Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.11. Объёмы многогранников

Для репетитора: показать ответы

1. Основные формулы объёма

Многогранник	Объём
Призма (любая)	$V=S_{\text{осн}}\cdot h$, $h$ — высота (расстояние между плоскостями оснований)
Прямоугольный параллелепипед	$V=abc$
Куб	$V=a^3$
Пирамида (любая)	$V=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h$
Правильная треугольная пирамида (сторона основания $a$)	$V=\dfrac{a^2h}{4\sqrt3}$
Правильная четырёхугольная пирамида	$V=\dfrac13a^2h$
Правильная шестиугольная пирамида	$V=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h$
Правильный тетраэдр (ребро $a$)	$V=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$
Усечённая пирамида (площади оснований $S_1,S_2$, высота $h$)	$V=\dfrac h3\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right)$

Для прямого параллелепипеда $V=S_{\text{осн}}h$; объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до противоположного бокового ребра: $V=\tfrac12S_{\text{грани}}\cdot d$.

Высота пирамиды — перпендикуляр из вершины на плоскость основания; не путайте её с высотой боковой грани (апофемой правильной пирамиды). В правильной пирамиде высота проходит через центр основания; если все боковые рёбра равны, то через центр описанной около основания окружности; если равны двугранные углы при основании — через центр вписанной.

2. Основные приёмы

Приём 1. Выбор основания и высоты

Объём не зависит от того, какую грань считать основанием. У тетраэдра выбирайте то основание, для которого высота известна или находится проще: объём $\dfrac13S_{ABC}\cdot DE$ равен $\dfrac13S_{DBC}\cdot AH$.

Приём 2. Разбиение на части

Сложный многогранник разбивают на пирамиды и призмы, объёмы которых легко найти, и складывают; либо из объёма простой фигуры вычитают объёмы лишних частей. Так считают объём многогранника с сечением: например, сечение $PQM$ пирамиды $ABCD$ разбивает фигуру $APMQNC$ на три пирамиды $CAPM$, $PCQN$, $PCMN$.

Приём 3. Отношение объёмов

Тетраэдры с общим трёхгранным углом. Если у тетраэдров $SABC$ и $SA_1B_1C_1$ общий трёхгранный угол при вершине $S$ и точки $A_1,B_1,C_1$ лежат на рёбрах $SA,SB,SC$, то $\dfrac{V_{SA_1B_1C_1}}{V_{SABC}}=\dfrac{SA_1}{SA}\cdot\dfrac{SB_1}{SB}\cdot\dfrac{SC_1}{SC}$.
Подобные многогранники. Если коэффициент подобия равен $k$, то площади относятся как $k^2$, а объёмы — как $k^3$. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает подобную пирамиду.
Пирамиды с одной высотой относятся как площади оснований; пирамиды с равными основаниями — как высоты.

Приём 4. Объём — через сечение и принцип Кавальери

Если площади сечений двух тел плоскостями, параллельными одной плоскости, равны на любой высоте, то объёмы тел равны (принцип Кавальери).

Приём 5. Метод объёмов для расстояний

Объём, подсчитанный двумя способами, позволяет найти высоту, то есть расстояние от точки до плоскости: $h=\dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$. Для скрещивающихся рёбер тетраэдра справедливо $V=\dfrac16\,a\,b\,d\sin\varphi$ ($a,b$ — длины рёбер, $d$ — расстояние между ними, $\varphi$ — угол).

3. Алгоритм решения задачи №15 на объём

Нарисуйте фигуру крупно; отметьте данные и точки, заданные на рёбрах (с учётом отношений, в которых они делят рёбра).
Если по условию присутствует сечение, постройте его и определите, на какие части оно делит многогранник.
Разбейте нужную часть на пирамиды и призмы с очевидными основаниями и высотами либо найдите отношение объёмов по теореме о тетраэдрах с общим углом.
Вычислите площади оснований и высоты (теорема Пифагора, подобие, тригонометрия) и подставьте в формулы.
В пункте «а» не опирайтесь на вид чертежа: доказательство строят на признаках параллельности и перпендикулярности и на теоремах.

4. Несколько полезных геометрических фактов

Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d^2=a^2+b^2+c^2$; диагональ куба $a\sqrt3$.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему; полная поверхность — сумма боковой и площади основания.
Площадь боковой поверхности прямой призмы $P_{\text{осн}}\cdot h$; наклонной — $P_{\perp}\cdot l$ (периметр перпендикулярного сечения на боковое ребро).
Площадь треугольника по формуле Герона: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $p$ — полупериметр.

Лайфхак 1. Сменить основание. Если для выбранной грани высоту найти трудно, возьмите за основание другую грань тетраэдра: объём тот же, а высота может быть очевидной.

Лайфхак 2. Отношение вместо объёмов. Когда нужно только отношение объёмов, не считайте сами объёмы: используйте произведение отношений отрезков на рёбрах при общей вершине.

Лайфхак 3. Режьте на пирамиды. Сложный многогранник удобно разбить на треугольные пирамиды с общей вершиной; объёмы части складывают.

Лайфхак 4. Следите за коэффициентом. У пирамиды в формуле есть множитель $\dfrac13$, у призмы его нет; ошибки в формулах объёма — одна из самых частых причин потери баллов.

Типичные ошибки. Ошибки в формулах объёма и других геометрических формулах; использование неочевидных утверждений без обоснования; ошибки в чертеже; неверное применение признаков параллельности и перпендикулярности.

Разобранные примеры

Пример 1

В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB =13, $SC=3 корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$ Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.

а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б)  Найдите объём пирамиды SABC.

Решение

а)  Пусть SH  — высота пирамиды SABC. Треугольник ASB равнобедренный, поэтому прямые AB и SM перпендикулярны. Прямая AB перпендикулярна плоскости SMC, поскольку она перпендикулярна прямым SM и SH. Значит, CM является не только медианой, но и высотой треугольника ABC, то есть треугольник ABC равнобедренный.

б)  В пирамиде SABC:

$MH=CH= корень из: начало аргумента: SC в квадрате минус SH в квадрате конец аргумента =3,$

$AH= корень из: начало аргумента: SA в квадрате минус SH в квадрате конец аргумента =5,$

$BM=AM= корень из: начало аргумента: AH в квадрате минус MH в квадрате конец аргумента =4.$

Значит, объём пирамиды $V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби SH умножить на дробь: числитель: AB умножить на CM, знаменатель: 2 конец дроби =96.$

Ответ: б)  96.

Пример 2

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ в которой AB  =  6 и AA₁  =  3. Точки O и O₁ являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A₁B₁C₁ cответственно. На ребре CC₁ отмечена точка M такая, что CM  =  1.

а)  Докажите, что прямая OO₁ содержит точку пересечения медиан треугольника ABM.

б)  Найдите объем пирамиды ABMC₁.

Решение

а)  Пусть точка K  — середина ребра AB, а Q  — такая точка на MK, что MQ : QK  =  2 : 1. Тогда Q  — точка пересечения медиан треугольника ABM, поскольку делит его медиану MK в отношении 2 : 1, считая от вершины. Очевидно, что проекцией отрезка MK на плоскость ABC будет отрезок CK, поэтому, поскольку О является точкой пересечения медиан треугольника ABC и делит CK в отношении 2 : 1, точка Q будет проектироваться в эту точку. Прямая OO₁ и плоскость ABC перпендикулярны, следовательно, $Q принадлежит OO_1.$ Что и требовалось доказать.

б)  Вычислим объем пирамиды ABMC₁:

$V_ABMC_1=V_ABCC_1 минус V_ABCM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_ABC умножить на CC_1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_ABC умножить на CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка CC_1 минус CM правая круглая скобка S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 2 умножить на дробь: числитель: 6 в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби =6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: б) $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Источники

«Объём пирамиды», образовательный раздел kp.ru
«Призма (геометрия)» и «Параллелепипед», Википедия
«Пирамида», Большая российская энциклопедия (bigenc.ru); «Пирамида (геометрия)», znanierussia.ru
«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017
«Вопросы к зачёту по геометрии за первое полугодие» (теоремы об объёмах), math.ru (А. Блинков)
«Метод объёмов в стереометрии», урок.1сентября.ру (urok.1sept.ru)

У1
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а ребро основания равно 4. Точка D  — середина ребра BB₁.
а)  Докажите, что объемы пятигранников A₁B₁C₁CD и $ABCDA_1$ равны.
б)  Найдите объём пятигранника A₁B₁C₁CD.
У2
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC  =  8. Точка P  — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM  =  1 : 3.
а)  Докажите, что $CT больше BP.$
б)  Вычислите объём пирамиды MPTA.
У3
В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной $2 корень из 3 ,$ $SA=SC= корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента ,$ $SB=7.$ Точка O  — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.
а)  Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.
б)  Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.
У4
В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB  =  BD  =  DC  =  AC  =  5.
а)  Докажите, что AD  =  BC.
б)  Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.
У5
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K  — середина BC, точка  L лежит на стороне A₁B₁ так, что В₁L  =  5. Точка М  — середина A₁C₁. Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой  AC.
а)  Докажите, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.
б)  Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, у которой основанием является сечение призмы плоскостью.
У6
Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. Точки K, L и M  — центры граней ABCD, AA₁D₁D и CC₁D₁D соответственно.
а)  Докажите, что B₁KLM  — правильная пирамида.
б)  Найдите объём B₁KLM.
У7
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD  =  2 : 3. P  — середина ребра AD, а Q  — середина ребра BC.
а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP  — равнобедренная трапеция.
б)  Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
У8
В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB  =  13, PB  =  15, $косинус \angle PBA= дробь: числитель: 48, знаменатель: 65 конец дроби .$ Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите объем пирамиды PABC.
У9
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна боковому ребру SA. Медианы треугольника  SBC пересекаются в точке M.
а)  Докажите, что $AM=AD.$
б)  Точка N  — середина AM. Найдите SN, если $AD=6.$
У10
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA  =  14, а сторона AB  =  8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
a) Докажите, что MK  =  KD.
б) Найдите объем пирамиды MCDK.
У11
Дана правильная треугольная пирамида SABC, M  — середина AB, N  — середина CS.
а)  Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.
б)  Найдите объем пирамиды SABC, если AS  =  8, MN  =  5.
У12
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB  =  7, а боковое ребро SA  =  10. Точка  M лежит на ребре BC, причем BM  =  4, точка K лежит на ребре SC, причем SK  =  7.
а)  Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б)  Найдите объем пирамиды CDKM.
У13
Две боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, перпендикулярны к плоскости основания.
а)  Докажите, что две другие боковые грани образуют равные двугранные углы с плоскостью основания.
б)  Найдите объем пирамиды, если боковые грани, перпендикулярные к плоскости основания, образуют двугранный угол 120°, а боковая грань, составляющая с плоскостью основания угол в 30°, имеет площадь 36 см².
У14
Основанием прямой треугольной призмы PQRP₁Q₁R₁ является прямоугольный треугольник PQR с прямым углом R. Диагонали боковых граней PP₁Q₁Q и PP₁R₁R равны 17 и 15 соответственно, PQ  =  10.
а)  Докажите, что треугольник P₁QR прямоугольный.
б)  Найдите объем пирамиды P₁QRR₁.
У15
Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.
a) Докажите, что $косинус \angle A S C плюс косинус \angle C S B=1,5.$
б) Найдите объем тетраэдра SABC, если $S C=1$ и $косинус \angle ASC= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$
У16
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость  SAD.
а)  Докажите, что $\angle AHC=90 градусов .$
б)  Найдите объём пирамиды, если $HA= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и HC  =  4.
У17
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD образует с основанием угол 45°, сторона основания равна 4. Через среднюю линию треугольника АВD, не пересекающую BD, и середину высоты пирамиды проведена плоскость α.
а)  Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру SC.
б)  Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M  — точки пересечения α соответственно с ребрами SB, SD и SC.
У18
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁ отмечена точка N так, что BN : ND₁  =  1 : 2. Точка O  — середина отрезка CB₁.
а)  Докажите, что прямая NO проходит через точку A.
б)  Найдите объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD₁ и CB₁ и равна  $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
У19
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB  =  4, а боковое ребро SA  =  7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM  =  1, точка K лежит на ребре SC, причем SK  =  4.
а)  Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б)  Найдите объем пирамиды CDKM.
У20
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K  — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а)  Докажите, что площадь четырехугольника ВСРQ составляет $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ площади треугольника SBC.
б)  Найдите объем пирамиды КBCPQ.
У21
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA₁ равно $5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ На ребре DD₁ отмечена точка M так, что $DM : MD_1=2: 3.$ Плоскость α параллельна прямой A₁F₁ и проходит через точки M и B.
а)  Докажите, что сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью α   — равнобедренная трапеция.
б)  Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A₁, а основанием  — сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью α.
У22
В правильной треугольной призме $ABCA_1{B_1C_1$ боковое ребро равно $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а ребро основания равно $4.$ Точка D  — середина ребра $BB_1.$
а)  Докажите, что расстояние между прямыми $A_1D$ и $CC_1$ равно расстоянию между точкой A и плоскостью $BCC_1.$
б)  Найдите объём пятигранника $ABCA_1D.$
У23
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 8. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM  =  3, CN  =  1.
а)  Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б)  Найдите объём тетраэдра MNBB₁.
У24
В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: $SA=SB=7,SC=5.$ Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.
а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б)  Найдите объём пирамиды SABC.
У25
В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 17, PB = 10, $косинус \angle PBA= дробь: числитель: 32, знаменатель: 85 конец дроби .$ Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б)  Найдите объем пирамиды PABC.

Д1
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, $BC=8.$ Точка P  — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что $BT:TM= 1:3.$
а)  Докажите, что плоскость APT делит высоту MD треугольника BMC в отношении 3 : 2, считая от точки M.
б)  Вычислите объём пирамиды MPTA.
Д2
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N  — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а)  Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б)  Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием  — сечение пирамиды SABC плоскостью α.
Д3
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ заданы длины ребер AD  =  12, AB  =  5, AA₁  =  8.
а)  Докажите, что плоскость $BDA_1$ делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 5.
б)  Найдите объем пирамиды MB₁C₁D, если M  — точка на ребре AA₁, причем AM  =  5.
Д4
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM  =  2, CN  =  1.
а)  Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б)  Найдите объём тетраэдра MNBB₁.
Д5
На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM  =  CN : NB  =  1 : 2. Точки P и Q  — середины ребер DA и DC соответственно.
а)  Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б)  Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
Д6
Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ равны 15 и 9 соответственно, $AB=13.$
а)  Докажите, что треугольник $BA_1C_1$ прямоугольный.
б)  Найдите объём пирамиды $AA_1C_1B.$
Д7
Дана пирамида PABCD, в основании  — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а)  Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.
б)  Найдите объём PKBC, если AB  =  BC  =  CD  =  2, а PK  =  12.
Д8
Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, AB  =  AA₁.
а)  Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.
б)  Найдите объем призмы, если A₁C  =  BD  =  2.
Д9
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB  =  SM : MC  =  5 : 1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна SA.
а)  Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α   — прямоугольник.
б)  Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием  — сечение пирамиды SABC плоскостью α.
Д10
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB  =  4, а боковое ребро SA  =  7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM  =  SK  =  1.
а)  Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б)  Найдите объём пирамиды BCKM.
Д11
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB  =  4, а боковое ребро SA  =  7. Точка  M лежит на ребре BC, причем BM  =  1, точка K лежит на ребре SC, причем SK  =  4.
а)  Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б)  Найдите объем пирамиды CDKM.
Д12
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB  =  8, а боковое ребро SA  =  7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM  =  2, SK  =  1.
а)  Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б)  Найдите объём пирамиды BCKM.
Д13
Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB  =  16, высота SH  =  10, точка K  — середина AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а)  Докажите, что площадь PQBС относится к площади $BSC$ как 3 : 4.
б)  Найдите объем пирамиды KBQPC.
Д14
Дана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH  — высоты треугольника  ABC.
а)  Докажите, что $AC в квадрате минус BC в квадрате =AS в квадрате минус BS в квадрате .$
б)  Найдите объём пирамиды SABC, если $AB=25,$ $AC=10,$ $BC=5 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента ,$ $SC=3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$
Д15
В основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит трапеция ABCD c большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а)  Докажите, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PDC.
б)  Найдите объем PKBC, если AB  =  3, BC  =  5, CD  =  4, а высота пирамиды PABCD равна 7.
Д16
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, сторона AB основания которой равна 32, а боковое ребро BB₁ равно $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ На рёбрах AB и В₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причём AK  =  2, B₁L  =  28. Точка М  — середина ребра A₁C₁. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC.
а)  Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой MB.
б)  Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка M, а основанием  — сечение данной призмы плоскостью γ.
Д17
Точка М  — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка N лежит на стороне основания ВС. Плоскость α проходит через точки М и N параллельно боковому ребру SA.
а)  Плоскость α пересекает ребро DS в точке L. Докажите, что $BN:NC=DL:LS.$
б)  Пусть $BN:NC = 1:2.$ Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.
Д18
На сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB  =  BC  =  CD  =  DA  =  4, SA  =  SB  =  SC  =  SD  =  7.
а)  Докажите, что многогранник SABCD  — правильная четырёхугольная пирамида.
б)  Найдите объём многогранника SABCD.
Д19
В правильной треугольной пирамиде МАВС двугранный угол при основании paвeн $арктангенс 3.$ Через точку К ребра МС и вершины А и В проходит плоскость α так, что площадь сечения пирамиды плоскостью α относится к площади основания как $3: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$
а)  Докажите, что прямая МС перпендикулярна плоскости α.
б)  Найдите объем пирамиды МАВК, если объем пирамиды МАВС равен $52 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$
Д20
Точка F  — середина бокового ребра SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD, точка М лежит на стороне основания AB. Плоскость β проходит через точки F и М параллельно боковому ребру SC.
а)  Плоскость β пересекает ребро SD в точке К. Докажите, что $BM : MA = DK: KS.$
б)  Пусть $BM : MA =3: 1.$ Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость β разбивает пирамиду.
Д21
Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN  — квадрат, и AK : KC  =  3 : 7.
а)  Докажите, что $AB : CD =3: 7.$
б)  Найдите объём пирамиды CKLMN, если объём тетраэдра ABCD равен 100.
Д22
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, $BC=6.$ Точка P  — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что $BT:TM= 1:3.$
а)  Докажите, что плоскость APT делит высоту MD треугольника BMC в отношении 3 : 2, считая от точки M.
б)  Вычислите объём пирамиды MPTA.
Д23
На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=3:1.$ Точки P и Q  — середины сторон DA и DC соответственно.
а)  Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б)  Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
Д24
Дана пирамида PABCD, в основании  — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а)  Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.
б)  Найдите объём PKBC, если AB  =  BC  =  CD  =  3, а PK = 8.
Д25
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой AB  =  1 и AA₁  =  3. Точки O и O₁ являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A₁B₁C₁ cответственно. На ребре CC₁ отмечена точка M такая что CM  =  2.
а)  Докажите, что прямая OO₁ содержит точку пересечения медиан треугольника треугольника ABM.
б)  Найдите объем пирамиды ABMC₁.

Многогранник	Объём
Призма (любая)	\(V=S_{\text{осн}}\cdot h\), \(h\) — высота (расстояние между плоскостями оснований)
Прямоугольный параллелепипед	\(V=abc\)
Куб	\(V=a^3\)
Пирамида (любая)	\(V=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h\)
Правильная треугольная пирамида (сторона основания \(a\))	\(V=\dfrac{a^2h}{4\sqrt3}\)
Правильная четырёхугольная пирамида	\(V=\dfrac13a^2h\)
Правильная шестиугольная пирамида	\(V=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h\)
Правильный тетраэдр (ребро \(a\))	\(V=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}\)
Усечённая пирамида (площади оснований \(S_1,S_2\), высота \(h\))	\(V=\dfrac h3\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right)\)