Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.12. Сечения круглых тел

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое сечение круглого тела

Сечение — плоская фигура, которая получается при пересечении тела плоскостью. Для цилиндра, конуса и шара полезны осевые сечения (плоскость проходит через ось или центр): почти любая задача про круглые тела сводится к планиметрической задаче в осевом сечении.

2. Цилиндр

Цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $H$ (образующая равна $H$).

Осевое сечение — прямоугольник: одна сторона равна диаметру основания $2R$, другая — высоте $H$. Диагональ осевого сечения $d=\sqrt{4R^2+H^2}$.
Сечение плоскостью, параллельной основанию — круг, равный основанию.
Сечение плоскостью, параллельной оси — прямоугольник, одна сторона которого — образующая $H$, другая — хорда основания. Если расстояние от оси до плоскости равно $d$, то хорда равна $2\sqrt{R^2-d^2}$.
Плоскость, касающаяся боковой поверхности, проходит через образующую перпендикулярно плоскости осевого сечения, содержащего эту образующую.

3. Конус

Прямой круговой конус: радиус основания $R$, высота $H$, образующая $l$, причём $l^2=R^2+H^2$. Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.

Осевое сечение — равнобедренный треугольник: основание $2R$, боковые стороны — образующие $l$, высота $H$.
Сечение плоскостью, параллельной основанию, — круг; такая плоскость отсекает конус, подобный данному. Если коэффициент подобия $k$ (отношение расстояний от вершины), то радиус сечения равен $kR$, площадь сечения — $k^2\pi R^2$, объём отсечённого конуса — $k^3V$. Оставшаяся часть — усечённый конус.
Сечение плоскостью через вершину — равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие; его основание — хорда окружности основания. Его площадь равна $\tfrac12l^2\sin\gamma$, где $\gamma$ — угол между образующими, ограничивающими сечение.
Плоскости, не проходящие через вершину и не параллельные основанию, дают в сечении эллипс, параболу или гиперболу (конические сечения).
Касательная плоскость проходит через образующую перпендикулярно плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Усечённый конус

Радиусы оснований $R$ и $r$, высота $H$, образующая $l$, $l^2=H^2+(R-r)^2$. Осевое сечение — равнобедренная трапеция с основаниями $2R$ и $2r$ и боковыми сторонами $l$.

4. Шар и сфера

Шар — тело, ограниченное сферой; точки шара удалены от центра не больше чем на радиус $R$.

Сечение шара плоскостью — круг. Если плоскость проходит через центр, сечение — большой круг (радиус равен $R$); остальные сечения — малые круги.
Если плоскость находится на расстоянии $d$ от центра шара, радиус сечения $r=\sqrt{R^2-d^2}$, площадь сечения $\pi(R^2-d^2)$. Это следует из прямоугольного треугольника «центр шара — центр сечения — точка на окружности сечения» с гипотенузой $R$.
Центр круга сечения — основание перпендикуляра из центра шара на плоскость сечения.
При $d=R$ плоскость касается сферы в одной точке. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Для двух шаров с общим центром и одной секущей плоскости на расстоянии $d$ от центра радиусы сечений $r_1,r_2$ и радиусы шаров $R_1,R_2$ связаны так: $R_1^2-r_1^2=R_2^2-r_2^2=d^2$ (прямоугольные треугольники с общим катетом $d$).

5. Как решать задачу №15 о сечении круглого тела

Нарисуйте тело и сечение; найдите ось, центры оснований, нужные образующие и радиусы.
Перейдите в плоскость: осевое сечение (прямоугольник, равнобедренный треугольник, круг) или плоскость самого сечения.
Найдите нужные длины: для цилиндра и конуса — теорема Пифагора $l^2=R^2+H^2$, подобие; для сфер — $r^2=R^2-d^2$.
В пункте «а» опирайтесь на теоремы (перпендикулярность радиуса к хорде, теорема о трёх перпендикулярах, равенство треугольников), а не на чертёж.
В пункте «б» вычислите площадь, периметр, угол или расстояние в плоской фигуре сечения.

Если плоскость сечения не проходит через ось, проведите из центра основания перпендикуляр к хорде: он делит хорду пополам, и расстояние от центра до хорды вместе с радиусом даёт половину хорды.

Лайфхак 1. Всё свести к осевому сечению. Для цилиндра это прямоугольник, для конуса — равнобедренный треугольник, для шара — круг. Большинство задач решается в этой плоской фигуре.

Лайфхак 2. Сечение шара — по Пифагору. Радиус сечения всегда $\sqrt{R^2-d^2}$: рисуйте прямоугольный треугольник «центр шара — центр сечения — точка окружности».

Лайфхак 3. Подобие в конусе. Сечение, параллельное основанию, отсекает подобный конус; все линейные размеры меняются в $k$ раз, площади — в $k^2$, объёмы — в $k^3$.

Лайфхак 4. Хорда — через расстояние до центра. Половина хорды равна $\sqrt{R^2-d^2}$, где $d$ — расстояние от центра окружности до хорды.

Типичные ошибки. Неверное применение признаков перпендикулярности и параллельности; ошибки в формулах; неочевидные утверждения без обоснования; ошибки в чертеже, в том числе принятие за реальное сечение, которого не существует.

Разобранные примеры

Пример 1

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB=20$, $BB_1=15$, $B_1C_1=21$.

Решение

Ответ: $435\pi$

Пример 2

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите объём цилиндра, если $AB=7$, $BB_1=24$, $B_1C_1=10$.

Решение

Ответ: $894\pi$

Источники

«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017
«Конус. Площадь поверхности конуса. Объём конуса», конспект урока геометрии для 11 класса, infourok.ru
«Тела вращения», краткая теория, Северо-Восточный федеральный университет (yagu.s-vfu.ru)
«Тела вращения», материалы для подготовки к ЕГЭ, egeturbo.ru
«Шар», Википедия
«Конусы», Большая российская энциклопедия (bigenc.ru)

У1
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5.
а)  Докажите, что сечение шара плоскостью есть круг.
б)  Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
У2
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4.
а)  Докажите, что сечение шара плоскостью есть круг.
б)  Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
У3
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ$, $AB=1$, $CC_1=2\sqrt{2}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
У4
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB=6$, $BB_1=15$, $B_1C_1=8$.
У5
Через вершину $P$ прямого кругового конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках $C$ и $D$. Высота $PO$ конуса равна $5\sqrt{3}$, дуга $CD$ равна $90^\circ$, а хорда $CD$ равна $10$.
а) Докажите, что угол между плоскостью $PCD$ и плоскостью основания конуса равен $60^\circ$.
б) Определите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
У6
Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду. Общая высота пирамиды и конуса равна $9 4$ , а радиус вписанной в конус сферы равен 1.
а) Докажите, что данная сфера касается боковых граней пирамиды, причем точки касания лежат на апофемах.
б) Найдите разность объемов пирамиды и конуса.
У7
Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $α.$ Диагональ сечения наклонена под углом $β$ к основанию цилиндра.
а) Найдите объем цилиндра, если высота цилиндра равна $H.$
б) Вычислите объем цилиндра, если $H = √2-, 3π$ $α = 60∘,$ $β = 30∘.$
У8
Дана прямая четырехугольная призма, в нижнем основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями $BC = 2$ и $AD = 4$ . Основание конуса вписано в нижнее основание призмы, а вершина $S$ конуса располагается на верхнем основании призмы. Боковое ребро призмы равно 10.
а) Докажите, что треугольник $ASD$ равнобедренный.
б) Найдите объем конуса.
У9
Около правильной треугольной пирамиды описана сфера.
а) Докажите, что центр сферы лежит на высоте пирамиды, если угол между боковым ребром и плоскостью основания больше $∘ 45$ , и на прямой ( $⋆$ ), содержащей высоту этой пирамиды, если этот угол меньше $45∘$ .
б) Найдите радиус сферы, если сторона основания пирамиды равна $a$ , а угол между боковыми ребрами равен $ϕ$ .
( $⋆$ ) Точнее, на продолжении высоты $SH$ пирамиды за основание $H$ высоты.
У10
Дана четырехугольная пирамида.
а) Докажите, что около четырехугольной пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.
б) Пусть пирамида правильная и около нее описана сфера радиуса 2. Найдите объем данной пирамиды, если ее боковое ребро в $√2-$ раз больше ребра основания.
У11
Три параллельные прямые $a$ , $b$ , $c$ касаются в точках $A$ , $B$ и $C$ соответственно сферы с центром $O$ и радиусом 4.
а) Докажите, что точки $ABCO$ — четырехугольник.
б) Найдите $∠ABC$ , если площадь треугольника $AOC$ равна 4, а площадь треугольника $ABC$ больше 16.
У12
Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ .
а) Докажите, что центры вписанной в $SABCD$ сферы и описанной около $SABCD$ сферы совпадают тогда и только тогда, когда сумма плоских углов при вершине $S$ пирамиды равна $π$ . $⋆$
б) В пирамиду $SABCD$ вписана сфера радиуса 2. Этой сферы, граней $ASB$ , $BSC$ и основания $ABCD$ пирамиды касается другая сфера радиуса 1. Найдите расстояние между центрами вписанной в пирамиду сферы и описанной около пирамиды сферы.
$⋆$ Вообще говоря, это верно и для $n$ -угольной правильной пирамиды.
У13
Дан правильный тетраэдр с ребром $a$ , две вершины которого на диагонали куба с ребром $2$ , а две другие вершины — на диагонали грани этого куба.
а) Докажите, что вершины тетраэдра, расположенные на диагонали грани куба, расположены симметрично относительно середины этой диагонали.
б) Найдите радиус сферы, описанной около данного тетраэдра.
У14
Назовем цилиндр вписанным в треугольную пирамиду, двугранные углы при основании у которой равны, если нижнее его основание лежит в плоскости основания пирамиды, а верхнее имеет по одной общей точке с каждой боковой гранью.
а) Дана треугольная пирамида с равными двугранными углами при ребрах основания, с высотой $h$ и радиусом $r$ вписанной в основание окружности. Докажите, что максимальная площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту пирамиду, равна $1 Smax = 2 πhr$ .
б) Боковые грани пирамиды $SABC$ одинаково наклонены к плоскости основания $ABC$ , $AC =3$ , $BC = 4$ , $√-- SC = 38$ , $∠ACB = 90∘$ .
Найдите все возможные радиусы основания цилиндров, вписанных в пирамиду $SABC$ , площадь боковой поверхности которых равна $8π- 3$ .
У15
Внутри правильного тетраэдра $ABCD$ расположен конус, вершина которого является серединой ребра $CD$ . Основание конуса вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра $BC$ параллельно прямым $CD$ и $AB$ .
а) Докажите, что сечением является квадрат.
б) Найдите объем конуса, если ребро тетраэдра равно 12.
У16
В прямую призму, в основании которой лежит ромб с углом $45∘$ , вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно $√ - 5 2$ .
а) Докажите, что отношение объема призмы к объему цилиндра равно $√ - 4 2:π$ .
б) Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если объем призмы равен 120.
У17
Дана правильная призма $ABCA1B1C1.$ Сфера, центр которой лежит на боковом ребре $AA1,$ пересекает ребро $A1C1$ в точке $M,$ которая делит его в отношении $A1M :MC1 = 3:1,$ и касается плоскости основания $(ABC )$ призмы и плоскости $(CBB1 ).$
а) Докажите, что центр сферы делит ребро $AA1$ в отношении $2:1.$
б) Известно, что $AB = 12.$ Найдите площадь боковой поверхности призмы.
У18
Дана сфера радиуса 12. Сечением этой сферы плоскостью является окружность с диаметром $AB.$ Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние 4. Точка $D$ выбрана на сфере, а точка $C$ — на окружности так, что объем пирамиды $ABCD$ наибольший.
а) Докажите, что две грани пирамиды $ABCD$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь треугольника $DMN,$ где $M$ и $N$ — середины ребер $AC$ и $BC$ соответственно.
У19
Около правильной пирамиды $FABC$ описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания $ABC$ пирамиды.
а) Докажите, что боковые ребра пирамиды наклонены под углом $∘ 45$ к основанию $ABC$ пирамиды.
б) Точка $M$ лежит на ребре $AB$ так, что $AM :MB =1 :3$ . Точка $T$ лежит на прямой $AF$ и равноудалена от точек $M$ и $B$ . объем пирамиды $T BMC$ равен $-5 64$ . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды $F ABC$ .
У20
В пирамиде $F ABC$ грани $ABF$ и $ABC$ перпендикулярны, $FB :FA = 15:11$ . Тангенс угла между прямой $BC$ и плоскостью $ABF$ равен 5. Точка $M$ выбрана на ребре $BC$ так, что $BM :MC = 4:11$ . Точка $T$ лежит на прямой $AF$ и равноудалена от точек $M$ и $B$ . Центр сферы, описанной около пирамиды $FABC$ , лежит на ребре $AB$ , а площадь этой сферы равна $36π$ .
а) Докажите, что грани $ABC$ и $ABF$ представляют собой прямоугольные треугольники.
б) Найдите объем пирамиды $ACMT$ .
У21
Дан конус с вершиной $M$ , радиус основания которого равен $6$ . На окружности его основания выбраны точки $A,B, C$ так, что углы $BMA$ , $AMC$ , $CMB$ прямые. Точка $F$ выбрана на дуге $BC$ окружности основания конуса, не содержащей точки $A$ , так, что объем пирамиды $MABF C$ наибольший.
а) Докажите, что $AF$ — диаметр.
б) Найдите расстояние от точки $F$ до плоскости $MAB$ .
У22
В шар вписана призма $A1A2 ...AnB1B2 ...Bn$ .
а) Докажите, что призма $A1A2 ...AnB1B2 ...Bn$ прямая и около оснований призмы можно описать окружности.
б) Пусть $n = 3$ и призма является правильной. Известно, что объем призмы равен $4,5$ , прямая $A2B1$ образует с плоскостью $A2A3B3$ угол $45∘$ . Найдите площадь поверхности шара.
У23
Полушар и вписанный в него прямой конус имеют общее основание и общую высоту. Через точку $O$ на высоте конуса провели плоскость $α,$ параллельную его основанию.
а) Известно, что конус разбил площадь сечения полушара плоскостью $α$ на две части: внешнюю и внутреннюю. Отношение площади внешней к площади внутренней равно $k.$ Докажите, что точка $O$ делит высоту конуса в отношении $2 :k,$ считая от вершины конуса.
б) Пусть $O$ делит высоту конуса в отношении $2:1,$ считая от вершины конуса. Через вершину конуса проведена плоскость $β,$ пересекающая основание конуса. Известно, что линия пересечения плоскости $β$ и основания конуса видна под прямым углом из центра основания конуса. Найдите угол, под которым из точки $O$ видна линия пересечения плоскости $β$ и сечения полушара плоскостью $α.$

Д1
Плоскость α пересекает плоскости нижнего и верхнего оснований цилиндра по прямым ВС и AD соответственно, причем AD : BC  =  5 : 4, а ось цилиндра  — в точке Е и делит отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра, в отношении 2 : 1, считая от нижнего основания.
а)  Прямая DE пересекает плоскость нижнего основания в точке Р. Докажите, что боковая поверхность цилиндра делит отрезок DP в отношении 2 : 1.
б)  Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью α, если радиус основания цилиндра равен  $корень из 7 ,$ а высота цилиндра равна  $корень из 6 .$
Д2
Радиус основания конуса с вершиной $𝑆$ и центром основания $𝑂$ равен $5$, а его высота равна $\sqrt{51}$. Точка $𝑀$ - середина образующей $𝑆𝐴$ конуса, а точки $𝑁$ и $𝐵$ лежат на основании конуса, причем прямая $𝑀𝑁$ параллельна образующей конуса $𝑆𝐵$.
а) Докажите, что $\angle 𝐴𝑁𝑂$ - прямой.
б) Найдите угол между прямой $𝐵𝑀$ и плоскостью основания конуса, если $𝐴𝐵=8$.
Д3
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ$, $AB=\sqrt{2}$, $CC_1=4$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Д4
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=21$, $BB_1=12$, $B_1C_1=16$.
Д5
Через вершину $R$ прямого кругового конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках $M$ и $N$. Высота $RO$ конуса равна $6\sqrt{3}$, дуга $MN$ равна $90^\circ$, а хорда $MN$ равна $12$.
а) Докажите, что угол между плоскостью $RMN$ и плоскостью основания конуса равен $60^\circ$.
б) Определите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Д6
Через вершину $S$ конуса проходит плоское сечение $SAB.$ Точки $A$ и $B$ делят длину окружности основания конуса в отношении $1 :5.$ Угол $3 SAB = arccos√58.$
а) Докажите, что площадь сечения $SAB$ равна $172AB2.$
б) Найдите объем конуса, если площадь $SAB$ равна 42.
Д7
Дан конус с вершиной $A,$ его образующая равна 13, а высота $AH$ равна 12. Внутри конуса располагается цилиндр с радиусом основания, равным 2,5. При этом ось цилиндра совпадает с осью конуса, а окружность верхнего основания цилиндра принадлежит боковой поверхности конуса. На окружности основания конуса взята произвольная точка $K.$ Прямая $AK$ пересекает верхнее основание цилиндра в точке $P.$
а) Докажите, что точка $P$ — середина отрезка $AK.$
б) Прямая $KH$ пересекает окружность основания конуса в отличной от $K$ точке $M.$ В точке $K$ проведена касательная к окружности основания конуса. Найдите расстояние между этой касательной и образующей $AM$ конуса.
Д8
Через середину высоты $DH$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ проведена плоскость $α,$ перпендикулярная этой высоте. Верхнее основание цилиндра вписано в многоугольник сечения пирамиды плоскостью $α,$ а нижнее основание цилиндра лежит в основании $ABC$ пирамиды. Точка $O1$ — центр верхнего основания цилиндра, точка $M$ — середина ребра $BC.$ Прямая $MO1$ пересекает ребро $AD$ в точке $E.$
а) Докажите, что $AE :ED = 3:1.$
б) Найдите отношение объема пирамиды $ABCD$ к объему цилиндра.
Д9
Дана правильнаяя треугольная пирамида, около которой описана сфера. Объем пирамиды равен $√- 9 3$ , а ее высота равна 3.
а) Докажите, что центр сферы лежит на продолжении данной высоты пирамиды за ее основание.
б) Найдите радиус этой сферы.
Д10
Дана четырехугольная пирамида.
а) Докажите, что в четырехугольную пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды имеют общую точку.
б) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше ее высоты. Найдите отношение радиуса вписанной в данную пирамиду сферы к апофеме пирамиды.
Биссекторная плоскость двугранного угла — это плоскость, делящая этот угол пополам.
Д11
Дана пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$ .
а) Докажите, что если основание $H$ высоты $SH$ пирамиды $SABCD$ лежит внутри $ABCD$ и все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (то есть двугранные углы при основании пирамиды равны), то в эту пирамиду можно вписать сферу.
б) Основанием пирамиды $SABCD$ служит квадрат $ABCD$ со стороной 15, а радиус вписанной в пирамиду сферы равен 3. Найдите высоту пирамиды, если она совпадает с ребром $SA$ .
Д12
Дан тетраэдр $ABCS$ .
а) Докажите, что около тетраэдра $ABCS$ можно описать сферу.
б) Известно, что $AB = BC = 2$ , $AC = 1$ , $CS = 4$ , $CS ⊥ AB$ , $CS ⊥ AC$ . Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра $ABCS$ .
Д13
Сфера проходит через точки $A$ , $B$ , $C$ и середину ребра $A′D ′$ куба $′ ′ ′ ′ ABCDA B C D$ .
а) Докажите, что радиус сферы относится к ребру куба как $√-- 41:8.$
б) Пусть $EF$ — диаметр этой сферы, перпендикулярный $(BLC )$ . Найдите произведение отрезков, на которые диаметр делится этой плоскостью, если ребро куба равно 1.
Д14
Основание пирамиды $SABCD$ — ромб $ABCD$ , в котором $∠A = 60∘$ . Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны. Плоскость $α$ , параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту $SO$ пирамиды в точке $P$ так, что

$SP :PO = 2:3$

В образовавщуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью $α$ .
а) Докажите, что основание высоты $SO$ пирамиды совпадает с точкой пересечения диагоналей основания.
б) Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен $√ - 9π 3$ .
Д15
Около треугольной призмы, объем которой равен 288, описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно $√ - 4 3$ .
а) Докажите, что отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около оснований данной треугольной призмы, параллелен и равен боковому ребру призмы, а также перпендикулярен основаниям призмы.
б) Пусть призма правильная. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Д16
Сфера радиуса 2 касается плоскости в точке $A$ . В этой же плоскости лежит основание конуса. Прямая, проходящая через центр основания конуса (точку $C$ ) и точку сферы, диаметрально противоположную точке $A$ , проходит через точку $M$ . Точка $M$ является точкой касания сферы и конуса (их единственная общая точка).
а) Докажите, что радиус основания конуса равен половине отрезка $AC.$
б) Найдите высоту конуса, если $AC =1$ .
Д17
Отрезок $P N$ — диаметр сферы. Точки $M,$ $L$ лежат на сфере так, что объем пирамиды $PNML$ наибольший.
а) Докажите, что $LM ⊥ PN.$
б) Найдите синус угла между прямой $NT$ и плокостью $(PMN ),$ если $T$ — середина ребра $ML.$
Д18
Через центр $O$ данной сферы проведено сечение. Точка $F$ выбрана на сфере, а точки $A,B,C,D$ — последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды $FABCD$ наибольший. Точки $M, T,L$ — середины ребер $FB,$ $CD$ и $AD.$
а) Докажите, что объем пирамиды $FABCD$ равен $23R3,$ где $R$ — радиус сферы.
б) Найдите $R,$ если площадь треугольника $MLT$ равна $64√5.$
Д19
Основанием пирамиды $F ABCD$ является прямоугольник $ABCD.$ Плокость $(AF C)$ перпендикулярна плокости $(ABC ),$ $16- tg∠FAC = 7 ,$ $tg∠(BC,(FAC ))= 3.$ Точка $M$ лежит на ребре $BC,$ $2 BM = 5BC.$ Точка $L$ лежит на прямой $AF$ и равноудалена от точек $M$ и $C.$ Объем пирамиды $LAMC$ равен 48. Центр сферы, описанной около пирамиды $F ABCD$ , лежит в плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что основание высоты $LH$ пирамиды $LAMC$ делит диагональ $AC$ в отношении $7:3.$
б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды $FABCD.$
Д20
Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ со стороной основания, равной $√ - 2 7$ . Центр $O$ основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды.
а) Пусть $AA1$ — высота основания. Докажите, что $∘ ---- SOOA1 = CSAC1 .$
б) Найдите радиус основания конуса.
Д21
Дан конус с вершиной $M$ . На окружности его основания выбраны точки $A,B,C$ так, что $∠BMA = ∠CMB = ∠AMC = α$ .
Точка $F$ выбрана на дуге $BC$ окружности основания конуса, не содержащей точки $A$ , так, что объем пирамды $MABF C$ наибольший.
а) Докажите, что объем пирамиды $MABF C$ равен

$3∘ -(----------) VMABFC = r- 3 3 ctg2 α-− 1 , 6 2$

где $r$ — радиус основания конуса.
б) Известно, что радиус основания конуса равен $√- r = 6 6$ , $α ∘ 5- sin 2 = 7$ . Найдите расстояние от точки $F$ до плоскости $MAB$ .
Д22
Дан параллелепипед $ABCDA1B1C1D1$ .
а) Докажите, что около параллелепипеда можно описать сферу тогда и только тогда, когда он прямоугольный.
б) Найдите площадь поверхности данного параллелепипеда, если его объем равен 8, а радиус сферы, описанной около параллелепипеда, равен $√3-$ .
Д23
Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью нижнего основания угол $ϕ$ . Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей конуса. Сумма длин окружностей оснований равна $2πm$ .
а) Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.
б) Вычислите эту площадь, если $√ -- m = 3 2$ , $ϕ = arccos 1 5$ .