Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.10. Угол между скрещивающимися прямыми

Для репетитора: показать ответы

1. Скрещивающиеся прямые и угол между ними

Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости (это не параллельные и не пересекающиеся прямые).

Угол между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ — это угол между пересекающимися прямыми $a'$ и $b'$, которые параллельны $a$ и $b$ соответственно. Он не зависит от выбора точки, через которую проведены $a'$ и $b'$, потому что углы с соответственно сонаправленными сторонами равны.

Угол между прямыми лежит в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$: из двух смежных углов, образованных пересекающимися прямыми, берут не тупой.
Прямые перпендикулярны, если угол между ними равен $90^\circ$. Скрещивающиеся прямые тоже могут быть перпендикулярными.
Признак перпендикулярности скрещивающихся прямых часто даёт теорема о трёх перпендикулярах (прямая и обратная): если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и наклонной, и наоборот.

2. Способ 1. Параллельный перенос (классический)

Выберите на одной из прямых точку (чаще всего вершину фигуры или середину ребра).
Через эту точку проведите прямую, параллельную второй прямой. Лучше всего использовать ребро, диагональ или среднюю линию, которые уже есть на чертеже.
Получился треугольник (или другой плоский многоугольник), сторонами которого служат пересекающиеся прямые, параллельные данным. Найдите его стороны.
Найдите угол между этими прямыми: если треугольник прямоугольный, через $\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$; иначе — по теореме косинусов $\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
Если найденный угол оказался тупым, искомый угол между прямыми — смежный с ним, то есть $180^\circ-\gamma$. Практически это значит, что для угла между прямыми берут модуль косинуса: $\cos\varphi=|\cos\gamma|$.

Часто достаточно перенести обе прямые в одну вершину, использовав параллельные рёбра: в кубе и прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагонали граней параллельны своим «копиям», в призме боковые рёбра параллельны друг другу, а в параллелограмме противоположные стороны параллельны. Средняя линия треугольника параллельна его основанию — ещё один готовый параллельный отрезок.

3. Способ 2. Метод координат

Для прямых с направляющими векторами $\vec s_1$ и $\vec s_2$ (векторы, лежащие на прямой или параллельные ей): $\cos\varphi=\dfrac{|\vec s_1\cdot\vec s_2|}{|\vec s_1|\cdot|\vec s_2|}$.

Введите систему координат: начало в вершине, оси вдоль рёбер или высоты. Запишите координаты нужных точек.
Найдите координаты направляющих векторов: для точек $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$ вектор $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1)$.
Найдите скалярное произведение $\vec s_1\cdot\vec s_2=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ и длины $|\vec s|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
Подставьте в формулу; угол — $\arccos$ от полученного (неотрицательного) числа.

Перпендикулярность прямых в координатах: скалярное произведение направляющих векторов равно нулю. Это удобно для пункта «а», где нужно доказать, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны.

4. Способ 3. Через плоскость и проекцию

Если одна из прямых перпендикулярна плоскости, содержащей другую (или параллельной ей), то угол между прямыми равен $90^\circ$. Чтобы доказать перпендикулярность скрещивающихся прямых, находят плоскость, содержащую одну прямую и перпендикулярную второй, либо используют теорему о трёх перпендикулярах: проекция одной прямой на плоскость, содержащую вторую, оказывается перпендикулярной ей.

5. Метод объёмов и площадь

Для тетраэдра с двумя скрещивающимися рёбрами $a$ и $b$, расстоянием $d$ между ними и углом $\varphi$ справедливо $V=\dfrac16\,a\,b\,d\sin\varphi$. Если объём, $a$, $b$ и $d$ известны, отсюда получают $\sin\varphi=\dfrac{6V}{abd}$. Этот приём пригодится, когда объём тетраэдра найти проще, чем угол.

6. План решения задачи №15

Нарисуйте фигуру крупно; подпишите данные.
Выберите точку и проведите прямую, параллельную одной из заданных; докажите, что именно она им параллельна.
Найдите длины сторон полученного треугольника из граней или сечений.
Вычислите угол (теорема косинусов) и, если он тупой, перейдите к смежному.
Либо введите координаты и найдите $\cos\varphi=\dfrac{|\vec s_1\cdot\vec s_2|}{|\vec s_1||\vec s_2|}$.
Запишите ответ в виде $\arccos$, $\arcsin$ или $\operatorname{arctg}$; эквивалентные записи допустимы.

Лайфхак 1. Не стройте новое — используйте готовое. Выбирайте точку так, чтобы вторая прямая «переносилась» на существующее ребро или диагональ грани: в кубе и параллелепипеде это почти всегда возможно.

Лайфхак 2. Модуль косинуса. Угол между прямыми никогда не бывает тупым. Если по теореме косинусов получился отрицательный косинус, возьмите его модуль.

Лайфхак 3. Для доказательства перпендикулярности — векторы. Скалярное произведение направляющих векторов равно нулю — это самый короткий способ доказать, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны.

Лайфхак 4. Нули в координатах. Чтобы упростить вычисления, располагайте оси так, чтобы как можно больше точек имели нулевые координаты, и используйте симметрию фигуры.

Типичные ошибки. В доказательстве начинают с «предположим, что прямые перпендикулярны»; неверно применяют признаки перпендикулярности и параллельности; допускают ошибки в чертеже; используют неочевидные утверждения без обоснования.

Разобранные примеры

Пример 1

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF.

а)  Докажите, что угол между прямыми SB и CD равен углу SBE.

б)  Если стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD.

Решение

а)  Вместо прямой CD рассмотрим параллельную ей прямую BE. Искомый угол равен углу SBE.

б)  Треугольник SBE равносторонний, поскольку большая диагональ правильного шестиугольника вдвое больше его стороны: $BE=2CD.$ Следовательно, $\widehatSBE=60 градусов .$

Ответ: $60 градусов .$

Пример 2

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1.

а)  Докажите, что прямая AB₁ параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AC и BC₁.

б)  Найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.

Решение

а)  Поскольку CC₁  =  C₁B₁  =  B₁B  =  BC и ABCA₁B₁C₁  — правильная призма, то CC₁B₁B  — квадрат. Тогда K  — точка пересечения диагоналей CC₁B₁B, поскольку делит одну из диагоналей на две равные части. Значит, B₁K  =  KC. Тогда KL  — средняя линия треугольника  AB₁C, поэтому KL || AB₁.

б)  Поскольку KL || AB₁, необходимо найти угол LKB. По теореме Пифагора AB₁  =  C₁B  =   $корень из 2 .$ Тогда $BK = KL= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби .$ Высота  LB правильного треугольника  ABC равна $дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$ По теореме косинусов $LB в квадрате =KL в квадрате плюс BK в квадрате минус 2KL умножить на BK косинус \angleLKB,$ то есть $косинус \angleLKB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Источники

«Стереометрия: параллельность, перпендикулярность, углы, расстояния», конспект, физический факультет МГУ (am.phys.msu.ru)
«Скрещивающиеся прямые», Википедия
«Теорема о трёх перпендикулярах», Википедия
«Координатно-векторный метод для стереометрии», методический материал, iro23.ru
«Практикум по решению стереометрических задач», программа элективного курса, школьный сайт (gosuslugi.ru)
«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017

У1
Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна x. M  — середина ребра BC, L  — середина ребра AB.
а)  Докажите, что плоскость, содержащая прямую DM и параллельная прямой CL, делит ребро AB в отношении 3:1, считая от вершины A.
б)  Найдите угол между прямыми DM и CL.
У2
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 8. Высота этой призмы равна 6.
а)  Докажите, что плоскость, содержащая прямую AB₁ и параллельная прямой CA₁ проходит через середину ребра BC.
б)  Найти угол между прямыми CA₁ и AB₁.
У3
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.
а)  Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E  — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б)  Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC  =  24, AB  =  10.
У4
На ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что CE : EC₁  =  1 : 2.
а)  Пусть точка F делит ребро BB₁ в отношении 1 : 2, считая от вершины B₁. Докажите, что угол между прямыми BE и AC₁ равен углу AC₁F.
б)  Найдите угол между прямыми BE и AC₁.
У5
В правильном тетраэдре ABCD проведена высота DH. K  — середина отрезка CH. BM  — медиана боковой грани BCD.
а)  Докажите, что угол между DH и BM равен углу BMK.
б)  Найдите угол между DH и BM.
У6
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра которой равны 1.
а)  Докажите, что $AC_1\perp BE.$
б)  Найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.
У7
В основании прямой призмы АВСDA₁В₁С₁D₁ лежит равнобедренная трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Известно, что AD : BC  =  2 : 1 и АВ  =  ВС.
а)  Докажите, что прямые DB₁ и A₁B₁ перпендикулярны.
б)  Найдите угол между прямыми CD₁ и DB₁, если боковая грань AA₁D₁D  — квадрат.
У8
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S в грани SBC проведена высота SH, а в грани SEF проведена высота SK.
а)  Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости SHK.
б)  Найдите угол между прямыми BE и SH, если SA  =  13, а BC  =  10.
У9
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра BC  =  5 и AB  =  AA₁  =  8, M и N  — середины ребер CD и АА₁ соответственно. Плоскость α проходит через точки M и B и параллельна прямой CD₁.
а)  Докажите, что прямая DN параллельна плоскости α.
б)  Найдите расстояние между прямыми C₁D и BD₁.
У10
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены середины P и E отрезков AB и AD соответственно.
а)  Докажите, что прямые B₁E и СР перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между этими прямыми, если $B_1 E =5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ?$
У11
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  6 и $B C= корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$ Длины боковых рёбер пирамиды $S A=4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $S B=2 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента$ и $S D= корень из: начало аргумента: 62 конец аргумента .$
а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды SABCD.
б)  Найдите угол между прямыми SC и BD.
У12
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали пересекаются в точке  О. Точки М и N  — середины ребер АВ и ВС соответственно.
а)  Докажите, что плоскость α, проходящая через точку О параллельно прямым B₁M и C₁N, делит ребро BB₁ в отношении 1 : 1.
б)  Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости α, если AB  =  6, BC  =  4 и AA₁  =  3.
У13
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD  =  12, а высота равна 3. На ребрах AB, CD, AS отмечены точки E, F и К соответственно, причем $A E =D F = 4$ и AK  =  3.
а)  Докажите, что плоскости KEF и SBC параллельны.
б)  Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.
У14
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DA и BC, перпендикулярны.
а)  Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E  — середину ребра DB, и параллельно DA и BC. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б)  Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DA = 20, BC = 10.
У15
На ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что CE : EC₁  =  2 : 1.
а)  Докажите, что угол между прямыми BE и AC₁ равен углу $AC_1F,$ где точка F находится на ребре $B_1B,$ причем $B_1F:FB=2:1.$
б)  Найдите угол между прямыми BE и AC₁.
У16
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 12, а боковые ребра равны 36.
а)  Докажите, что плоскость SBD параллельна прямой AE.
б)  Найдите косинус угла между прямыми SB и AD.
У17
Основание пирамиды DABC  — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N  — середины рёбер АD и BC соответственно.
а)  Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС.
б)  Найдите угол между прямыми BD и MN, если $BD=8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ AC  =  12.
У18
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник со сторонами AB  =  24 и BC  =  7. Боковые ребра $SA= корень из: начало аргумента: 51 конец аргумента ,$ $SB= корень из: начало аргумента: 627 конец аргумента$ и SD  =  10.
а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.
б)  Найдите угол между прямыми SC и BD.
У19
Точка E  — середина ребра BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка F лежит на продолжении ребра BB₁ за точку B₁, причем 2B₁F  =  BB₁.
а)  Докажите, что угол между прямыми AE и CA₁ равен углу между прямыми CA₁ и A₁F.
б)  Найдите угол между прямыми AE и CA₁.
У20
Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.
а)  Докажите, что плоскость SBC параллельна прямой $AD.$
б)  найдите косинус угла между прямыми SB и AD.

Д1
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L  — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен $дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 34 конец аргумента , знаменатель: 17 конец дроби .$
а)  Пусть O  — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б)  Найдите площадь поверхности пирамиды.
Д2
В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Высота призмы равна 6.
а)  Докажите, что плоскость, содержащая прямую AC₁ и параллельная прямой CB₁ проходит через середину ребра A₁B₁.
б)  Найдите угол между прямыми AC₁ и CB₁.
Д3
Точка E  — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.
а)  Докажите, что угол между прямыми BE и AD равен углу CBE.
б)  Найдите угол между прямыми BE и AD.
Д4
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .$ Точка M  — середина ребра SC, точка N  — середина ребра AC.
а)  Докажите, что угол между прямыми BM и SA либо равен углу BMN, либо дополняет его до 180°.
б)  Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.
Д5
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD проведена высота PH. N  — середина отрезка AH, M  — середина ребра AP.
а)  Докажите, что угол между прямыми PH и BM равен углу BMN.
б)  Длины всех ребер данной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми PH и BM.
Д6
В правильном тетраэдре АВСD точка Н  — центр грани АВС, а точка М  — середина ребра СD.
а)  Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.
б)  Найдите угол между прямыми DН и ВМ.
Д7
Основание пирамиды DABC  — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N  — середины рёбер АD и BC соответственно.
а)  Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС.
б)  Найдите угол между прямыми BD и MN, если $BD=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ AC  =  16.
Д8
В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC. Все боковые ребра наклонены к основанию под одним и тем же углом.
а)  Докажите, что прямая AB перпендикулярна плоскости, проходящей через середину ребра AB и ребро DC.
б)  Найдите расстояние между прямыми AB и CD, если $AB=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $AD=5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
Д9
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA  =  5, а высота $SO= корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$ Точки M и N  — середины ребер CD и АВ соответственно. Точка  N  — вершина пирамиды  NSCD, NT  — ее высота.
а)  Докажите, что точка T делит SM пополам.
б)  Найдите расстояние между прямыми NT и SC.
Д10
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  5 и $B C= корень из: начало аргумента: 23 конец аргумента .$ Длины боковых рёбер пирамиды $S A=2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ,$ $S B= корень из: начало аргумента: 85 конец аргумента$ и $S D= корень из: начало аргумента: 83 конец аргумента .$
а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды SABCD.
б)  Найдите угол между прямыми SC и BD.
Д11
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка К лежит на ребре SC и делит его в отношении 1 : 3, считая от вершины. Точка M  — середина AS. Через МK проведено сечение, параллельное прямой DC.
а)  Докажите, что сечение является равнобедренной трапецией.
б)  Найдите угол между прямыми MK и DC, если $S A = A B = 16.$
Д12
Дана пирамида SABC, в которой AB  =  AC  =  SB  =  SC  =  17 и BC  =  SA  =  16. Точки М и N  — середины ребер ВС и SA.
а)  Докажите, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA.
б)  Найдите объем пирамиды ABMN.
Д13
Сторона правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 8. Высота этой призмы равна 6.
а)  Докажите, что плоскость, содержащая прямую $AB_1$ и параллельная прямой $CA_1,$ делит пополам ребро $BC.$
б)  Найти угол между прямыми CA₁ и AB₁.
Д14
Точка E  — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной равной 1.
а)  Докажите, что $B_1D \perp AC.$
б)  Найдите угол между прямыми BE и $B_1D.$
Д15
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 10, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби .$ Точка M  — середина ребра SC.
а)  Докажите, что $BC \perp SA.$
б)  Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.
Д16
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра которой равны 1.
а)  Докажите, что $AC_1\perp BE.$
б)  Найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BD₁.
Д17
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S в грани SAB проведена высота SH, а в грани SDE проведена высота SK.
а)  Докажите, что прямая CF перпендикулярна плоскости SHK.
б)  Найдите угол между прямыми AD и SH, если SA  =  25, а AB  =  14.
Д18
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DA и BC, перпендикулярны.
а)  Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E  — середину ребра DB, и параллельно DA и BC. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б)  Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DA = 30, BC = 16.
Д19
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 10, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен  $дробь: числитель: 17, знаменатель: 25 конец дроби .$ Точка M  — середина ребра SC.
а)  Докажите, что $BS\perp AC.$
б)  Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.
Д20
Точка E  — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁, точка F лежит на продолжении ребра $CC_1$ за точку $С_1,$ причем $2C_1F=CC_1.$
а)  Докажите, что угол между прямыми BE и B₁D равен углу между прямыми $DB_1$ и $B_1F.$
б)  Найдите угол между прямыми BE и B₁D.