _2 синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = минус 1.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У8
а)  Решите уравнение $2 логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 8 синус x минус корень из 3 правая круглая скобка минус 7 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 синус x минус корень из 3 правая круглая скобка плюс 6=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У9
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 2 синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = минус 1.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У10
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: синус 2x умножить на косинус 2x плюс 2 синус 2x, знаменатель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У11
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 синус 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка синус x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 синус 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка =0,25.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 2,25 Пи ; 4,5 Пи правая квадратная скобка .$
У12
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка синус x минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка , знаменатель: косинус левая круглая скобка \dfrac Пи 2 минус x правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка 3 Пи минус x правая круглая скобка конец дроби =0.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 5 Пи правая квадратная скобка .$
У13
а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс 2 синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка =4.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У14
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс синус 2x плюс 16 правая круглая скобка =2.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи , минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У15
а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию левая круглая скобка 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x минус 6 косинус в квадрате x минус 2 правая круглая скобка =x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У16
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 косинус x плюс корень из 3 конец дроби =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У17
a)  Решите уравнение $логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка плюс 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x минус 6 косинус в квадрате x минус 2 правая круглая скобка = x .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У18
а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка =4.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$
У19
а)  Решите уравнение $2\log в квадрате _2 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 9 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка плюс 4=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У20
а)  Решите уравнение $2\log в квадрате _2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка минус 5 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка плюс 2=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$
У21
а)  Решите уравнение $2\log в квадрате _3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 5 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка плюс 2=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У22
а)  Решите уравнение $2\log в квадрате _0,75 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 3 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,75 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 2=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .$
У23
а)  Решите уравнение: $3 логарифм по основанию 8 в квадрате левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 5 логарифм по основанию 8 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 2=0$
б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$
У24
а)  Решите уравнение: $2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 5 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 3=0$
б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У25
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус x плюс синус 2x плюс 16 правая круглая скобка = 2.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Д1
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x плюс синус 2x плюс 8 правая круглая скобка =3.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,3 Пи правая квадратная скобка .$
Д2
а)  Решите уравнение $2 логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 5 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка плюс 2=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д3
а)  Решите уравнение $2\log в квадрате _2 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 9 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка плюс 4=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д4
а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x минус 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x минус 8 правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д5
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: левая круглая скобка тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 47 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x правая круглая скобка конец дроби =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$
Д6
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 плюс 2x минус x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x, знаменатель: синус 3x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 плюс 2x минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д7
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка {2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус синус 2x правая круглая скобка = x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д8
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка =2.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д9
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка конец дроби =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д10
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,8 косинус x правая круглая скобка =0.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 6 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$
Д11
а)  Решите уравнение $косинус в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка x плюс синус в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка синус x правая круглая скобка синус в квадрате x.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 5 Пи ; 7 Пи правая квадратная скобка .$
Д12
а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка =4.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д13
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,8 косинус x правая круглая скобка =0.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 6 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$
Д14
а)  Решите уравнение $2\log в квадрате _4 левая круглая скобка 4 косинус x правая круглая скобка минус 7 логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 4 косинус x правая круглая скобка плюс 3=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$
Д15
а)  Решите уравнение $2\log в квадрате _0,5 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка плюс 7 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка плюс 3=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$
Д16
a)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2 x минус 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x минус 8 правая круглая скобка =0 .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д17
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 2 синус 2x плюс логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac12 правая круглая скобка косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$
Д18
а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка косинус x минус синус 2x плюс 25 правая круглая скобка =2.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи , дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д19
a)  Решите уравнение: $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус синус 2 x правая круглая скобка = x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д20
а)  Решите уравнение $\log _3 левая круглая скобка синус 2x плюс косинус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка =2.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д21
a)  Решите уравнение $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 синус в квадрате x правая круглая скобка =x$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .$
Д22
а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 корень из 3 синус x минус косинус 2x минус 10 правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$
Д23
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 9 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 2 синус x плюс синус 2x плюс 9 правая круглая скобка = 1.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$
Д24
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 3 косинус x плюс синус 2x плюс 6 правая круглая скобка = 1.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д25
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 7 левая круглая скобка корень из 3 косинус x минус синус 2x плюс 49 правая круглая скобка = 2.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; \; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Свойство (\(a>0,\ a\ne1,\ x>0,\ y>0\))	Формула
Логарифм единицы и основания	\(\log_{a}1=0\), \(\log_{a}a=1\)
Произведение	\(\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y\)
Частное	\(\log_{a}\dfrac xy=\log_{a}x-\log_{a}y\)
Степень	\(\log_{a}x^p=p\log_{a}x\)
Новое основание	\(\log_{a}x=\dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}\)

Метод	Суть
По определению	\(\log_{a}f(x)=b\Rightarrow f(x)=a^b\)
Потенцирование	\(\log_{a}u=\log_{a}v\), \(u>0\), \(v>0\) \(\Rightarrow u=v\)
Замена	\(t=\log_{a}f(x)\), решаем квадратное уравнение, возвращаемся к \(x\)
Одно основание	по формуле перехода переводим все логарифмы к одному основанию
Разложение на множители	приводим к виду \(A\cdot B=0\)