Задание 14 · Уравнение с отбором корней

14.13. Другие уравнения смешанного типа

Для репетитора: показать ответы

1. Общий подход к уравнениям смешанного типа

В уравнении смешанного типа одновременно встречаются функции разных видов: степени, логарифмы, корни, модули, тригонометрия. Единой формулы нет, но порядок действий один:

Записать ОДЗ для каждой части: знаменатели $\ne0$, подкоренные выражения чётных корней $\ge0$, аргументы логарифмов $>0$, основания логарифмов $>0$ и $\ne1$, аргументы $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ с учётом $\cos x\ne0$, $\sin x\ne0$.
Преобразовать уравнение к знакомому виду: одинаковые основания, одна функция, произведение вида $A\cdot B=0$, квадратное относительно новой переменной.
Решить каждое получившееся простейшее уравнение.
Проверить корни по ОДЗ и отобрать принадлежащие отрезку.

2. Замена переменной

Если одна и та же функция $f(x)$ входит в уравнение многократно, вводят $t=f(x)$. Тип функции определяет ограничение на $t$:

Функция $f(x)$	Ограничение на $t$
$a^x$ (или $a^{\sin x}$ и т. п.)	$t>0$
$\sqrt{x+3}$ и другие корни чётной степени	$t\ge0$
$\sin x$, $\cos x$	$-1\le t\le1$
$\log_{a}x$	ограничений на $t$ нет (но $x>0$)
$\operatorname{tg}x$, $\operatorname{ctg}x$	ограничений на $t$ нет (но учтите ОДЗ по $x$)

Если после замены получается кубическое уравнение вида $at^3+bt^2+ct+d=0$, корень подбирают среди делителей свободного члена, а многочлен делят на $(t-t_0)$ и раскладывают на множители. Корни, не удовлетворяющие ограничению из таблицы, отбрасывают.

3. Разложение на множители

В уравнениях с логарифмами и тригонометрией часто помогает группировка: после уравнивания оснований ($\log_{2}x=2\log_{4}x$) выражение вида $\log_{4}x\cdot\log_{3}(x+2)-2\log_{4}x+\log_{3}(x+2)-2$ раскладывается в произведение $\left(\log_{4}x+1\right)\left(\log_{3}(x+2)-2\right)$, после чего уравнение распадается на два простейших. Нельзя сокращать на общий множитель с неизвестной — корни теряются.

4. Модуль

По определению: $|a|=a$ при $a\ge0$ и $|a|=-a$ при $a<0$.
$|x-a|$ — расстояние между числами $x$ и $a$ на числовой прямой.
Уравнения с модулем решают разбором случаев по знаку подмодульных выражений; найденные корни проверяют на соответствие рассматриваемому случаю.
$\sqrt{a^2}=|a|$; например, $\sqrt{\sin^2x}=|\sin x|$.

5. Метод оценки (мажорирования)

Если одна часть уравнения не больше числа $M$, а другая не меньше $M$, то равенство возможно лишь когда обе части равны $M$. Тогда решают систему из двух условий.

Квадратный трёхчлен: $x^2-4x+6=(x-2)^2+2\ge2$.
Логарифм: если $4x-x^2\le4$, то $\log_{2}(4x-x^2)\le2$. Равенство в уравнении $\log_{2}(4x-x^2)=x^2-4x+6$ возможно только при $x=2$.
Тригонометрические оценки: $|\sin x|\le1$, $|\cos x|\le1$.

6. Монотонность и графики

Если одна часть уравнения возрастает, а другая убывает, у уравнения не более одного корня; его можно подобрать.
Уравнение вида $a^{f(x)}=g(x)$ можно решить графически: построить графики обеих частей, абсцисса точки пересечения — корень. Но ответ нельзя просто записать по эскизу — его нужно обосновать (например, подставить и доказать, что других корней нет).

7. Отбор корней на отрезке

Числовые корни сравнивают с концами отрезка; для корней с радикалами и логарифмами используют оценки и неравенства.
Тригонометрические серии отбирают перебором, двойным неравенством по параметру, на тригонометрической окружности или по графику.
Не забудьте исключить корни, нарушающие ОДЗ, и проверить каждую серию.
Следите за границами: неверно вычисленные границы в двойных неравенствах делают отбор необоснованным.

Лайфхак 1. Таблица ограничений на $t$. Перед обратной заменой сверьтесь с типом функции: у показательной $t>0$, у синуса и косинуса $|t|\le1$, у корня $t\ge0$.

Лайфхак 2. Когда сложно — оценка. Если левая часть ограничена сверху, а правая снизу (квадрат плюс число, модуль, синус и косинус), проверьте метод оценки.

Лайфхак 3. Одно основание — одна функция. Приведите все логарифмы (или все степени) к одному основанию: тогда уравнение превращается в квадратное или распадается на множители.

Типичные ошибки.

Забыть ОДЗ у какой-то из частей уравнения и оставить посторонний корень.
После замены не учесть ограничение на новую переменную.
Записать ответ по графику без обоснования.
Ошибка в ОДЗ или простейшем логарифмическом уравнении — не вычислительная, она лишает баллов.

Разобранные примеры

Пример 1

Решите уравнение $cosx+ cos(5x)= 2.$

Решение

$({ cosx + cos(5x)= 2 ⇐|c=o=s=x|=≤=1,= |=c=os=(==5x=)=|≤=1⇒ cosx = 1 ⇔ ( cos(5x)= 1 ( ⇔ { x= 2πn , n∈ ℤ ⇔ |x=-2πn,-n∈-ℤ-| ( 5x= 2πn --------------|$

Пример 2

Решите уравнение $( π) sin 4x + 2 ⋅cosx= 1.$

Решение

$( π) sin 4x+ 2 ⋅cosx = 1 cos(4x)cosx= 1$

Так как $|cos4x|≤ 1,$ $|cosx|≤ 1,$ имеем

$pict$

Источники

«Методы решения уравнений для ЕГЭ: шпаргалка по тригонометрии» (замены, кубические уравнения, разложение на множители), Школково (shkolkovo.online)
«Решение логарифмических уравнений. Нестандартные приёмы решения», урок и презентация для 11 класса, infourok.ru
«Уравнения и неравенства» (модуль, оценки, ОДЗ), вебинар к ЕГЭ, mathus.ru
«Методические рекомендации по изучению темы “Иррациональные уравнения”», naurok.com.ua
«Готовимся к ЕГЭ», методическое пособие, гимназия №9 г. Королёв (gimnazija9.edu.korolev.ru)
Методические материалы для предметных комиссий субъектов РФ по проверке заданий ЕГЭ с развёрнутым ответом, математика, ФИПИ, 2024

У1
а)  Решите уравнение $3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка минус 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 4= корень из: начало аргумента: минус x конец аргумента в квадрате минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс x в квадрате плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 6 ; логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 правая квадратная скобка .$
У2
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: синус x косинус x конец аргумента =1945 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 1945 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 6 Пи ; дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У3
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 синус x плюс корень из 2 конец аргумента умножить на логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =0.$
б)   Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$
У4
а)  Решите уравнение $7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби .$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$
У5
а) Решите уравнение $\sqrt{16-25x^2}\cdot\left(9^{3x+2}-163\cdot27^x+2\right)=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0{,}4;4\right]$.
У6
а) Решите уравнение $1+\log_5(5x^2+20)=\log_{\sqrt5}\sqrt{5x^4+30}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3{,}2;\,2{,}6\right]$.
У7
Решить уравнение

$√----------- √----------- 2015− 2016x + 2017x− 2016 = 1$
У8
Найдите сумму корней уравнения
$x + 1 = 2log (2x + 1) − 2 log (2016 − 2−x) 2 4$
У9
a) Решите уравнение
$(tg2(2x) + ctg2(2x) − 2) ⋅ arcsin(x2) = 0.$
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[− π;0 ]$ .
У10
а) Решите уравнение
$( ) ( ) 2 2π- 4-π cos(x + x) + cos x + 3 + cos x + 3 = 0$
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $[0;2]$ .
У11
Решите систему
$( |{ x + y + xy = 1 |( x + z + xz = 1 y + z + yz = 1$
У12
Решите уравнение $( ) ( ) log3 9sinx+ 9 = sin x− log1 28− 2⋅3sinx . 3$
У13
а) Решите уравнение $( ) sin x= log12 3sinx⋅4cosx .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 2π; 7π . 2$
У14
a) Решите уравнение $( √- ) log9 32x+ 5 2sinx− 6cos2x− 2 = x.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −2π;− π-. 2$
У15
a) Решите уравнение $2log22(2sinx)− 7log2(2sin x)+ 3= 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π;2π . 2$
У16
а) Решите уравнение
$log7(2cos2 x + 3cos x − 1) = 0$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 7π- − 2 ;− 2π$ .
У17
а) Решите уравнение $20cosx = 4cosx⋅5− sinx.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 9π;−3π . 2$
У18
а) Решите уравнение $(2 cos2x+ 11cosx+ 5)⋅log18(sinx)= 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;π].$
У19
а) Решите уравнение
$10sinx = 2sin x ⋅ 5− cosx$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π-;− π 2$ .
У20
а) Решите уравнение $log4(sinx +sin2x+ 16)= 2.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −4π;− 5π . 2$
У21
а) Решите уравнение $(√- ) √ - ( ) 3sinx⋅log2 2 ⋅cosx = 3⋅log4 2cos2x .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 0; 3π . 2$
У22
а) Решите уравнение $2log24(4sinx)− 5log4(4sin x)+ 2= 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 3π;0 . 2$
У23
а) Решите уравнение
$sin2x cos2x 2 + 2 = 3$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π- − 2 ;− π$ .
У24
а) Решите уравнение $sinx cosx √3sinx (49 ) = 7 .$
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π;− 3π . 2 2$
У25
а) Решите уравнение: $125sin2x = (√5)5sin2x ⋅0,2$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3π;− 2π]$ .

Д1
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x минус 7 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 плюс 2x минус x в квадрате правая круглая скобка =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 5; 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая квадратная скобка .$
Д2
а)  Решите уравнение $5 в степени левая круглая скобка 2\log в квадрате _2 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д3
а)  Решите уравнение $2024 умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в квадрате x конец аргумента правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2023.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д4
а) Решите уравнение $\sqrt{4x^2-1}\cdot\left(4^{3x+1}-26\cdot8^x+12\right)=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-1;1\right]$.
Д5
а) Решите уравнение $5^{x+\sqrt{x}-1}+6\cdot5^{x-\sqrt{x}+1}-5^{x+1}=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[1;2{,}56]$.
Д6
Решите уравнение

$( x x+1 x )2 ( x 2x+1 x )4 27 − 9 − 3 + 9 + 27 + 3 − 3 − 3 = 0$
Д7
а) Решите уравнение $( ) ( ) ( ) 6+ log2(4 cosx)⋅log2 16sin2x = log2 64cos3x +log2 256 sin4x .$
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] π- 3π − 2;2 .$
Д8
а) Решите уравнение

$(x+ 3)2 20 (x +3 2 ) ---5---+ (x+-3)2-= 8⋅ --5--− x+-3- + 1$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[−6;−4].$
Д9
Решите уравнение $5x ⋅2x+2x-= 40.$
Д10
Решить уравнение
$2 --x--- --x---- x − 4 + 2 ⋅ x2 − 4 + 3 = 0$
(Задача от подписчиков)
Д11
а) Решите уравнение $log√ -(log (2− cos2x +2sinx)cos4x) = 2. 2 sinx+1$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $[−2π;0].$
Д12
а) Решите уравнение $--14--+ ---3---= ---5--. x2− 4 (2− x)2 (x+ 2)2$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ √ --√ --] − 10; 2,3 .$
Д13
а) Решите уравнение $√- 4sin2x−-223sinx- √7sin x = 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 13π;−5π . 2$
Д14
а) Решите уравнение $9sinx+ 9sin(x+π) = 10. 3$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π ] −-2 ;− 2π .$
Д15
а) Решите уравнение $( ) log 1 2sin2x− 3cos2x+ 6 = − 2. 3$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π ] −-2 ;−2π .$
Д16
а) Решите уравнение
$( ) 36sin x − cosx = 6sinx$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 7π- − 2 ;− 2π$ .
Д17
а) Решите уравнение $log√2(sinx) ⋅log√2(− cosx)+log√2(− sinx cosx)+ 1 =0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − π;2π . 2$
Д18
а) Решите уравнение
$√- (81cosx)sinx = 9− 3 cosx$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 2π;− π- 2$ .
Д19
а) Решите уравнение $(10 cos2x− 7cosx− 6)⋅log8(− sinx)= 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$
Д20
а) Решите уравнение
$21− sinx = 3− sinx ⋅ 7cosx$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 3π-;0 . 2$
Д21
а) Решите уравнение
$( ) √- 16sinx cosx = 4 3sinx$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 9π- 3π; 2 .$
Д22
а) Решите уравнение
$(16)tgx ( 4)tgx 49 + 5⋅ 7 − 6 = 0$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π; 11π 2 2$ .
Д23
а) Решите уравнение

$(1)sin(x+π) √- π 4 =22 3sin(2−x)$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 9π ;− 3π 2$ .
Д24
a) Решите уравнение $sinx 3cosx (27cosx) = 3 2$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку $[ ] − π; π . 2$
Д25
а) Решите уравнение $( ) √- (0,25)sinx cosx =2− 2sinx.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 7π 2π;2- .$

Функция \(f(x)\)	Ограничение на \(t\)
\(a^x\) (или \(a^{\sin x}\) и т. п.)	\(t>0\)
\(\sqrt{x+3}\) и другие корни чётной степени	\(t\ge0\)
\(\sin x\), \(\cos x\)	\(-1\le t\le1\)
\(\log_{a}x\)	ограничений на \(t\) нет (но \(x>0\))
\(\operatorname{tg}x\), \(\operatorname{ctg}x\)	ограничений на \(t\) нет (но учтите ОДЗ по \(x\))