Задание 14 · Уравнение с отбором корней

14.3. Иррациональные уравнения

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое иррациональное уравнение

Иррациональное уравнение — уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком корня (радикала), например $\sqrt{x+3}=5$.

Корень $n$-й степени

Корень $n$-й степени из $a$ — число, $n$-я степень которого равна $a$.
Если $n$ чётно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($a\ge0$), и значение корня тоже неотрицательно.
Если $n$ нечётно, подкоренное выражение может быть любым числом, корень существует всегда.
$\sqrt[n]{a^n}=|a|$ при чётном $n$ и $\sqrt[n]{a^n}=a$ при нечётном $n$.
$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$, $\sqrt[n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (для неотрицательных $a,b$ при чётном $n$).

2. Равносильные переходы

Два уравнения равносильны, если множества их корней совпадают. Если корни первого содержатся среди корней второго, то второе — следствие первого; решая следствие, можно получить посторонние корни, их нужно отсеять.

Уравнение	Равносильно
$\sqrt{f(x)}=g(x)$ (чётный корень)	система: $g(x)\ge0$ и $f(x)=g^2(x)$
$\sqrt[n]{f(x)}=g(x)$, $n$ чётное	система: $g(x)\ge0$ и $f(x)=g^n(x)$
$\sqrt[n]{f(x)}=g(x)$, $n$ нечётное	$f(x)=g^n(x)$ (дополнительных условий не нужно)

В системе условие $f(x)\ge0$ отдельно писать не нужно: оно следует из $f(x)=g^2(x)$.

3. Методы решения

Возведение в степень

Корень уединяют в одной части уравнения, затем обе части возводят в нужную степень: иррациональное уравнение превращается в рациональное. Если корней в уравнении два, действие повторяют (уединили один корень, возвели в квадрат, снова уединили оставшийся и снова возвели).

При возведении обеих частей в чётную степень возможно появление посторонних корней. Чтобы их отсечь, можно:

найти ОДЗ и отобрать корни по ней — например, корень $x=-4$ отбрасывают, если ОДЗ: $x\ge5$;
записать равносильную систему с условием $g(x)\ge0$;
подставить каждый найденный корень в исходное уравнение.

Замена переменной

Корень обозначают новой буквой: $t=\sqrt{x+3}$, причём $t\ge0$. Решают получившееся (например, квадратное) уравнение, корни $t<0$ отбрасывают, затем возвращаются к $x$: так, $t=5$ даёт $x+3=25$, $x=22$.

Метод оценки (мажорирования)

Если одна часть уравнения не больше некоторого числа, а другая не меньше, равенство возможно лишь когда обе оценки обращаются в равенство. Это помогает находить условия, при которых равенство достигается.

Монотонность

Если одна часть уравнения возрастает, а другая убывает, то уравнение имеет не более одного корня; этот корень можно подобрать.

4. ОДЗ

Подкоренное выражение чётного корня $\ge0$.
Знаменатели не равны нулю.
ОДЗ часто сразу убирает лишние корни, поэтому запишите его до преобразований.

5. Отбор корней

Проверьте найденные корни по ОДЗ и по условию $g(x)\ge0$.
Выберите корни, принадлежащие отрезку; корни со знаком радикала (например, $7-2\sqrt{11}$) сравнивайте с концами отрезка, оценивая радикал (например, $\sqrt{11}\approx3{,}32$), и обязательно проверяйте строгость неравенства.
Не забывайте проверить каждый корень, а не останавливаться на первом подходящем.

Лайфхак 1. Два пути к одному ответу. Можно решать системой с условием $g(x)\ge0$, а можно просто возвести в квадрат и сделать проверку найденных корней — выбирайте то, что проще: если условие $g(x)\ge0$ громоздкое, а корней мало, быстрее подставить их.

Лайфхак 2. Замена спасает от громоздких корней. Если под корнем и вне корня стоит одно и то же выражение, введите $t=\sqrt{\dots}$, $t\ge0$: уравнение станет квадратным.

Лайфхак 3. Не возводите в квадрат сразу. Сначала уединить корень, потом возводить — иначе выражение разрастается.

Типичные ошибки.

Возвести в квадрат и не сделать проверку или не учесть условие $g(x)\ge0$: в ответ попадают посторонние корни.
Забыть ОДЗ (подкоренное $\ge0$) и оставить корень, при котором выражение не определено.
В замене $t=\sqrt{\dots}$ оставить корень $t<0$.

Разобранные примеры

Пример 1

а) Решите уравнение $--14--+ ---3---= ---5--. x2− 4 (2− x)2 (x+ 2)2$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ √ --√ --] − 10; 2,3 .$

Решение

а) ОДЗ данного уравнения: $x ⁄=±2.$ Решим уравнение, разложив на множители знаменатели и домножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей:

$pict$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) Для найденных корней и границ указанного отрезка определим порядок на числовой прямой, используя метод оценки:

$√ -- √ -- 4 ∘ ---- ∘ --- − 4= − 16< − 10< 0< 3 < 1,5= 2,25 < 2,3.$

Таким образом, отрезку $[ √-- √--] − 10; 2,3$ принадлежит только корень $4. 3$

Пример 2

Решить уравнение

$√----------- √----------- 2015− 2016x + 2017x− 2016 = 1$

Решение

Найдем ОДЗ данного уравнения:

${ (| 2015 2015 − 2016x≥ 0 ⇔ { x≤ 2016 2017x − 2016≥ 0 |( x≥ 2016 2017$

Сравним числа $2015 2016$ и $2016 2017$ :

$2015∨ 2016 ⇔ 1− --1- ∨1− --1- ⇔ -1--∧ -1-- 2016 2017 2016 2017 2016 2017$

Тогда получаем:

$-1-- --1- 2015- 2016 2016 > 2017 ⇒ 2016 < 2017$

Значит, ОДЗ: $x∈ ∅$ .

Таким образом, уравнение не будет иметь корней, так как ни при каких $x$ не определена его левая часть.

Источники

«Решение иррациональных уравнений. Подготовка к ЕГЭ», урок для 11 класса, infourok.ru
«Методические рекомендации по изучению темы “Иррациональные уравнения”», naurok.com.ua
«Уравнения и неравенства», вебинар к ЕГЭ, mathus.ru
Методические материалы для предметных комиссий субъектов РФ по проверке заданий ЕГЭ с развёрнутым ответом, математика, ФИПИ, 2024

У1
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x в кубе минус 4x в квадрате минус 10x плюс 29 конец аргумента =3 минус x.$
б)  Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус корень из 3 ; корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента правая квадратная скобка .$
У2
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x в кубе плюс 4x в квадрате плюс 9 конец аргумента минус 3=x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка .$
У3
a)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x плюс 2 корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: x минус 2 корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента конец аргумента =2.$
б)  Определите, являются ли решениями уравнения числа 1,5 и $2 корень из 3 минус 3$

Д1
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x плюс 4 корень из: начало аргумента: x минус 4 конец аргумента конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: x минус 4 корень из: начало аргумента: x минус 4 конец аргумента конец аргумента =4.$
б)  Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 корень из 3 плюс 1; 10 правая квадратная скобка .$
Д2
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x плюс 4 конец аргумента =x в квадрате минус 4.$
б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [−2; 3].
Д3
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x плюс 6 корень из: начало аргумента: x минус 9 конец аргумента конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: x минус 6 корень из: начало аргумента: x минус 9 конец аргумента конец аргумента =6.$
б)  Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 4 корень из 7 минус 1; 19 правая квадратная скобка .$

Уравнение	Равносильно
\(\sqrt{f(x)}=g(x)\) (чётный корень)	система: \(g(x)\ge0\) и \(f(x)=g^2(x)\)
\(\sqrt[n]{f(x)}=g(x)\), \(n\) чётное	система: \(g(x)\ge0\) и \(f(x)=g^n(x)\)
\(\sqrt[n]{f(x)}=g(x)\), \(n\) нечётное	\(f(x)=g^n(x)\) (дополнительных условий не нужно)