14.5. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

1. Простейшие тригонометрические уравнения

Любое тригонометрическое уравнение в итоге сводится к простейшим. Во всех формулах \(k\in\mathbb Z\).

Если \(|a|>1\), уравнения \(\sin x=a\) и \(\cos x=a\) решений не имеют.

Частные случаи

2. Формулы, которые нужны для сведения к квадратному

• \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1\)
• \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\), \(1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}\)
• \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
• \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)
• понижение степени: \(\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}\), \(\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}\)
• формулы приведения: \(\sin\!\left(\dfrac\pi2-\alpha\right)=\cos\alpha\), \(\cos\!\left(\dfrac\pi2-\alpha\right)=\sin\alpha\), \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\), \(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\)
• формулы тройного угла (для кубических уравнений): \(\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\), \(\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)

Алгоритм приведения аргумента

1. Выделить из аргумента часть, кратную \(\dfrac\pi2\): например, \(\dfrac{31\pi}{6}=5\pi+\dfrac\pi6\).
2. Если выделенная часть — нечётное число \(\dfrac\pi2\) (\(\dfrac\pi2,\ \dfrac{3\pi}{2},\dots\)), функция меняется (\(\sin\leftrightarrow\cos\), \(\operatorname{tg}\leftrightarrow\operatorname{ctg}\)); если чётное число (\(\pi,\ 2\pi,\dots\)), остаётся.
3. Знак берётся по исходной функции в той четверти, где окажется исходный угол (считая оставшуюся часть острой).

Итог: \(\sin\dfrac{31\pi}{6}=\sin\!\left(5\pi+\dfrac\pi6\right)=-\sin\dfrac\pi6=-\dfrac12\).

3. Уравнения, сводящиеся к квадратным

Это уравнения вида \(a\,f^2(x)+b\,f(x)+c=0\), где \(f\) — одна из функций \(\sin x\), \(\cos x\), \(\operatorname{tg}x\), \(\operatorname{ctg}x\) (или тригонометрическая функция другого аргумента, например \(\sin2x\)).

Алгоритм

1. С помощью тождеств и формул двойного угла привести все функции к одной функции одного аргумента.
2. Сделать замену \(t=f(x)\) и решить квадратное уравнение \(at^2+bt+c=0\).
3. Проверить область значений. Для \(\sin\) и \(\cos\) корень обязан лежать в \([-1;1]\); остальные корни отбрасываются как посторонние. Для \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{ctg}\) ограничений на \(t\) нет.
4. Вернуться к \(x\): решить простейшие уравнения \(f(x)=t_1\), \(f(x)=t_2\).

Как выглядит приведение к одной функции

• Есть \(\cos^2x\) и \(\sin x\): заменяем \(\cos^2x=1-\sin^2x\).
• Есть \(\cos4x\) и \(\sin2x\): \(\cos4x=1-2\sin^22x\), замена \(t=\sin2x\).
• Есть \(\operatorname{tg}x\) и \(\operatorname{ctg}x\): \(\operatorname{ctg}x=\dfrac1{\operatorname{tg}x}\), замена \(t=\operatorname{tg}x\), \(t\ne0\), дальше уравнение умножается на \(t\).
• Есть \(\operatorname{tg}^2x\) и \(\dfrac{1}{\cos x}\): \(\operatorname{tg}^2x=\dfrac1{\cos^2x}-1\), замена \(c=\dfrac1{\cos x}\).
• В уравнении только чётные степени, например \(\sin^4x\) и \(\sin^2x\): замена \(t=\sin^2x\), \(0\le t\le1\).

Кубические уравнения

Если после замены получается \(at^3+bt^2+ct+d=0\), корень подбирают среди делителей свободного члена, многочлен делят на \((t-t_0)\) и раскладывают на множители. Корни вне \([-1;1]\) (для синуса и косинуса) отбрасывают: например, из \((t-1)(2t+1)(3t-4)=0\) для \(t=\sin x\) корень \(t=\dfrac43\) не подходит.

4. Отбор корней на отрезке

Есть несколько способов, выбирайте самый удобный для данного отрезка.

• Перебор (арифметический). Подставляйте целые значения параметра \(k\) и проверяйте, попадает ли корень в отрезок. Подходит для коротких отрезков.
• Двойное неравенство (алгебраический). Например, для серии \(x=\dfrac\pi4+2\pi k\) и отрезка \([0;\pi]\): \(0\le\dfrac\pi4+2\pi k\le\pi\), откуда \(-\dfrac18\le k\le\dfrac38\), значит \(k=0\), \(x=\dfrac\pi4\). Хорош для больших отрезков и корней с арксинусом, арктангенсом.
• Тригонометрическая окружность (геометрический). Отметьте на окружности точки серий, концы отрезка и выделите дугу; корни на дуге — искомые. Подпишите концы отрезка и дугу.
• График. Корни находят по графику простейшей тригонометрической функции.

Проверяйте каждую серию корней и все целые значения параметра: перебор не заканчивается на первом подходящем корне. Следите за границами в двойных неравенствах: ошибка в границах делает отбор необоснованным.

Разобранные примеры