Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.1. Расстояние между прямыми и плоскостями

Для репетитора: показать ответы

1. Что требуется найти

В задании №15 вторым пунктом часто просят найти расстояние между объектами, у которых нет общих точек: между прямой и параллельной ей плоскостью, между двумя параллельными плоскостями или между скрещивающимися прямыми. Все три случая сводятся к одному и тому же: к расстоянию от точки до плоскости или к длине общего перпендикуляра.

Напомним: скрещивающиеся прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости. Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость; перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки.

2. Расстояние между прямой и параллельной плоскостью, между параллельными плоскостями

Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то все точки прямой $a$ находятся от $\alpha$ на одном и том же расстоянии. Оно и называется расстоянием между прямой и плоскостью: достаточно взять любую удобную точку прямой и найти расстояние от неё до плоскости.
Расстояние между параллельными плоскостями — расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости. Его тоже находят как расстояние от удобной точки до плоскости.
Общий перпендикуляр к двум параллельным плоскостям перпендикулярен каждой из них; его длина и есть искомое расстояние.

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми: четыре способа

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра — отрезка с концами на этих прямых, перпендикулярного обеим. Для школьных задач используют такие способы.

Построить общий перпендикуляр и найти его длину. Подходит для простых конфигураций (например, ребро и диагональ грани куба), когда перпендикуляр виден на чертеже.
Прямая и параллельная ей плоскость. Через одну из прямых проводят плоскость, параллельную другой прямой. Расстояние между прямыми равно расстоянию от любой точки второй прямой до этой плоскости. Дальше работают приёмы из карточки «Расстояние от точки до плоскости».
Две параллельные плоскости. Через каждую из прямых проводят плоскость, параллельную другой прямой; получаются две параллельные плоскости, и расстояние между ними равно искомому. Удобно, когда в фигуре есть два параллельных сечения.
Ортогональное проектирование. Фигуру проектируют на плоскость, перпендикулярную одной из прямых. Эта прямая превращается в точку, вторая — в прямую, и искомое расстояние равно расстоянию от этой точки до проекции второй прямой. Способ считается универсальным для задач средней и высокой сложности.

4. Метод объёмов

Метод объёмов позволяет найти расстояние, не строя перпендикуляр: один и тот же объём вычисляют двумя способами, а затем приравнивают.

Объём пирамиды $V=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h$. Если известны $V$ и площадь грани $S$, то высота к этой грани, то есть расстояние от противоположной вершины до плоскости грани: $h=\dfrac{3V}{S}$.
Для тетраэдра $DABC$: $\dfrac13S_{ABC}\cdot DE=\dfrac13S_{DBC}\cdot AH$, откуда $AH=\dfrac{S_{ABC}\cdot DE}{S_{DBC}}$, где $DE$ — высота на основание $ABC$, $AH$ — искомое расстояние от $A$ до плоскости $DBC$.
Для скрещивающихся прямых. Пусть $a$ и $b$ — длины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, $\varphi$ — угол между ними, $d$ — расстояние между ними. Тогда $V=\dfrac16\,a\,b\,d\sin\varphi$, и $d=\dfrac{6V}{ab\sin\varphi}$.

Алгоритм: выбрать треугольную пирамиду, у которой искомое расстояние является высотой; вычислить её объём другим способом (через другую грань и другую высоту, которые найти проще); подставить в формулу.

5. Метод координат

Если на чертеже трудно увидеть перпендикуляр, удобно ввести систему координат: начало — в вершине, оси — вдоль рёбер или высоты. Нужные формулы:

координаты вектора: $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1)$; длина $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$;
уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$; вектор $\vec n=(A;B;C)$ — её нормаль. Коэффициенты находят подстановкой координат трёх точек плоскости (или как вектор, перпендикулярный двум векторам плоскости);
расстояние от точки $M(x_0;y_0;z_0)$ до плоскости: $\rho=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$;
расстояние между скрещивающимися прямыми: найти вектор $\vec n$, перпендикулярный направляющим векторам обеих прямых; взять вектор $\vec a$, соединяющий какую-либо точку первой прямой с какой-либо точкой второй; тогда $\rho=\dfrac{|\vec a\cdot\vec n|}{|\vec n|}$ — длина проекции $\vec a$ на $\vec n$.

6. Как выбрать способ

Прямые лежат в соседних гранях куба или параллелепипеда — проведите плоскость через одну из них параллельно другой (она часто «видна» как сечение или грань).
Фигура — пирамида или тетраэдр, а перпендикуляр неочевиден — метод объёмов.
Фигура «прямоугольная» (куб, прямоугольный параллелепипед, прямая призма, пирамида с высотой над вершиной или центром) — метод координат работает быстро.
Если время позволяет, сверяйте ответ вторым способом: большинство задач решается несколькими методами.

Лайфхак 1. Замените прямую плоскостью. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это расстояние от любой точки одной прямой до плоскости, проведённой через другую прямую параллельно первой. Точку выбирайте так, чтобы расстояние до плоскости считалось проще всего.

Лайфхак 2. Метод объёмов не требует перпендикуляра. Если строить перпендикуляр долго, достаточно посчитать объём пирамиды двумя способами и приравнять.

Лайфхак 3. Выбирайте оси «от вершины». В методе координат расположите оси так, чтобы как можно больше точек имели нулевые координаты: вычислений станет заметно меньше.

Лайфхак 4. Проверяйте себя. Большинство задач допускает несколько решений. Если получилось два разных ответа — ищите ошибку; расстояние всегда неотрицательно, а общий перпендикуляр короче любого другого отрезка между этими прямыми.

Типичные ошибки. Использование неочевидных утверждений без обоснования; неверное применение признаков перпендикулярности и параллельности; ошибки в формулах объёма; неточности в чертеже. В пункте «а» нельзя начинать с «предположим, что…» и принимать доказываемое за данное.

Разобранные примеры

Пример 1

Дана пирамида SABC, в которой $SC=SB=AB=AC= корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента ,$ $SA=BC=2 корень из 5 .$

а)  Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.

б)  Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

Решение

а)  Заметим, что треугольники SBC и АВС равны по трем сторонам. Они являются равнобедренными и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС, и будут являться высотами данных треугольников. Таким образом, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA.

б)  Построим высоту NМ треугольника ASN. Заметим, что NМ является общим перпендикуляром прямых AS (по построению) и ВС, поскольку NМ лежит в плоскости ASN. Тогда длина NМ и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми AS и ВС.

Заметим, что $SN=AN= корень из: начало аргумента: 17 минус 5 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента .$ Тогда треугольник SNA равнобедренный, его высота NМ является также медианой, тогда из прямоугольного треугольника АМN находим:

$NM= корень из: начало аргумента: AN в квадрате минус AM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 12 минус 5 конец аргумента = корень из 7 .$

Ответ: б) $корень из 7 .$

Пример 2

Основание прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁  — треугольник ABC, в котором AB  =  AC  =  8, а один из углов равен 60°. На ребре AA₁ отмечена точка P так, что AP : PA₁  =  1 : 2. Расстояние между прямыми AB и B₁C₁ равно $18 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

а)  Докажите, что основания высот треугольников ABC и PBC, проведенных к стороне BC, совпадают.

б)  Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CBP.

Решение

а)  Заметим, что так как треугольник ABC равнобедренный, а один из его углов равен 60°, треугольник ABC  — равносторонний и, значит, призма  — правильная. В треугольнике PBC проведём высоту PH, по теореме о трёх перпендикулярах её проекция AH будет являться высотой треугольника ABC. Таким образом, основания высот треугольников ABC и PBC, проведенных к стороне BC, совпадают.

б)  Прямые AB и B₁C₁ скрещивающиеся и лежат в параллельных плоскостях ABC и A₁B₁C₁. Следовательно, расстояние между ними равно расстоянию между этими плоскостями, то есть боковому ребру призмы. Тогда: $AA_1=18 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $AP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AA_1=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $AH= дробь: числитель: AB корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ По доказанному в п. а) угол PHA является линейным углом угла между плоскостями ABC и CBP. Следовательно, $тангенс \angle PHA= дробь: числитель: AP, знаменатель: AH конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Источники

«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017
«Метод объёмов в стереометрии», урок.1сентября.ру (urok.1sept.ru)
«Практикум по решению стереометрических задач», программа элективного курса, школьный сайт (gosuslugi.ru)
«Публикация из опыта работы» (метод объёмов на элективе), Институт повышения квалификации, г. Киров, 2025
«Координатно-векторный метод решения», cyclowiki.org
«Скрещивающиеся прямые», Википедия

У1
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно $корень из 5 ,$ а высота SH пирамиды равна $корень из 3 .$ Точки M и N  — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT  — высота пирамиды с вершиной N и основанием SCD.
а)  Докажите, что точка T является серединой SM.
б)  Найдите расстояние между NT и SC.
У2
Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC₁A₁ является квадратом.
а)  Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC  =  4, BC  =  7.
У3
В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ― $12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Через вершину A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.
а)  Докажите, что плоскость α делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2 : 1, считая от вершины P.
б)  Найдите расстояние между прямыми PH и BK.
У4
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 6.
а)  Докажите, что угол между прямыми AC и BC₁ равен 60°.
б)  Найдите расстояние между прямыми AC и BC₁.
У5
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M  — середина ребра AA₁.
а)  Докажите, что прямые MB и B₁C перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми MB и B₁C.
У6
Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1.
а)  Докажите, что $CM\perp AB.$
б)  Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L  — середина ребра MC, O  — центр грани ABC.
У7
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2.
а)  Докажите, что плоскости A₁BD и B₁D₁C параллельны.
б)  Найдите расстояние между плоскостями A₁BD и B₁D₁C.
У8
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка O₁  — центр квадрата ABCD, точка O₂  — центр квадрата CC₁D₁D.
а)  Докажите, что прямые A₁O₁ и B₁O₂ скрещиваются.
б)  Найдите расстояние между прямыми A₁O₁ и B₁O₂, если ребро куба равно 1.
У9
В правильном тетраэдре ABCD точка К  — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED  =  1 : 2.
а)  Найдите угол между прямыми ВС и КЕ.
б)  Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ, если ребро тетраэдра равно $корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$
У10
Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  15 и BC  =  25. Боковые ребра пирамиды равны $5 корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$ На ребрах AD и BC отмечены соответственно точки K и N так, что AK  =  CN  =  8. Через точки K и N проведена плоскость α, перпендикулярная ребру SB.
а)  Докажите, что плоскость α проходит через точку M  — середину ребра SB.
б)  Найдите расстояние между прямыми SD и KM.
У11
Основанием пирамиды АВСD является равносторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна 4. Боковое ребро CD перпендикулярно плоскости основания и имеет длину $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Пусть М  — середина ребра ВС, а N  — середина ребра АВ.
а)  Докажите, что угол между прямыми DM и СN равен 45°.
б)  Найдите расстояние между прямыми DM и СN.
У12
В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник ABC. На прямой AA₁ отмечена точка D так, что A₁  — середина AD. На прямой B₁C₁ отмечена точка E так, что C₁  — середина B₁E.
а)  Докажите, что прямые A₁B₁ и DE перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB  =  4, а AA₁  =  1.
У13
В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребрами AB  =  BC  =  6, AA₁  =  12 точки M и K  — середины AB и BC соответственно, точка N лежит на ребре BB₁, причем BN  =  6. Через точку D провели плоскость α параллельно плоскости KMN.
а)  Докажите, что плоскость α проходит через точки A₁ и C₁.
б)  Найдите расстояние между плоскостями KMN и α.
У14
Основание ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси ОО₁ цилиндра (О₁  — центр верхнего основания цилиндра). Объем цилиндра равен $450 Пи ,$ объем пирамиды равен 50.
а)  Докажите, что $O_1S:SO=5:1.$
б)  Найдите расстояние между AS и CD, если диаметр основания цилиндра равен $5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
У15
Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна $4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Точки М и N  — середины ребер BC и AB соответственно.
а)  Докажите, что угол между прямыми SM и CN равен 45°.
б)  Найдите расстояние между SM и CN.
У16
Точка M  — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.
a)  Докажите, что плоскость AMB₁ параллельна прямой A₁C.
б)  Найдите расстояние между прямой A₁C и плоскостью AMB₁, если параллелепипед прямоугольный, AB  =  12, AD  =  12 и AA₁  =  6.
У17
Основанием прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Прямые СА₁ и АВ₁ перпендикулярны.
а)  Докажите, что АА₁  =  АС.
б)  Найдите расстояние между прямыми СА₁ и АВ₁, если AC  =  8 и BC  =  4.
У18
Дан цилиндр с центрами нижнего и верхнего оснований O₁ и O₂ соответственно. Объём цилиндра, равен $Пи корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$ На окружности нижнего основания выбраны точки А и В, а на боковой поверхности выбрана, точка С, равноудалённая от оснований.
а)  Докажите, что объём тетраэдра O₁ABC не превосходит $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента конец дроби .$
б)  Найдите расстояние между прямыми AO₁ и CO₂, если отрезки BO₂ и CO₁ пересекаются, $\angle A O_1 B = 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle O_2 C A = 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
У19
В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро равно 9, а высота пирамиды SO равна $3 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ точки М и Т  — середины отрезков BC и SM соответственно.
а)  Докажите, что АТ  — высота пирамиды, проведенная к грани SBC.
б)  Найдите расстояние между прямыми АT и SB.
У20
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB  =  4, а боковое ребро $SA=2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$ Точки M и N  — середины ребер CD и AB соответственно. Точка N  — вершина пирамиды NSCD, NT  — ее высота.
а)  Докажите, что точка T делит SM пополам.
б)  Найдите расстояние между прямыми NT и SC.
У21
Расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $BB_1$ прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно 3, а расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $CC_1$ равно 5. Двугранный угол призмы при ребре $AA_1$ равен 60°.
а)  Докажите, что расстояние между боковыми ребрами BB₁ и CC₁ равно $корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента .$
б)  Найдите расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $BC_1C.$
У22
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все ребра основания которой равны 2. Сечение, проходящее через боковое ребро AA₁ и середину M ребра B₁C₁, является квадратом.
а)  Докажите, что расстояние между прямыми A₁B и AM равно длине перпендикуляра, опущенного из центра этого квадрата на прямую $A_1B.$
б)  Найдите это расстояние.
У23
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания $AB=3,$ а боковое ребро $SA=2.$ На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём $AK:KB=SM:MC=1:2.$ Плоскость $альфа$ содержит прямую KM и параллельна SA.
а)  Докажите, что плоскость $альфа$ делит ребро AC в отношении 1 : 2, считая от вершины A.
б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
У24
В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник ABC. На прямой AA₁ отмечена точка D так, что A₁  — середина AD. На прямой B₁C₁ отмечена точка E так, что C₁  — середина B₁E.
а)  Докажите, что прямые A₁B₁ и DE перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 3, а AA₁ = 1.
У25
На высоте SO правильной четырёхугольной пирамиды SABCD взяли точку М так, что SM : MO  =  1 : 4. Через точку М параллельно грани ADS провели плоскость α.
а)  Докажите, что расстояние от прямой ВС до плоскости α относится к расстоянию между прямыми ВС и AS как 9 : 10.
б)  Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если все рёбра пирамиды равны 20.

Д1
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1.
а)  Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно расстоянию между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1.$
б)  Найдите это расстояние.
Д2
Расстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA₁ и CC₁ равно 8. Двугранный угол призмы при ребре AA₁ равен 60°.
а)  Докажите, что расстояние между боковыми ребрами BB₁ и CC₁ равно 7.
б)  Найдите расстояние от прямой AA₁ до плоскости BC₁C.
Д3
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра основания которой равны $2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$ Сечение, проходящее через боковое ребро AA₁ и середину M ребра B₁C₁, является квадратом.
а)  Докажите, что расстояние между прямыми A₁B и AM равно длине перпендикуляра, опущенного из центра этого квадрата на прямую $A_1B.$
б)  Найдите это расстояние.
Д4
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра равны 1. На продолжении отрезка A₁C₁ за точку C₁ отмечена точка M так, что A₁C₁  =  C₁M, а на продолжении отрезка B₁C за точку C отмечена точка N так, что B₁C  =  CN.
а)  Докажите, что MN  =  MB₁.
б)  Найдите расстояние между прямыми B₁C₁ и MN.
Д5
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA  =  6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB  =  SM : MC  =  2 : 7. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S.
б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
Д6
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA  =  8. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC  =  SK : KC  =  1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.
б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KN.
Д7
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  5, AA₁  =  5, AD  =  3.
а)  Докажите, что прямые A₁B и B₁D перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми A₁B и B₁D.
Д8
В правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены параллельные плоскости.
а)  Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров к объему MNPQ
б)  Найдите расстояние между NA и QB, если ребро тетраэдра равно 1.
Д9
В правильной шестиугольной призме АВСDEFА₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1.
а)  Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости ВЕD₁.
б)  Найдите расстояние между прямыми ЕD₁ и FE₁.
Д10
В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M  — середина ребра B₁C₁, точка N лежит на ребре AC, причем AN : NC  =  15 : 1. Катет AC в четыре раза больше бокового ребра AA₁ призмы.
а)  Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA₁.
б)  Найдите расстояние между прямыми MN и CA₁, если AC  =  16, $BC=2 корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$
Д11
В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник ABC со сторонами AB  =  BC, $AC=4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ На ребре BB₁ выбрана точка K так, что BK : B₁K  =  2 : 3. Угол между плоскостями ABC и AKC равен 45°.
а)  Докажите, что расстояние между прямыми AB и A₁C₁ равно боковому ребру призмы.
б)  Найдите расстояние между прямыми AB и A₁C₁, если KC  =  8.
Д12
Точка Q симметрична вершине S правильной четырехугольной пирамиды SABCD относительно плоскости основания ABC.
а)  Докажите, что плоскости SBC И QDA параллельны.
б)  Найдите расстояние между плоскостями SВС и QDA, если сторона основания пирамиды SABCD равна 2, а ее боковое ребро равно $корень из: начало аргумента: 2022 конец аргумента .$
Д13
Дан правильный треугольник ABC. Точка D лежит вне плоскости ABC, $косинус \angle BAD = косинус \angle DAC=0,3.$
а)  Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если AC  =  6.
Д14
В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором AB  =  BC и AC  =  16. На ребре BB₁ выбрана точка F так, что $B F: B_1 F=3: 5.$ Угол между плоскостями AA₁C и АFС равен $45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
а)  Докажите, что расстояние между прямыми AB и A₁C₁ равно боковому ребру призмы.
б)  Найдите расстояние между прямыми AB и A₁C₁, если FC  =  10.
Д15
На высоте SO правильной четырёхугольной пирамиды SABCD взяли точку М так, что SM : MO  =  2 : 3. Через точку М параллельно грани ADS провели плоскость α.
а)  Докажите, что расстояние от прямой ВС до плоскости α относится к расстоянию между прямыми ВС и AS как 4 : 5.
б)  Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если все рёбра пирамиды равны 10.
Д16
Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит ромб ABCD со стороной 10. Известно, что $SA = SC = 10 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ $SB = 20$ и $AC = 10.$
а)  Докажите, что ребро SD перпендикулярно плоскости основания пирамиды SABCD.
б)  Найдите расстояние между прямыми AC и SB.
Д17
Основанием треугольной призмы ABC₁B₁C₁ является правильный треугольник ABC со стороной 1, а боковое ребро равно $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Диагональ боковой грани A₁B перпендикулярна плоскости основания. Точка M  — середина стороны ВС.
а)  Докажите, что прямые АМ и A₁C перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми A₁C и BC₁.
Д18
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точки M и N середины ребер SC и AD соответственно. Плоскость α проходит через прямую ВM параллельно SN.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро CD в отношении 1 : 2.
б)  Найдите расстояние от прямой SN до плоскости α, если сторона основания пирамиды равна 6, а боковое ребро равно 12.
Д19
Диагонали BE и DF основания ABCDEF правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ пересекаются в точке P, а диагонали FE₁ и EF₁ боковой грани EFF₁E₁ пересекаются в точке Q.
а)  Докажите, что прямая QP параллельна плоскости CB₁E₁.
б)  Найдите расстояние между прямой QP и плоскостью CB₁E₁, если сторона основания призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равна $2 корень из 3 ,$ а ее высота равна 4.
Д20
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1,$ все рёбра которой равны $корень из 3 .$
а)  Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно расстоянию между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1.$
б)  Найдите это расстояние.
Д21
Основание пирамиды PABC ― правильный треугольник ABC, сторона которого равна 16, боковое ребро PA ― $8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Высота пирамиды PH делит высоту AM треугольника ABC пополам. Через вершину A проведена плоскость, перпендикулярная прямой PM и пересекающая прямую PM в точке K.
а)  Докажите, что плоскость делит высоту PH пирамиды PABC в отношении 2:1, считая от вершины P.
б)  Найдите расстояние между прямыми PH и CK.
Д22
Дана пирамида SABC, в которой $SC=SB=AB=AC= корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента ,$ $SA=BC=2 корень из 6 .$
а)  Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
б)  Найдите расстояние между ребрами BC и SA.
Д23
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковове ребро SA равно 10. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём $DN:NC=SK:KC = 1:7.$ Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 1 : 7, считая от вершины S.
б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KN.
Д24
Вне плоскости правильного треугольника ABC расположена точка D, причем $косинус \angle DAC = косинус \angle DAB = 0,2.$
а)  Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между этими прямыми, если AB  =  2.
Д25
Точка M  — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.
a)  Докажите, что плоскость AMB₁ параллельна прямой A₁C.
б)  Найдите расстояние между прямой A₁C и плоскостью AMB₁, если параллелепипед прямоугольный, AB  =  8, AD  =  8 и AA₁  =  4.