14.6. Тригонометрические уравнения, сводимые к однородным

1. Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение называют однородным, если все его слагаемые (одночлены относительно \(\sin x\) и \(\cos x\)) имеют одну и ту же степень, а свободного члена нет.

Например, однородными являются \(\sin x+2\cos x=0\), \(\sin3x=\cos3x\) (первая степень относительно \(3x\)) и \(2\sin^2x-4\sin x\cos x+\cos^2x=0\). Уравнения \(\sin^2x-2\sin x-3=0\) (есть свободный член) и \(2\cos^2x+2\cos x=0\) (степени разные) однородными не являются.

2. Как решать

1. Проверить, что \(\cos x=0\) не даёт корней. Если \(\cos x=0\), то из уравнения следует, что и \(\sin x=0\) (при \(a\ne0\)); но \(\sin x\) и \(\cos x\) не могут быть нулями одновременно из-за тождества \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Значит, значения \(x\), при которых \(\cos x=0\), корнями не являются, и на \(\cos x\) делить можно.
2. Разделить обе части на \(\cos x\) (для первой степени) или на \(\cos^2x\) (для второй), а в общем случае — на \(\cos^nx\).
3. Получить уравнение относительно \(\operatorname{tg}x\): для первой степени \(a\operatorname{tg}x+b=0\), для второй \(a\operatorname{tg}^2x+b\operatorname{tg}x+c=0\).
4. Заменить \(y=\operatorname{tg}x\), решить уравнение относительно \(y\), вернуться: \(\operatorname{tg}x=y_1\), \(\operatorname{tg}x=y_2\).
5. Записать серии \(x=\operatorname{arctg}y_i+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Допустимо делить и на \(\sin^2x\), тогда получится уравнение относительно \(\operatorname{ctg}x\).

Примеры: \(\sin x-3\cos x=0\Rightarrow\operatorname{tg}x=3\); \(\sin x+\cos x=0\Rightarrow\operatorname{tg}x=-1\Rightarrow x=-\dfrac\pi4+\pi k\); \(\sin^2x-\sin x\cos x-2\cos^2x=0\Rightarrow\operatorname{tg}^2x-\operatorname{tg}x-2=0\Rightarrow\operatorname{tg}x=-1\) или \(\operatorname{tg}x=2\).

3. Уравнения, которые сводятся к однородным

Число в правой части

Пусть левая часть однородна второй степени, а справа стоит число \(d\ne0\): \(a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d\). Заменим \(d\) на \(d\cdot(\sin^2x+\cos^2x)\): получится однородное уравнение. Если левая часть однородна степени \(2k\), число \(b\) заменяют на \(b(\sin^2x+\cos^2x)^k\).

Например, \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\) после замены \(1=\sin^2x+\cos^2x\) превращается в \(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\), откуда \(\operatorname{tg}^2x+3\operatorname{tg}x-4=0\), \(\operatorname{tg}x=1\) или \(\operatorname{tg}x=-4\).

Формулы двойного угла

Если в уравнении есть \(\sin2x\) или \(\cos2x\), расписывают их через \(\sin x\) и \(\cos x\): \(\sin2x=2\sin x\cos x\), \(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\). Например, \(3\sin2x+8\cos^2x=7\) приводится к \(7\operatorname{tg}^2x-6\operatorname{tg}x-1=0\).

Формулы приведения

Если в уравнении разные аргументы вроде \(\dfrac{3\pi}{2}-x\) или \(x+\dfrac\pi2\), сначала приведите к одному аргументу: \(\sin\!\left(\dfrac\pi2-x\right)=\cos x\), \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), \(\cos\!\left(\dfrac{3\pi}2+x\right)=\sin x\), \(\cos\!\left(\dfrac{3\pi}2-x\right)=-\sin x\).

4. Неоднородное уравнение первой степени

Уравнение \(a\sin x+b\cos x=c\) при \(c\ne0\) решают одним из способов:

• Через однородное уравнение второй степени. Замените \(c\) на \(c\left(\sin^2\dfrac x2+\cos^2\dfrac x2\right)\) и расписывайте \(\sin x=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2\), \(\cos x=\cos^2\dfrac x2-\sin^2\dfrac x2\); получится однородное уравнение второй степени относительно \(\dfrac x2\).
• Универсальная подстановка \(z=\operatorname{tg}\dfrac x2\): \(\sin x=\dfrac{2z}{1+z^2}\), \(\cos x=\dfrac{1-z^2}{1+z^2}\). Получается квадратное уравнение относительно \(z\). Подстановка не охватывает значения \(x=\pi+2\pi n\) (там \(\operatorname{tg}\dfrac x2\) не определён): если \(c=-b\), то это тоже корни; в общем случае такие значения подставляют в уравнение отдельно. Иначе можно потерять корни.
• Вспомогательный угол. \(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi)\), где \(\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\). Получается простейшее уравнение \(\sin(x+\varphi)=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Если после деления на \(\sqrt{a^2+b^2}\) коэффициенты табличные, \(\varphi\) находится сразу. Например, \(\sin2x-\sqrt3\cos2x=-1\): делим на 2, записываем \(\dfrac12=\cos\dfrac\pi3\), \(\dfrac{\sqrt3}2=\sin\dfrac\pi3\), получаем \(\sin\!\left(2x-\dfrac\pi3\right)=-\dfrac12\).

5. Отбор корней на отрезке

• Серии вида \(x=\operatorname{arctg}y+\pi k\) отбирают двойным неравенством по \(k\) или на тригонометрической окружности (точки, получающиеся при \(\operatorname{tg}x=y\), симметричны относительно начала координат).
• Если среди значений тангенса есть нетабличные (\(\operatorname{arctg}3\), \(-\operatorname{arctg}4\)), удобнее двойное неравенство: границы сравнивают через значения арктангенса и \(\pi\).
• Проверяйте каждую серию и все целые значения \(k\); следите за границами в неравенствах.

Разобранные примеры

Пример 1

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение

а) Если то по основному тригонометрическому тождеству Значит, имеем:

Тогда и можем разделить обе части уравнения на

б) Если корень принадлежит отрезку то

Пример 2

а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу

Решение

а) Заметим, что данное уравнение является однородным первой степени. Поделим правую и левую части уравнения на и получим:

Таким образом, общее решение исходного уравнения:

б) Отберём корни, принадлежащие полуинтервалу с помощью тригонометрической окружности:

Получим значения: