Задание 14 · Уравнение с отбором корней

14.4. Логарифмические уравнения

Для репетитора: показать ответы

1. Логарифм и его свойства

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. Уравнение $a^x=b$ ($a>0$, $a\ne1$) при $b\le0$ решений не имеет, а при $b>0$ имеет единственное решение $x=\log_{a}b$. Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_{a}b}=b$.

Десятичный логарифм: $\lg a=\log_{10}a$; натуральный: $\ln a=\log_{e}a$.

Свойство ($a>0,\ a\ne1,\ x>0,\ y>0$)	Формула
Логарифм единицы и основания	$\log_{a}1=0$, $\log_{a}a=1$
Логарифм произведения	$\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$
Логарифм частного	$\log_{a}\dfrac xy=\log_{a}x-\log_{a}y$
Логарифм степени	$\log_{a}x^p=p\log_{a}x$
Переход к новому основанию	$\log_{a}x=\dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$

2. ОДЗ

Аргумент логарифма строго положителен.
Основание логарифма положительно и не равно 1.
Корни, не попавшие в ОДЗ, отбрасываются. Если ОДЗ найти трудно, можно проверить корни подстановкой в исходное уравнение.
Свойства логарифмов верны только при положительных аргументах: переходя, например, от $2\lg(x-1)$ к $\lg(x-1)^2$, следите за ОДЗ исходного уравнения.

3. Методы решения

Метод	Суть
По определению логарифма	$\log_{a}f(x)=b\;\Rightarrow\;f(x)=a^b$
Потенцирование	если $\log_{a}u=\log_{a}v$ и $u>0$, $v>0$, то $u=v$; сумму логарифмов сначала объединяют в один
Замена переменной	$t=\log_{a}x$ (или логарифм сложного аргумента), решаем квадратное уравнение, возвращаемся к $x$
Приведение к одному основанию	по формуле перехода переводим все логарифмы к одному основанию, приводим подобные
Логарифмирование	для уравнений вида $f(x)^{g(x)}=h(x)$ при $f(x)>0$, $h(x)>0$: логарифмируем обе части
Разложение на множители	приводим к виду $A\cdot B=0$, каждый множитель приравниваем к нулю
Вынесение общего множителя	общий логарифм выносим за скобку
Метод оценки	сравниваем области значений левой и правой частей
Графический метод	общая точка графиков левой и правой частей даёт корень

Как это выглядит

По определению: $\log_{2}(x-7)=3\Rightarrow x-7=8\Rightarrow x=15$.
Потенцирование: $\log_{3}(x+1)+\log_{3}(x+3)=\log_{3}3\Rightarrow(x+1)(x+3)=3\Rightarrow x=0$ или $x=-4$; по ОДЗ $x>-1$, значит, подходит только $x=0$.
Замена: $\log_{2}^{2}(x-1)-5\log_{2}(x-1)-6=0$; при $t=\log_{2}(x-1)$ получаем $t^2-5t-6=0$, $t=6$ или $t=-1$, откуда $x=65$ или $x=1{,}5$.
Одно основание: $\log_{2}x+\log_{4}x+\log_{8}x=11\Rightarrow\dfrac{11}{6}\log_{2}x=11\Rightarrow x=64$.
Логарифмирование: $x^{\lg x}=100x\Rightarrow\lg^2x-\lg x-2=0\Rightarrow x=0{,}1$ или $x=100$.
Метод оценки: в уравнении $\log_{2}(4x-x^2)=x^2-4x+6$ правая часть $(x-2)^2+2\ge2$, а левая не превосходит 2 (при $4x-x^2=4$). Равенство возможно только при $x=2$.

Разложение на множители

В уравнениях с несколькими логарифмами полезно уравнять основания ($\log_{2}x=2\log_{4}x$) и сгруппировать слагаемые: тогда получается произведение $\left(\log_{3}(x+2)-2\right)\left(\log_{4}x+1\right)=0$, которое распадается на два простейших уравнения. После этого корни проверяют по ОДЗ ($x>0$).

4. Отбор корней на отрезке

Сначала отбросьте корни, не входящие в ОДЗ.
Затем выберите принадлежащие заданному отрезку. Корни вида $\log_{a}b$ или выражения с ними сравнивают с концами отрезка по неравенствам, пользуясь свойствами логарифмов, а не «на глаз».
Если корень — число вида $a^b$, вычислите его и сравните с границами.
Проверьте, включены ли концы отрезка.

Лайфхак 1. ОДЗ сначала. Запишите условия на аргументы и основания до преобразований: после объединения логарифмов ОДЗ может «потеряться».

Лайфхак 2. Приведите к одному основанию. Если в уравнении $\log_{2}$, $\log_{4}$, $\log_{8}$, переходите к основанию 2 — коэффициенты просто складываются.

Лайфхак 3. Видите оценку — используйте её. Если слева логарифм, ограниченный сверху, а справа выражение, ограниченное снизу (например, квадрат плюс число), уравнение решается оценкой обеих частей.

Типичные ошибки.

Перейти от $\log_{a}u=\log_{a}v$ к $u=v$, не проверив $u>0$, $v>0$: появляются посторонние корни.
Не проверить корни по ОДЗ после замены и потенцирования.
Принять корень, при котором нарушено условие основания (например, для $\log_{x-1}16$ нужно $x-1>0$ и $x-1\ne1$).
Ошибка в ОДЗ или в простейшем логарифмическом уравнении — не вычислительная: за неё баллы снижаются сильнее, чем за арифметику.

Разобранные примеры

Пример 1

а) Решите уравнение $\log_3^3 (x-3)^2+8\log_3\dfrac{1}{x-3}+16=\log_3^2\dfrac{1}{(x-3)^4}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_{0{,}6}\dfrac{1}{6};\log_{0{,}8}\dfrac{1}{8}\right]$.

Решение

а) $3\dfrac{1}{3};\ 6;\ 12.$
б) $6$.

Пример 2

а) Решите уравнение $4\log_4^3(x+2)+16\log_{16}^2(x+2)+0{,}5\log_{0{,}5}(x+2)=1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_{0{,}4}4;\log_4 0{,}4\right]$.

Решение

а) $-1{,}75;\ -1{,}5;\ 0.$
б) $-1{,}5$.

Источники

«Математика. Решение логарифмических уравнений», методическая разработка, mpk.brstu.ru, 2021
«Решение логарифмических уравнений. Нестандартные приёмы решения», урок и презентация для 11 класса, infourok.ru
«Методы решения уравнений для ЕГЭ: шпаргалка», Школково (shkolkovo.online)
Методические материалы для предметных комиссий субъектов РФ по проверке заданий ЕГЭ с развёрнутым ответом, математика, ФИПИ, 2024

У1
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 24x правая круглая скобка =4.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 0,1; 12 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая квадратная скобка .$
У2
а)  Решите уравнение $1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате плюс 5 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 8x в степени левая круглая скобка 4 конец аргумента плюс 14 правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 1; дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби правая квадратная скобка .$
У3
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка минус 6=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 ; логарифм по основанию 2 9 правая квадратная скобка .$
У4
а)  Решите уравнение $левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x правая круглая скобка правая круглая скобка =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2,5; −1,5].
У5
a)  Решите уравнение $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в кубе плюс 6 x в квадрате минус 3 x минус 19 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 100; логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 0,3 правая квадратная скобка .$
У6
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка =1.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 0,2; логарифм по основанию 2 5 правая квадратная скобка .$
У7
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x в степени 4 плюс 42 правая круглая скобка =1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 13x в квадрате плюс 2 конец аргумента .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $совокупность выражений минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ,2 конец совокупности правая квадратная скобка .$
У8
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка = 3.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 0,1; логарифм по основанию 2 13 правая квадратная скобка .$
У9
а)  Решите уравнение $1 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 25 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 30x в квадрате плюс 12 конец аргумента .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка .$
У10
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 20x в квадрате плюс 8 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10x в степени левая круглая скобка 4 конец аргумента плюс 16 правая круглая скобка минус 1.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 1; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 323 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби правая квадратная скобка .$
У11
а)  Решите уравнение $1 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 25 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 30x в квадрате плюс 12 конец аргумента .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка .$
У12
а) Решите уравнение $\log_{25}^2\left(x^4\right)+\log_{0{,}2}\left(x^8\right)+3=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2{,}3;11{,}3\right]$.
У13
a) Решите уравнение $2 36log18 x + 4log14 x − 5 = 0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0,5;5].$
У14
а) Решите уравнение $4log25x +4 log1x − 3= 0. 5$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0,4;11].$
У15
a) Решите уравнение $3 2 logx 10 − logx10− 6logx10 = 0.$
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $[0;2].$
У16
а) Решите уравнение $lg− 1x+ 4lg x2+ 9= 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[√ --- 10√---] 0,1; 0,1 .$
У17
а) Решите уравнение

$log√-2 +8 log x2+ 9= 0 x 16$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[e−2;e−1].$
У18
а) Решите уравнение

$log2x − 5 log x+ 87= (∘81-−-x2)2+ x2 3 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[10;30].$
У19
а) Решите уравнение $log2 4x + log x2 = 8. 0,5 2 8$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] -1-; 1 . 256 64$
У20
Решите уравнение

$log9(x +1)− log9(1− x)= log9(2x+ 3).$
У21
а) Решите уравнение

$2 2 log3(x− 2)+ log3(x− 4) =0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π;4,5].$
У22
а) Решите уравнение $log32(x− 2)3+ 9log2---1---+ 54 = 6log22---1---. (x− 2)3 (x − 2)3$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 1 1] log0,55;log0,6 6 .$
У23
а) Решите уравнение $log22x2− 8log2(2x)+ 11= 0.$
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $[2;4].$
У24
а) Решите уравнение $( ) log23 9x2 + 2log 1(27x)= 2. 3$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[0,1;1,6].$
У25
Решите уравнение $log x2 = log (6x − 8) x−1 x−1$

Д1
а)  Решите уравнение $6 логарифм по основанию 8 в квадрате x минус 5 логарифм по основанию 8 x плюс 1=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2;2,5 правая квадратная скобка .$
Д2
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 49 правая круглая скобка левая круглая скобка x в степени 4 правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 ; логарифм по основанию 6 35 правая квадратная скобка .$
Д3
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка минус x в квадрате минус 32x плюс 33 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 136 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка минус 33x правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 33 правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус корень из: начало аргумента: 333 конец аргумента ; минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента правая квадратная скобка .$
Д4
a)  Решите уравнение $логарифм по основанию 3 x умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 2; логарифм по основанию 5 27 правая квадратная скобка .$
Д5
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 8x минус 12 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 18 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 конец аргумента 0,3 правая круглая скобка ; логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента правая квадратная скобка .$
Д6
а)  Решите уравнение $2 логарифм по основанию 9 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 9 x плюс 1=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; корень из: начало аргумента: 99 конец аргумента правая квадратная скобка .$
Д7
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 4 x умножить на логарифм по основанию 4 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 дробь: числитель: x левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 8 конец дроби .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 4; логарифм по основанию 3 49 правая квадратная скобка .$
Д8
а)  Решите уравнение $\log в квадрате _2 левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 16 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 31 =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3;6 правая квадратная скобка .$
Д9
а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка = 3.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 0,1; логарифм по основанию 3 13 правая квадратная скобка .$
Д10
а)  Решите уравнение $1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2x в степени левая круглая скобка 4 конец аргумента плюс 42 правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $совокупность выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности правая квадратная скобка .$
Д11
а) Решите уравнение $\log_{0{,}5}^2\left(x^2\right)-4\log_8\left(x^4\right)=1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-0{,}9;2{,}9\right]$.
Д12
а) Решите уравнение $\log_3(x^2-2x)=1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_2 0{,}4;\,\log_2 5\right]$.
Д13
а) Решите уравнение $16log29x +4 log1x − 3 = 0. 3$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0,5;5].$
Д14
а) Решите уравнение $log2x2 − 16log (2x)+ 31= 0. 2 2$
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $[3;6].$
Д15
а) Решите уравнение $(lgx)2− 6lgx= lgx2+ 9.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;1].$
Д16
а) Решите уравнение $log x= ----15---. 2 8 log2 x16 − 1$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log6 5;log5 6].$
Д17
а) Решите уравнение

$3+ 2log 3 = 2log (x− 1) x−1 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[√- ] -3;√4- . 4 3$
Д18
а) Решите уравнение

$log2x − 5 log x+ 31= (∘25-−-x2)2+ x2 2 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;4tg1].$
Д19
а) Решите уравнение $∘log-x+ 1= log x− ∘log--x. 2 2 16$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 1 ] 16;16 .$
Д20
Решите уравнение

$1 3 lg(5− x)− 3 lg(35− x) =0.$
Д21
а) Решите уравнение

$x x log3(9 + 9)= x+ log3 (28− 2⋅3 ).$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− √2;√2].$
Д22
а) Решите уравнение $log2 8x +4log x2= 4. 0,5 16 32$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 1-;-1 . 512 32$
Д23
а) Решите уравнение $log x= ----8----. 3 9 log3 x27 − 1$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log4 3;log3 4].$
Д24
а) Решите уравнение $log5 x-= ----2x----. 25 log525 + 1$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log7 6;log6 7].$
Д25
а) Решите уравнение $√ -2---- log3 x − 2x= 2.$
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $[− 8;11].$

Свойство (\(a>0,\ a\ne1,\ x>0,\ y>0\))	Формула
Логарифм единицы и основания	\(\log_{a}1=0\), \(\log_{a}a=1\)
Логарифм произведения	\(\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y\)
Логарифм частного	\(\log_{a}\dfrac xy=\log_{a}x-\log_{a}y\)
Логарифм степени	\(\log_{a}x^p=p\log_{a}x\)
Переход к новому основанию	\(\log_{a}x=\dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}\)

Метод	Суть
По определению логарифма	\(\log_{a}f(x)=b\;\Rightarrow\;f(x)=a^b\)
Потенцирование	если \(\log_{a}u=\log_{a}v\) и \(u>0\), \(v>0\), то \(u=v\); сумму логарифмов сначала объединяют в один
Замена переменной	\(t=\log_{a}x\) (или логарифм сложного аргумента), решаем квадратное уравнение, возвращаемся к \(x\)
Приведение к одному основанию	по формуле перехода переводим все логарифмы к одному основанию, приводим подобные
Логарифмирование	для уравнений вида \(f(x)^{g(x)}=h(x)\) при \(f(x)>0\), \(h(x)>0\): логарифмируем обе части
Разложение на множители	приводим к виду \(A\cdot B=0\), каждый множитель приравниваем к нулю
Вынесение общего множителя	общий логарифм выносим за скобку
Метод оценки	сравниваем области значений левой и правой частей
Графический метод	общая точка графиков левой и правой частей даёт корень