14.9. Тригонометрические уравнения, разные задачи

1. Арсенал формул

В «разных» тригонометрических уравнениях нет единой схемы: нужно выбрать подходящую формулу, привести уравнение к знакомому виду (квадратное, однородное, произведение) и решить простейшие уравнения. Вот формулы, которые используются чаще всего.

Основные тождества и значения

• \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1\)
• \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}\), \(1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac1{\sin^2\alpha}\)
• \(-1\le\sin\alpha\le1\), \(-1\le\cos\alpha\le1\)
• \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\) (нечётная), \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\) (чётная)
• Периоды: у \(\sin\) и \(\cos\) — \(2\pi\), у \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{ctg}\) — \(\pi\).

Знаки по четвертям

Формулы приведения

• \(\sin(\pi\pm\alpha)=\mp\sin\alpha\), \(\cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha\)
• \(\sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha\), \(\cos(2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\)
• \(\sin\!\left(\dfrac\pi2\pm\alpha\right)=\cos\alpha\), \(\cos\!\left(\dfrac\pi2\pm\alpha\right)=\mp\sin\alpha\)

Сложение и кратные углы

• \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
• \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
• \(\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\)
• \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\), \(\operatorname{tg}2\alpha=\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}\)
• \(\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\), \(\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)
• понижение степени: \(\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}\), \(\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}\)

Суммы и произведения

• \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\); \(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\)
• \(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\left[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\right]\)
• \(\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right]\)
• \(\sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right]\)

2. Методы

Замена и квадратные уравнения

Приведите все слагаемые к одной функции, сделайте замену \(t\) и учтите \(t\in[-1;1]\) для синуса и косинуса. Кубические уравнения решают подбором корня и разложением на множители.

Разложение на множители

Если правая часть равна нулю, левую раскладывают на множители (вынесение общего, группировка, формулы суммы и разности). Сокращать на общий множитель с неизвестной нельзя — теряются корни.

Однородные уравнения

Деление на \(\cos^n x\) после проверки, что \(\cos x=0\) не даёт корней. Если есть число в правой части, его заменяют на \(d(\sin^2x+\cos^2x)\).

Уравнение \(a\sin x+b\cos x=c\)

• Вспомогательный угол: \(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi)\), где \(\cos\varphi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin\varphi=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\).
• Универсальная подстановка \(z=\operatorname{tg}\dfrac x2\): \(\sin x=\dfrac{2z}{1+z^2}\), \(\cos x=\dfrac{1-z^2}{1+z^2}\). Значение \(x=\pi+2\pi n\) проверяют отдельно (при \(c=-b\) оно — корень).
• Через однородное уравнение относительно \(\dfrac x2\).

Частные подстановки

Если уравнение содержит \(\sin x\) и \(\cos^2x\), то \(\cos^2x=1-\sin^2x\), и замена \(y=\sin x\) даёт алгебраическое уравнение; аналогично для \(\cos x\) и \(\sin^2x\).

Замена \(t=\sin x\pm\cos x\)

Если в уравнении есть сумма (или разность) \(\sin x\pm\cos x\) и произведение \(\sin x\cos x\) (или \(\sin2x\)), используйте \((\sin x\pm\cos x)^2=1\pm\sin2x\): выразив \(\sin2x\) через \(t\), получаем алгебраическое уравнение.

Простейшие уравнения со сложным аргументом

Уравнение \(\sin f(x)=a\) решают как простейшее для аргумента \(f(x)\), затем решают уравнение относительно \(x\).

3. Отбор корней

• Перебор. Подставляйте целые значения параметра и проверяйте попадание в отрезок.
• Двойное неравенство. Для серии \(x=x_0+Tk\) решайте \(a\le x_0+Tk\le b\) относительно целого \(k\); хорошо для больших отрезков и нетабличных значений.
• Окружность. Отметьте серии, концы отрезка, выделите дугу.
• График простейшей функции.
• Алгебраический способ с двумя параметрами — если серии надо пересечь: приравняйте серии и решите уравнение в целых числах.

Проверяйте каждую серию; ошибки в границах двойных неравенств лишают отбор обоснованности.

Разобранные примеры