Задание 14 · Уравнение с отбором корней

14.7. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

Для репетитора: показать ответы

1. Идея метода

Если одна часть уравнения равна нулю, а другую удаётся разложить на множители, то уравнение $A(x)\cdot B(x)=0$ распадается на совокупность: $A(x)=0$ или $B(x)=0$. Каждое простейшее уравнение решают отдельно, а множества решений объединяют. Особенно часто приём работает, когда в уравнении есть слагаемые вида $\cos nx$, $\sin mx$ и их произведения.

При этом важны две вещи: никогда не сокращайте обе части на общий множитель, содержащий неизвестную (например, на $\sin x$): корни, при которых он равен нулю, будут потеряны. Нужно выносить множитель и приравнивать к нулю.

2. Способы получить произведение

Вынесение общего множителя и группировка

Например, уравнение $2\cos2x\sin x-\sqrt3\sin x+2\cos2x-\sqrt3=0$ группируется как $\sin x\,(2\cos2x-\sqrt3)+(2\cos2x-\sqrt3)=0$, то есть $(\sin x+1)(2\cos2x-\sqrt3)=0$. Остаётся $\sin x=-1$ или $\cos2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Формулы двойного угла

Если есть $\sin2x=2\sin x\cos x$, общий множитель $\sin x$ или $\cos x$ часто выносится: $\cos x\,(2\sin x-1)=0\Rightarrow\cos x=0$ или $\sin x=\dfrac12$.

Формулы суммы и разности

Суммы и разности синусов и косинусов превращают в произведения:

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$
$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$

Например, $\cos x+\cos3x=0\Rightarrow2\cos2x\cos x=0\Rightarrow\cos2x=0$ или $\cos x=0$. Выражения вида $\sin\alpha\pm\cos\beta$ сначала приводят к одной функции по формулам приведения, например $\cos\beta=\sin\!\left(\dfrac\pi2-\beta\right)$.

Произведение в сумму

Обратные формулы помогают, когда нужно упростить произведение:

$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\left[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\right]$
$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right]$
$\sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right]$

Тригонометрические формулы сокращённого умножения

$(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm\sin2x$
$\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$
$\sin^3x\pm\cos^3x=(\sin x\pm\cos x)(1\mp\sin x\cos x)$
$(\sin x\pm\cos x)^3=(\sin x\pm\cos x)(1\pm\sin2x)$

Многочлен от тригонометрической функции

Если после замены $t=\sin x$ (или $\cos x$, $\operatorname{tg}x$) получается кубическое уравнение, его раскладывают на множители подбором корня и делением; корни вне $[-1;1]$ для синуса и косинуса отбрасывают. Например, $6t^3-11t^2+t+4=(t-1)(2t+1)(3t-4)$, и $t=\dfrac43$ не подходит.

3. Алгоритм

Перенести всё в одну часть, чтобы справа был ноль.
Привести к одному аргументу (формулы приведения, двойной угол), если нужно.
Разложить левую часть на множители: общий множитель, группировка, формулы суммы и разности.
Приравнять каждый множитель к нулю и решить простейшие уравнения.
Проверить ОДЗ (знаменатели, $\operatorname{tg}$, корни, логарифмы) и объединить серии.

4. Отбор корней

Для каждой серии решите двойное неравенство относительно целого параметра либо отметьте точки серии на тригонометрической окружности.
Серии, получившиеся из разных множителей, могут частично совпадать или «лежать» одна в другой: на окружности это хорошо видно. Не записывайте один и тот же корень дважды.
Проверяйте каждую серию целиком и все целые значения параметра; следите за границами отрезка.

Лайфхак 1. Правая часть — ноль. Раскладывать на множители можно только если справа ноль. Если справа не ноль, перенесите всё влево.

Лайфхак 2. Сумма двух косинусов или синусов — в произведение. Если в уравнении есть $\cos x+\cos3x$ или $\sin5x-\sin x$, сразу применяйте формулы суммы и разности: получается произведение множителей с простыми аргументами.

Лайфхак 3. Ищите одинаковые скобки. Если после группировки в двух слагаемых появились одинаковые выражения (как $2\cos2x-\sqrt3$ выше), вынесите их за скобки.

Типичные ошибки.

Сокращать на общий множитель вроде $\sin x$ — теряются корни.
Не проверить ОДЗ: корни одного множителя могут не входить в ОДЗ всего уравнения.
Неверный знак в формулах приведения и в формуле $\cos\alpha-\cos\beta$.

Разобранные примеры

Пример 1

а)  Решите уравнение $синус 2x плюс 2 синус в квадрате x=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение

а)  Преобразуем уравнение:

$2 синус x левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= минус косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка тангенс x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ найдём, пользуясь единичной окружностью. Получаем: $минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , минус Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус Пи .$

Пример 2

а)  Решите уравнение $2 косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = синус 2x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение

а)  Применим формулу приведения, разложим на множители:

$2 косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = синус 2x равносильно 2 синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x = 0 равносильно$

$равносильно 2 синус x левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x = 0, тангенс x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Отберем корни при помощи единичной тригонометрической окружности (см. рис.). Отрезку удовлетворяют корни: $минус 4 Пи , минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , минус 3 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 4 Пи , минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , минус 3 Пи .$

Источники

«Методы решения уравнений для ЕГЭ: шпаргалка по тригонометрии», Школково (shkolkovo.online)
«Тригонометрия: теория» (конспект по тригонометрии для ЕГЭ), Школково (shkolkovo.online)
«Тригонометрические уравнения», Большая российская энциклопедия (bigenc.ru)
«Тригонометрические уравнения» (конспект лекции), учебный материал колледжа, 2026
«Отбор корней в тригонометрических уравнениях», лекция, uoirbitmo.ru

У1
а)  Решите уравнение: $синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = синус 2x$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У2
а)  Решите уравнение $косинус в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x плюс косинус x= синус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$
У3
а)  Решите уравнение $2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус левая круглая скобка 2 Пи минус x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус Пи правая квадратная скобка .$
У4
а)  Решите уравнение $2 синус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка умножить на синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = синус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У5
а)  Решите уравнение $синус 2x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате x минус 4 синус x плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У6
а)  Решите уравнение $2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате x=2 косинус в кубе x.$
б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$
У7
а)  Решите уравнение $2 синус 2x=4 косинус x минус синус x плюс 1.$
б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У8
а)  Решите уравнение $синус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = косинус x плюс косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка синус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 5 Пи ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У9
а)  Решите уравнение $синус 2x минус 2 корень из 3 косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =3 косинус x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .$
У10
а)  Решите уравнение $синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка = 1,5.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$
У11
а)  Решите уравнение $2 синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс синус 2x = 0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У12
а)  Решите уравнение $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2x правая круглая скобка = корень из 2 синус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 5 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$
У13
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка \beginalign дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x\endalign правая круглая скобка умножить на синус x= косинус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 5 Пи , минус 4 Пи правая квадратная скобка .$
У14
а)  Решите уравнение $тангенс в кубе x минус тангенс в квадрате x минус 3 тангенс x плюс 3=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения на интервале $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,3 Пи правая квадратная скобка .$
У15
а)  Решите уравнение: $2 косинус в кубе x минус 2 косинус x минус синус в квадрате x=0 .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи , дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У16
а)  Решите уравнение $x косинус x плюс 4 косинус x минус x минус 4=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$
У17
а)  Решите уравнение $синус 2x плюс 2 косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У18
а)  Решите уравнение $6 косинус в квадрате x плюс 5 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус 4 = 0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$
У19
а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x плюс синус в квадрате x минус синус x= косинус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У20
а)  Решите уравнение $2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$
У21
а)  Решите уравнение $тангенс в кубе x плюс тангенс в квадрате x минус 3 тангенс x минус 3=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения на интервале $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У22
а)  Решите уравнение $2 косинус x плюс синус в квадрате x=2 косинус в кубе x.$
б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 3 Пи правая квадратная скобка .$
У23
а)  Решите уравнение $синус 2x= синус x минус 2 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 1.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$
У24
а)  Решите уравнение $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
У25
а)  Решите уравнение $2 косинус в кубе x плюс корень из 3 косинус в квадрате x плюс 2 косинус x плюс корень из 3 =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Д1
а)  Решите уравнение $2 синус 2x плюс 2 корень из 3 синус x = 2 косинус x плюс корень из 3 .$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д2
Дано уравнение $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2x правая круглая скобка = косинус x.$
а)  Решите уравнение.
б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .$
Д3
а)  Решите уравнение $минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка умножить на синус x= косинус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,6 Пи правая квадратная скобка .$
Д4
а)  Решите уравнение $2 косинус в кубе x минус косинус в квадрате x плюс 2 косинус x минус 1 = 0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ;~ дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д5
а)  Решите уравнение: $корень из 2 синус в кубе x минус корень из 2 синус x плюс косинус в квадрате x =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи правая квадратная скобка .$
Д6
а)  Решите уравнение $2x косинус x минус 8 косинус x плюс x минус 4=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$
Д7
а)  Решите уравнение $синус 8 Пи x плюс 1= косинус 4 Пи x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка 4 Пи x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ; корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента минус 2 правая квадратная скобка .$
Д8
а)  Решите уравнение $синус 2x=2 синус x плюс синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 1.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д9
а)  Решите уравнение $4 косинус в квадрате x плюс 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$
Д10
а)  Решите уравнение $2 косинус в кубе x плюс корень из 3 косинус в квадрате x плюс 2 косинус x плюс корень из 3 =0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д11
а)  Решите уравнение $2 синус в квадрате x минус синус 2x плюс синус x= косинус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д12
а)  Решите уравнение $2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка .$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$
Д13
а)  Решите уравнение $2 синус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = синус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 5 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$
Д14
а)  Решите уравнение $синус 2x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате x плюс 4 косинус x минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Пи правая квадратная скобка .$
Д15
а)  Решите уравнение $2 косинус в кубе x минус 2 косинус x плюс синус в квадрате x=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,3 Пи правая квадратная скобка .$
Д16
а)  Решите уравнение $синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = косинус x плюс косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка синус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$
Д17
а)  Решите уравнение $синус 2x минус 2 косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = корень из 3 синус x.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$
Д18
а)  Решите уравнение $2 косинус в кубе x минус косинус в квадрате x плюс 2 косинус x минус 1=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д19
а)  Решите уравнение $синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2x правая круглая скобка = синус x.$
б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д20
а)  Решите уравнение $2 косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка 2 Пи минус x правая круглая скобка = корень из 3 синус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д21
а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в кубе x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x плюс синус в квадрате x=0.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,4 Пи правая квадратная скобка .$
Д22
а)  Решите уравнение $2 синус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 2x = 0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$
Д23
а)  Решите уравнение $6 косинус в квадрате x плюс 11 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус 7=0.$
б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 5 Пи правая квадратная скобка .$
Д24
а)  Решите уравнение $2 косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на косинус x= синус x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$
Д25
а)  Решите уравнение $2 синус x минус корень из 2 косинус в квадрате x = 2 синус в кубе x.$
б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$