14.2. Рациональные уравнения

1. Что такое рациональное уравнение

Рациональное уравнение составлено из многочленов и дробей с многочленами; корней и других функций (тригонометрических, показательных, логарифмических) в нём нет. Если неизвестная стоит в знаменателе, уравнение называют дробно-рациональным. В задании №14 оно обычно сводится к уравнению третьей-четвёртой степени.

ОДЗ — всегда в первую очередь

• Знаменатели не равны нулю.
• Иногда ОДЗ помогает сразу понять, что решений нет, или оставляет несколько значений, которые достаточно подставить в уравнение.
• Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

2. Алгоритм для дробно-рационального уравнения

1. Найти ОДЗ.
2. Перенести всё в одну часть и привести уравнение к виду «дробь (или произведение) \(=0\)».
3. Приравнять числитель к нулю: получится целое уравнение.
4. Решить его (разложение на множители, замена, подбор корня — см. ниже).
5. Корни, при которых знаменатель обращается в ноль, отбросить.

3. Уравнения высших степеней

Для уравнений \(P_n(x)=0\) при \(n\ge3\) главная цель — путём равносильных преобразований получить в левой части произведение множителей меньшей степени, а в правой оставить ноль. Тогда каждый множитель приравнивают к нулю.

Способы разложения на множители

• вынесение общего множителя;
• группировка (например, \(x^3-3x^2+3x-9=x^2(x-3)+3(x-3)=(x-3)(x^2+3)\));
• формулы сокращённого умножения: \((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\), \((a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3\), разность квадратов, сумма и разность кубов;
• деление многочлена на многочлен («уголком» или по схеме Горнера).

Теорема Безу и подбор корня

• Теорема Безу: остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \((x-a)\) равен \(P(a)\). Поэтому число \(a\) — корень многочлена тогда и только тогда, когда \(P(x)\) делится на \((x-a)\).
• Если \(a\) — корень, то \(P(x)=(x-a)\cdot Q(x)\), где степень \(Q\) на единицу меньше: степень уравнения понижается.
• Если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень, то он является делителем свободного члена.
• Рациональный корень \(\dfrac pq\) (несократимая дробь): \(p\) — делитель свободного члена, \(q\) — делитель старшего коэффициента. Если старший коэффициент равен 1, все рациональные корни целые.
• Если множитель \((x-a)\) входит в разложение \(k\) раз, то \(a\) называют корнем кратности \(k\).

Например, у \(x^3-2x+1=0\) корень \(x=1\) находится подбором, делитель \((x-1)\) выделяется делением: \((x-1)(x^2+x-1)=0\), откуда \(x=1\) и \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}\).

Схема Горнера

Это быстрый способ делить многочлен на \((x-a)\). Коэффициенты многочлена выписывают в строку (для пропущенных степеней ставят 0), справа записывают число \(a\). Первый коэффициент сносят вниз без изменений, а каждый следующий коэффициент частного равен «предыдущий результат \(\cdot\,a\) + текущий коэффициент». Последнее число в строке — остаток; если он равен 0, то \(a\) — корень.

4. Замена переменной

Если в уравнении повторяется одно и то же выражение, его обозначают новой буквой, решают уравнение для неё и возвращаются к \(x\). Типичный случай — уравнение вида \((x+2)^4+x^4=82\): сдвиг \(t=x+1\) делает его симметричным, \((t+1)^4+(t-1)^4=2t^4+12t^2+2\), и после замены \(u=t^2\) получается квадратное уравнение. Другие способы из школьных курсов — выделение полного квадрата, понижение степени, однородные и возвратные уравнения.

5. Отбор корней

• Сначала проверьте корни по ОДЗ (знаменатель).
• Затем выберите принадлежащие отрезку: сравните каждое число с концами отрезка, учитывая, включены ли концы.
• Корни вида \(\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}\) сравнивают с границами через неравенства: оценивают значение корня, например \(2<\sqrt5<3\).

Разобранные примеры