Задание 14 · Уравнение с отбором корней

14.12. Тригонометрия и показательные выражения

Для репетитора: показать ответы

1. Что это за уравнения

Тригонометрическая функция стоит в показателе степени, например $9^{\sin x}$, $4^{\cos x}$, $2^{\operatorname{tg}x}$. Решение складывается из теории показательных уравнений (свойства степеней, замена с условием $t>0$) и тригонометрии (простейшие уравнения, серии, отбор).

2. Показательные уравнения: главное

Основание степени: $a>0$, $a\ne1$. Уравнение $a^{f(x)}=b$ при $b\le0$ решений не имеет, при $b>0$ эквивалентно $f(x)=\log_{a}b$. Если основания равны, $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$.

$a^{x+k}=a^x\cdot a^k$, $a^{2x}=(a^x)^2$, $a^{-x}=\dfrac1{a^x}$.
Показательная функция принимает только положительные значения: $a^{f(x)}>0$.

Методы

Метод	Суть
Одно основание	приводим обе части к степени одного числа и приравниваем показатели
Вынесение общего множителя	степени со сдвинутыми показателями: выносим наименьшую
Замена переменной	$t=a^{f(x)}$, $t>0$: квадратное (или кубическое) уравнение
Деление на степень	для однородных уравнений с разными основаниями
Группировка	степени с одним основанием собираем вместе

3. Показательные уравнения с тригонометрией

Показатель — тригонометрическое выражение. Схема решения:

Привести к показательному уравнению относительно $a^{\sin x}$ (или $a^{\cos x}$, $a^{\operatorname{tg}x}$); если основания разные, но связаны ($9=3^2$, $4=2^2$), записать через одно основание.
Заменить $t=a^{\sin x}$ и решить алгебраическое уравнение. Обязательное условие: $t>0$.
Вернуться к $x$: $a^{\sin x}=t_0\Rightarrow\sin x=\log_{a}t_0$. Для синуса и косинуса значение правой части должно лежать в $[-1;1]$; иначе решений нет.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Например, $9^{\sin x}+9^{-\sin x}=\dfrac{10}{3}$: при $t=9^{\sin x}>0$ получаем $t+\dfrac1t=\dfrac{10}3$, то есть $3t^2-10t+3=0$, $t=3$ или $t=\dfrac13$. Отсюда $9^{\sin x}=3\Rightarrow\sin x=\dfrac12$ и $9^{\sin x}=\dfrac13\Rightarrow\sin x=-\dfrac12$.

4. Простейшие тригонометрические уравнения (напоминание)

Уравнение	Решение
$\sin x=a$, $\|a\|\le1$	$x=\arcsin a+2\pi k$ и $x=\pi-\arcsin a+2\pi k$
$\cos x=a$, $\|a\|\le1$	$x=\pm\arccos a+2\pi k$
$\operatorname{tg}x=a$	$x=\operatorname{arctg}a+\pi k$
$\operatorname{ctg}x=a$	$x=\operatorname{arcctg}a+\pi k$

5. Отбор корней на отрезке

Перебор. Подставляйте целые значения параметра в формулы корней и проверяйте попадание в отрезок.
Двойное неравенство. Для $x=x_0+Tk$ решайте $a\le x_0+Tk\le b$ относительно целого $k$; удобно при больших отрезках и нетабличных значениях арксинуса и арктангенса.
Окружность. Отметьте серии и концы отрезка, выделите дугу.
График простейшей тригонометрической функции.

Проверяйте каждую серию. Если уравнение содержит $\operatorname{tg}x$ в показателе, ОДЗ $\cos x\ne0$ нужно учесть и при отборе.

Лайфхак 1. Взаимно обратные степени. Если в уравнении есть $a^{f}$ и $a^{-f}$, замена $t=a^{f}$ сводит уравнение к виду $t+\dfrac1t=c$, то есть к квадратному $t^2-ct+1=0$.

Лайфхак 2. Ограниченность тригонометрической функции. Так как $|\sin x|\le1$, после замены обратно ищите $\sin x=\log_{a}t_0$ и проверяйте, лежит ли число в $[-1;1]$.

Лайфхак 3. Приведите основания к одному. Если встречаются $4^{\cos x}$ и $2^{\cos x}$, перейдите к основанию 2: $4^{\cos x}=\left(2^{\cos x}\right)^2$.

Типичные ошибки.

После замены $t=a^{f(x)}$ оставить корень $t\le0$: показательная функция положительна.
Неучёт ограничений $|\sin x|\le1$, $|\cos x|\le1$ после возврата к $x$.
Деление обеих частей на выражение с переменной, которое может обращаться в ноль.

Разобранные примеры

Пример 1

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи , дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение

а)  Пусть $t= левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка ,$ тогда исходное уравнение запишется в виде $t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби =2 равносильно t=1.$ Тогда

$левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =1 равносильно синус x=0 равносильно x= Пи n,n принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи , дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Получим числа: $2 Пи ,3 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи n:n принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $2 Пи ;3 Пи .$

Пример 2

а)  Решите уравнение: $36 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка = 6 в степени левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение

а)  Перейдем к одному основанию:

$36 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка = 6 в степени левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка равносильно 36 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка = 36 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка равносильно синус 2x = синус x равносильно 2 синус x косинус x = синус x равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус x = 0, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходит число  $минус 3 Пи .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус 3 Пи .$

Источники

«Показательные уравнения», статья в журнале «Урок», urok.1sept.ru («Первое сентября»)
«Методы решения уравнений для ЕГЭ: шпаргалка по тригонометрии» (замена в показательных и кубических уравнениях), Школково (shkolkovo.online)
Сборник задач «Тригонометрические уравнения», mathus.ru
Сборник задач по уравнениям и неравенствам, abiturient.ru, 2020
«Отбор корней в тригонометрических уравнениях», статья, Казанский федеральный университет (kpfu.ru)
Методические материалы для предметных комиссий субъектов РФ по проверке заданий ЕГЭ с развёрнутым ответом, математика, ФИПИ, 2024

У1
а)  Решите уравнение $10 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи правая квадратная скобка .$
У2
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 27 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = 3 в степени левая круглая скобка \tfrac3 косинус x правая круглая скобка 2.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У3
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка =2.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У4
а)  Решите уравнение $5 в степени левая круглая скобка 2 синус 2x правая круглая скобка }= левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка }}.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$
У5
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 9 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка 2 корень из 2 синус x правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 11 синус x конец аргумента конец дроби =0.$
б)  Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;5 Пи правая квадратная скобка .$
У6
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =1.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У7
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 32 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 3 Пи правая квадратная скобка .$
У8
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 1 плюс синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3 минус косинус 2x правая круглая скобка = левая круглая скобка синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 синус x правая круглая скобка .$
б)  Найдите корни этого уравнения, по абсолютной величине не превышающие $1,5 Пи .$
У9
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 плюс корень из 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка } минус 1 = 0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2 правая квадратная скобка .$
У10
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка \ctg x умножить на косинус 3x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус косинус 4x минус синус 3x правая круглая скобка .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$
У11
а)  Решите уравнение $1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка \ctg x правая круглая скобка конец дроби =4 умножить на 9 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: косинус левая круглая скобка x минус \tfrac Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$
У12
а)  Решите уравнение $36 в степени левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка плюс 16 умножить на 4 в степени левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка =24 умножить на 12 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$
У13
а)  Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка синус левая круглая скобка \tfrac Пи правая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У14
а)  Решите уравнение $16 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 1,5 умножить на 4 в степени левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 5 Пи ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У15
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 25 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи правая квадратная скобка .$
У16
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 3=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; 4 Пи правая квадратная скобка .$
У17
а)  Решите уравнение: $7 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка = 49 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У18
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 2 корень из 3 синус x правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 синус x конец аргумента конец дроби =0.$
б)  Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 5 Пи правая квадратная скобка$
У19
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$
У20
а)  Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 9 в степени левая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$
У21
а)  Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 9 в степени левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У22
а)  Решите уравнение $16 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 синус 2x правая круглая скобка .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У23
а)  Решите уравнение: $9 умножить на 81 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 28 умножить на 9 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 3=0.$
б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .$
У24
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 81 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$
У25
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i2 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 3 в степени левая круглая скобка 2 синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Д1
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка , знаменатель: 9 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка конец дроби =4 в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус косинус x правая круглая скобка .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д2
а)  Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 9 в степени левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $совокупность выражений минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 Пи конец совокупности правая квадратная скобка .$
Д3
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка =9 в степени левая круглая скобка 2 синус 2x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи , минус 2 Пи правая квадратная скобка .$
Д4
а)  Решите уравнение $2 в степени 4 косинус x плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 10=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д5
а)  Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =3.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$
Д6
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 4, знаменатель: синус x плюс 1 конец дроби =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;7 Пи правая квадратная скобка .$
Д7
а)  Решите уравнение $256 в степени левая круглая скобка синус x умножить на косинус x правая круглая скобка минус 18 умножить на 16 в степени левая круглая скобка синус x умножить на косинус x правая круглая скобка плюс 32=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;6 Пи правая квадратная скобка .$
Д8
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 16 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 4 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента минус 1 конец дроби =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$
Д9
а)  Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка минус косинус 2x правая круглая скобка плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$
Д10
а)  Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка 4 синус в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x правая круглая скобка =18.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д11
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x плюс \tfrac12 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс \tfrac12 правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: синус x плюс синус 2x конец дроби =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д12
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 2022 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка минус 2022 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: минус 2021 синус x конец аргумента конец дроби =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д13
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .$
Д14
а)  Решите уравнение $12 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = 4 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 4 Пи правая квадратная скобка .$
Д15
а)  Решите уравнение
$4 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $совокупность выражений дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;4 Пи конец совокупности правая квадратная скобка .$
Д16
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 49 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =7 в степени левая круглая скобка 2 синус 2x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,3 Пи правая квадратная скобка .$
Д17
а)  Решите уравнение: $8 умножить на 16 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 6 умножить на 4 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 1=0$
б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$
Д18
а)  Решите уравнение $3 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =4.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д19
а)  Решите уравнение $3 в степени левая круглая скобка 2 синус в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка =12.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .$
Д20
а)  Решите уравнение $15 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д21
а)  Решите уравнение
$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 3 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 4=0$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 4 Пи , 7 Пи правая квадратная скобка .$
Д22
а)  Решите уравнение: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = 9 в степени левая круглая скобка 2 синус 2x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–⁠3π; –⁠2π].
Д23
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 25 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка минус 25 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 синус x конец аргумента конец дроби = 0.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д24
а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д25
а)  Решите уравнение: $81 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 12 умножить на 9 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 27=0.$
б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Уравнение	Решение
\(\sin x=a\), \(\|a\|\le1\)	\(x=\arcsin a+2\pi k\) и \(x=\pi-\arcsin a+2\pi k\)
\(\cos x=a\), \(\|a\|\le1\)	\(x=\pm\arccos a+2\pi k\)
\(\operatorname{tg}x=a\)	\(x=\operatorname{arctg}a+\pi k\)
\(\operatorname{ctg}x=a\)	\(x=\operatorname{arcctg}a+\pi k\)