14.8. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

1. Откуда берутся ограничения

В тригонометрическом уравнении часть решений нужно исключить из-за области определения. Сначала запишите ограничения, затем решайте уравнение, затем исключайте посторонние серии.

• Тангенс и котангенс. \(\operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) определён при \(\cos x\ne0\), то есть \(x\ne\dfrac\pi2+\pi k\). \(\operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\) определён при \(\sin x\ne0\), то есть \(x\ne\pi k\). Тождества \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}\) и \(1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac1{\sin^2\alpha}\) верны только там, где функции определены.
• Знаменатель. Любое выражение в знаменателе не равно нулю: \(\sin x\ne0\), \(\cos x\ne0\), \(\sin x+\cos x\ne0\) и т. д.
• Корень чётной степени. Подкоренное выражение неотрицательно: например, \(\sin x\ge0\).
• Логарифм. Аргумент положителен, основание положительно и не равно 1.
• Обратные тригонометрические функции. Аргументы \(\arcsin\), \(\arccos\) лежат в \([-1;1]\).

Кроме того, помните об ограниченности: \(-1\le\sin x\le1\), \(-1\le\cos x\le1\). Если при замене \(t=\sin x\) корень по модулю больше 1, он отбрасывается как посторонний.

2. Как учесть ОДЗ

Неравносильные преобразования

Возведение в квадрат, умножение на выражение с переменной и расширение ОДЗ приводят к посторонним корням — их нужно исключить. Деление на выражение с переменной (например, на \(\cos x\) или на \(\sin x\)) может привести к потере корней: сначала проверьте, не являются ли корнями значения, при которых делитель равен нулю.

Отбор «знаменателем»

Найдите корни числителя и корни знаменателя. Отметьте их на тригонометрической окружности: корни числителя — кружочками, корни знаменателя — крестиками. В ответ идут кружочки, которые не зачёркнуты крестиками.

Геометрический способ

Серии решений отмечают на единичной окружности и пересекают с условиями ОДЗ. Полезная геометрия: решения \(\sin x=a\) — две точки, симметричные относительно оси ординат; \(\cos x=a\) — две точки, симметричные относительно оси абсцисс; \(\operatorname{tg}x=a\) и \(\operatorname{ctg}x=a\) — две точки, симметричные относительно начала координат (противоположные концы диаметра).

Пример: у уравнения \(\sin x=-\dfrac12\) две серии, \(-\dfrac\pi6+2\pi k\) и \(-\dfrac{5\pi}6+2\pi k\). Если нужно \(\cos x\ne\dfrac{\sqrt3}2\), первая серия (где \(\cos x=\dfrac{\sqrt3}2\)) исключается, остаётся \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi k\).

Вычислительный способ (подстановка)

Подставьте найденные серии в ограничение. Например, из \(\cos x=\dfrac12\) получаем \(x=\pm\dfrac\pi3+2\pi k\); при условии \(\sin x+\cos x>0\) подходит только \(x=\dfrac\pi3+2\pi k\), поскольку для \(-\dfrac\pi3\) сумма равна \(\dfrac{1-\sqrt3}{2}<0\).

Отбор неравенством

Корни проверяют на выполнение заданного явно или неявно неравенства (например, \(\sin x>0\) или \(\cos x\ne0\)). Для простых тригонометрических неравенств действует алгоритм: отметить значение на линии синусов (косинусов, тангенсов, котангенсов), выделить дугу окружности, найти граничные точки и добавить период.

3. Типичные приёмы

• Замена для дробей. Если в уравнении \(\dfrac1{\sin x}\) или \(\dfrac1{\cos x}\), удобна замена \(y=\dfrac1{\sin x}\) (или \(c=\dfrac1{\cos x}\)); для \(\operatorname{tg}^2x\) используют \(\operatorname{tg}^2x=\dfrac1{\cos^2x}-1\). После замены корни, невозможные для синуса и косинуса (например, \(\cos x=-3\)), отбрасывают.
• Универсальная подстановка \(z=\operatorname{tg}\dfrac x2\) теряет значения \(x=\pi+2\pi n\); их проверяют подстановкой отдельно.

4. Отбор корней на отрезке

• Сначала отбросьте серии, не входящие в ОДЗ, затем отберите корни из отрезка (двойное неравенство или окружность).
• На окружности отметьте концы отрезка, выделите дугу и подпишите её; точки ОДЗ, которые нужно исключить, отметьте крестиками.
• Если конец отрезка совпадает с исключённой точкой, он не входит в ответ.
• Обосновывайте, почему остальные значения параметра не подходят, а не только проверяйте несколько значений.

Разобранные примеры