Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.13. Круглые тела: цилиндр, конус, шар

Для репетитора: показать ответы

1. Тела вращения: как они получаются

Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг стороны. Основания — равные круги в параллельных плоскостях, образующие параллельны оси и равны высоте $H$.
Конус — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Образующие соединяют вершину с точками окружности основания; $l^2=R^2+H^2$.
Усечённый конус — часть конуса между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Шар — тело, ограниченное сферой; сфера — множество точек, равноудалённых от центра.

2. Формулы

Тело	Площадь поверхности	Объём
Цилиндр ($R$, $H$)	$S_{\text{бок}}=2\pi RH$, $S_{\text{полн}}=2\pi R(R+H)$	$V=\pi R^2H$
Конус ($R$, $H$, $l$)	$S_{\text{бок}}=\pi Rl$, $S_{\text{полн}}=\pi R(R+l)$	$V=\dfrac13\pi R^2H$
Усечённый конус ($R$, $r$, $H$, $l$)	$S_{\text{бок}}=\pi l(R+r)$	$V=\dfrac13\pi H(R^2+Rr+r^2)$
Шар, сфера ($R$)	$S=4\pi R^2$	$V=\dfrac43\pi R^3$

Через диаметр $d$: площадь сферы $\pi d^2$, объём шара $\dfrac{\pi d^3}{6}$. Принцип Кавальери: если площади сечений двух тел плоскостями, параллельными одной плоскости, равны на любой высоте, то объёмы равны; с его помощью выводят объём шара, сравнивая его с цилиндром, из которого вырезаны два конуса.

3. Развёртка боковой поверхности

Боковая поверхность цилиндра — прямоугольник $2\pi R\times H$.
Боковая поверхность конуса — круговой сектор радиуса $l$ с длиной дуги $2\pi R$; центральный угол сектора $\varphi=360^\circ\cdot\dfrac Rl$. Площадь сектора $\pi Rl$ совпадает с формулой боковой поверхности.
Боковая поверхность усечённого конуса — часть кругового кольца; площадь $\pi l(R+r)$.

4. Осевое сечение — главный помощник

Цилиндр: осевое сечение — прямоугольник $2R\times H$; диагональ $\sqrt{4R^2+H^2}$.
Конус: осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2R$, боковыми сторонами $l$, высотой $H$; угол образующей с плоскостью основания $\alpha$ связывает величины: $H=R\operatorname{tg}\alpha$, $l=\dfrac{R}{\cos\alpha}$.
Шар: осевое сечение — большой круг радиуса $R$; это наибольшее из сечений шара.

Если высота конуса увеличена в $m$ раз при том же основании, объём тоже увеличивается в $m$ раз.

5. Вписанные и описанные тела

Многогранники и круглые тела

Призма, вписанная в цилиндр: основания призмы — равные многоугольники, вписанные в окружности оснований цилиндра; боковые рёбра — образующие.
Призма, описанная около цилиндра: основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра; грани касаются боковой поверхности.
Конус, вписанный в правильную пирамиду: общая вершина, основание конуса вписано в основание пирамиды; радиус основания конуса — радиус вписанной в основание окружности. У конуса, описанного около пирамиды, основание конуса описано около основания пирамиды (радиус — радиус описанной окружности).

Шар и круглые тела

Шар в цилиндре: радиус шара равен радиусу цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара: $H=2R$.
Шар в конусе: в осевом сечении получается окружность, вписанная в равнобедренный треугольник; радиус $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{RH}{R+l}$ (площадь осевого сечения $RH$, полупериметр $R+l$).
Цилиндр в конус: если радиус цилиндра $x$, его высота $h$, то из подобия $x=\dfrac{R(H-h)}{H}$.
Шар в пирамиде: $r=\dfrac{3V}{S_{\text{полн}}}$.

Любая вписанная или описанная конструкция сводится к осевому сечению: в нём вписанная окружность, прямоугольник в треугольнике или треугольник в круге.

6. Шар: сечения и касание

Плоскость на расстоянии $d$ от центра шара радиуса $R$ даёт круг радиуса $\sqrt{R^2-d^2}$.
Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Центр круга сечения — основание перпендикуляра из центра шара на плоскость.

7. План решения задачи №15

Нарисуйте тело, найдите ось, центры оснований, радиусы, образующие.
Перейдите в осевое сечение или в плоскость нужного сечения; найдите связи между величинами (теорема Пифагора $l^2=R^2+H^2$, подобие, тригонометрия).
В пункте «а» опирайтесь на свойства: радиус, перпендикулярный хорде; образующая, параллельная оси; перпендикулярность радиуса и касательной; теорема о трёх перпендикулярах.
В пункте «б» вычислите объём, площадь, угол или расстояние. Для расстояния от точки до плоскости, угла между прямой и плоскостью, между плоскостями используйте те же приёмы, что и для многогранников: перпендикуляр, метод объёмов, координаты.
Для сложных задач выберите координатный метод: оси — по оси тела и перпендикулярно ей в основании; тогда окружность основания задаётся уравнением $x^2+y^2=R^2$.

Лайфхак 1. Осевое сечение решает почти всё. Цилиндр — прямоугольник, конус — равнобедренный треугольник, шар — круг: вписанные и описанные тела видны в нём как окружности, прямоугольники и треугольники.

Лайфхак 2. Развёртка конуса. Длина дуги сектора равна длине окружности основания: $2\pi R=\varphi l$ (угол в радианах). Отсюда и угол сектора, и связь $R$ с $l$.

Лайфхак 3. Шар в конусе — радиус через площадь. Вписанная в осевое сечение окружность имеет радиус $r=\dfrac{S}{p}$: площадь треугольника делим на полупериметр.

Лайфхак 4. Перепроверьте условие касания. Для вписанного шара его радиус — расстояние от центра до всех поверхностей; для шара в цилиндре диаметр равен высоте.

Типичные ошибки. Ошибки в формулах объёмов и площадей; неверное применение признаков перпендикулярности; неочевидные утверждения без обоснования; ошибки в чертеже.

Разобранные примеры

Пример 1

В цилиндре на окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания  — точки B₁ и C₁, причём BB₁  — образующая цилиндра, а AC₁ пересекает его ось цилиндра.

а)  Докажите, что угол C₁BA  =  90°.

б)  Найдите площадь боковой поверхности, если AB  =  16, BB₁  =  5, B₁C₁  =  12.

Решение

а)  Пусть точка C проекция точки C₁ на нижнее основание. Тогда AC  — проекция AC₁ на плоскость нижнего основания. AC₁ пересекает ось цилиндра, поэтому и AC тоже. Следовательно, AC является диаметром окружности, а $\angle ABC=90 градусов,$ поскольку опирается на него. CB является проекцией C₁B. Тогда C₁B перпендикулярно AB по теореме о трёх перпендикулярах, то есть $\angle C_1BA=90 градусов.$

б)   $CB=C_1B_1=12.$ Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABC гипотенуза $AC=20.$ Следовательно, $S_бок.=2 Пи умножить на дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 конец дроби умножить на BB_1=100 Пи .$

Ответ: б) $100 Пи .$

Пример 2

Дан цилиндр, осевым сечением которого является прямоугольник, с центрами нижнего и верхнего оснований в точках O и O₁ соответственно. Плоскость α проходит через диаметр AB нижнего основания и имеет с верхним основанием ровно одну общую точку K.

а)  Докажите, что проекция точки K на плоскость нижнего основания лежит на прямой, проходящей через точку O перпендикулярно AB.

б)  Найдите расстояние от центра верхнего основания (точки O₁) до плоскости α, если радиус основания цилиндра равен 15, а высота цилиндра равна 20.

Решение

а)  Проведем через точку K прямую, параллельную прямой AB. Эта прямая принадлежит одновременно плоскости α и плоскости верхнего основания, следовательно, эта прямая  — касательная к окружности верхнего основания. Пусть точка M  — проекция точки K на нижнее основание цилиндра. Касательная к окружности нижнего основания, проходящая через точку M, параллельна прямой AB, а потому прямые OM и AB перпендикулярны.

б)  Пусть отрезок O₁H  — высота треугольника KOO₁, проведенная из вершины прямого угла. Прямая O₁H перпендикулярна прямой AB по теореме о трех перпендикулярах и перпендикулярна прямой KO по построению, поэтому она перпендикулярна плоскости α и является искомым расстоянием. Длина высоты треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы:

$O_1H = дробь: числитель: KO_1 умножить на O_1O, знаменатель: KO конец дроби = дробь: числитель: 15 умножить на 20, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 в квадрате плюс 20 в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 300, знаменатель: корень из: начало аргумента: 625 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 300, знаменатель: 25 конец дроби = 12.$

Ответ: б)  12.

Источники

«Тела вращения», краткая теория, Северо-Восточный федеральный университет (yagu.s-vfu.ru)
«Тела вращения», материалы для подготовки к ЕГЭ, egeturbo.ru
«Круглые тела», типовой расчёт по геометрии для 11 класса, школа № 1502 (1502.moscow)
«Конус. Площадь поверхности конуса. Объём конуса», конспект урока геометрии для 11 класса, infourok.ru
«Шар», Википедия
«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017

У1
Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом $арккосинус 0,6.$ Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.
а)  Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).
б)  Найдите объем данной пирамиды.
У2
Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10.
а)  Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания.
б)  Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.
У3
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84.
а)  Докажите, что сечение шара второй плоскостью является кругом.
б)  Найдите радиус шара.
У4
Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса  — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна $2 корень из 3 .$ Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а)  Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б)  Найдите площадь сечения.
У5
Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
а)  Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
б)  Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
У6
На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC. Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.
а)  Точка N  — середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
б)  Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS  =  2, $AC= корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$
У7
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок  АС₁ пересекает ось цилиндра.
а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.
б)  Найдите угол между прямыми ВВ₁ и АС₁, если АВ  =  6, ВВ₁  =  15, В₁С₁  =  8.
У8
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок  АС₁ пересекает ось цилиндра.
а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.
б)  Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB  =  20, BB₁  =  15, B₁C₁  =  21.
У9
В конусе с вершиной S и центром основания O радиус основания равен 13, а высота равна $3 корень из: начало аргумента: 41 конец аргумента .$ Точки A и B  — концы образующих, M  — середина SA, N  — точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.
а)  Докажите что ANO  — прямой угол.
б)  Найдите угол между MB и плоскостью основания, если дополнительно известно что AB  =  10.
У10
Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O равен 5, а его высота равна $корень из: начало аргумента: 51 конец аргумента .$ Точка M  — середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причём прямая MN параллельна образующей конуса SB.
а)  Докажите что $\angle ANO$   — прямой.
б)  Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если AB  =  8.
У11
Основание АВС правильной треугольной пирамиды SABC вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси О₁О₂ цилиндра (точка О₁  — центр верхнего основания, точка О₂  — центр нижнего основания). Объем цилиндра равен 21π, а объем пирамиды $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
а)  Докажите, что SO₁ : SO₂  =  3 : 4.
б)   Найдите расстояние между прямыми АС и SB, если радиус основания цилиндра равен $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
У12
Шар проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба.
а)  Докажите, что сфера касается ребер в их серединах.
б)  Найдите объем шара, если ребро куба равно 1.
У13
Радиус основания конуса с вершиной S равен 8, а высота конуса SO равна $корень из: начало аргумента: 88 конец аргумента .$ Точка M  — середина образующей SA конуса, а точки B и N лежат в плоскости основания конуса так, что отрезок SB  — образующая конуса, а прямая MN параллельна SB.
а)  Докажите, что прямая AB перпендикулярна плоскости SON.
б)  Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью основания конуса, если AB  =  10.
У14
На отрезке O₁O₂, соединяющем центры оснований кругового цилиндра, отмечены точки Р и F так, что $O_1 P : P F : F O_2 = 1 : 4 : 7.$ В цилиндре расположены два конуса: первый с вершиной  F, основанием которого является круг основания с центром O₁, второй  — с вершиной P, основанием которого является круг основания с центром O₂.
а)  Докажите, что боковые поверхности этих конусов пересекаются по окружности, радиус которой в 4 раза меньше радиуса основания цилиндра.
б)  Найдите объем общей части этих конусов, если высота цилиндра равна 10, а радиус основания цилиндра равен 3.
У15
Через вершину S конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках A и B. Высота конуса SO равна $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ дуга AB равна 90°, а хорда AB равна 8.
а)  Докажите, что угол между плоскостью SAB и плоскостью основания конуса равен 60°.
б)  Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
У16
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S. Точка M  — середина хорды BC, AC  — диаметр.
а)  Докажите, что угол между прямой SM и плоскостью ABC равен углу между прямой AB и плоскостью SBC.
б)  Найдите высоту конуса, если угол между прямой AB и плоскостью SBC равен 60°, AC  =  10, BC  =  6.
У17
Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса  — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а)  Докажите, что получившийся в сечении треугольник  — тупоугольный.
б)  Найдите расстояние от центра O основания конуса до плоскости сечения.
У18
На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC. Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.
а)  Точка N  — середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
б)  Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2, $AC= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$
У19
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.
а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.
б)  Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB  =  15, BB₁  =  21, B₁C₁  =  20.
У20
Через вершину S прямого конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках A и B. Высота конуса SO равна $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ дуга AB равна 90°, а хорда AB равна 12.
а)  Докажите, что угол между плоскостью SAB и плоскостью основания конуса равен 60°.
б)  Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
У21
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.
а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.
б)  Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁, если AB  =  21, BB₁  =  12, B₁C₁  =  16.
У22
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.
а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.
б)  Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁, если AB  =  15, BB₁  =  16, B₁C₁  =  12.

Д1
Шар касается основания АВС правильной треугольной пирамиды SABC в точке В и ее бокового ребра SA.
а)  Докажите, что центр шара лежит в плоскости, перпендикулярной ребру AC $,$ и проходящей через его середину.
б)  Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.
Д2
Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5.
а)  Докажите, что сечение конуса плоскостью ABP  — равнобедренный остроугольный треугольник.
б)  Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.
Д3
Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60°.
а)  Докажите, что существует точка О (центр вписанной сферы), одинаково удаленная ото всех граней пирамиды.
б)  Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.
Д4
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно $корень из: начало аргумента: 730 конец аргумента .$
а)  Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б)  Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Д5
Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB  — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
а)  Докажите, что ABCD  — квадрат.
б)  Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен $корень из 2 .$
Д6
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания  — точка C₁, причём CC₁  — образующая цилиндра, а AC   — диаметр основания. Известно, что $\angleACB=30 градусов,$ $AB= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,CC_1=2.$
а)  Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и BC равен $45 градусов.$
б)  Найдите объём цилиндра.
Д7
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A,B и C ,$ а на окружности другого основания  — точка $C_1,$ причём $CC_1$   — образующая цилиндра, а AC   — диаметр основания. Известно, что $\angleACB=45 градусов,$ $AB=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,CC_1=4.$
а)  Докажите,что угол между прямыми $AC_1$ и BC равен $60 градусов.$
б)  Найдите объём цилиндра.
Д8
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания  — точка C₁, причём CC₁  — образующая цилиндра, а AC  — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30 градусов,$ $AB=2 корень из 3 ,$ $CC_1=4 корень из 6 .$
а)  Докажите, что угол между прямыми BC и AC₁ равен $60 градусов.$
б)  Найдите расстояние от точки B до AC₁.
Д9
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M  — середина BC.
а)  Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б)  Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB  =  6, BC  =  8 и AS  =   $5 корень из 2 .$
Д10
Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса  — треугольник с углом 120° при вершине М. Образующая конуса равна $2 корень из 3 .$ Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а)  Докажите, что получившийся в сечении треугольник  — тупоугольный.
б)  Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.
Д11
Радиус основания конуса равен 12, а высота равна 5.
а)  Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б)  Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
Д12
Конус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится к высоте конуса как 1 : 3.
а)  Докажите, что поверхность полусферы делит образующую конуса в отношении 4 : 1, считая от вершины конуса.
б)  Найдите площадь поверхности полусферы, находящейся внутри конуса, если радиус их общего основания равен 5.
Д13
Диаметр основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость α пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Пусть М и N  — середины этих хорд, P  — точка пересечения прямой MN с осью цилиндра.
а)  Докажите, что расстояния от точки Р до плоскостей основания цилиндра относятся как 5 : 12.
б)  Найдите тангенс угла между плоскостью α и плоскостью основания цилиндра.
Д14
Перпендикулярные и равные ребра АD и ВС тетраэдра АВСD являются диаметрами двух оснований цилиндра, длина образующей которого равна длине ребра ВС.
а)  Докажите, что осевое сечение цилиндра, проходящее через ВС, делит высоту тетраэдра ABCD, опущенную на грань АВС, в отношении 5 : 3, считая от вершины D.
б)  Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади полной поверхности тетраэдра.
Д15
На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки K и М по одну сторону от диаметра основания АВ так, что плоскости ASK и BSM наклонены к плоскости основания конуса под углами $арктангенс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и $арктангенс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ причем точка М принадлежит дуге ВK, не содержащей точку А. Тангенс угла наклона образующей конуса к плоскости основания равен  $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$
а)  Докажите, что плоскость KMS наклонена к плоскости основания конуса под углом 60°.
б)  Найдите площадь треугольника SKM, если радиус основания конуса равен 2.
Д16
В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки M и N, а на окружности верхнего основания отмечены точки M₁ и K₁ так, что прямая MM₁ является образующей, перпендикулярной основаниям, а прямая NK₁ пересекает ось цилиндра.
а)  Докажите, что прямые MN и M₁K₁ перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми NK₁ и MM₁, если известно, что MN  =  20, M₁K₁  =  15.
Д17
Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB  — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
а)  Докажите, что ABCD  — квадрат.
б)  Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен $4.$
Д18
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.
а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.
б)  Найдите угол между прямыми ВВ₁ и АС₁, если АВ  =  8, ВВ₁  =  6, В₁С₁  =  15.
Д19
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M  — середина BC.
а)  Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б)  Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB  =  4, BC  =  6 и AS  =   $4 корень из 2 .$
Д20
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S. Точка M  — середина хорды BC, AC  — диаметр.
а)  Докажите, что угол между прямой SM и плоскостью ABC равен углу между прямой AB и плоскостью SBC.
б)  Найдите высоту конуса, если угол между прямой AB и плоскостью SBC равен 60°, AC  =  10, BC  =  8.
Д21
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.
а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.
б)  Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB  =  24, BB₁  =  11, B₁C₁  =  32.
Д22
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.
а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.
б)  Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB  =  21, BB₁  =  13, B₁C₁  =  28.

Тело	Площадь поверхности	Объём
Цилиндр (\(R\), \(H\))	\(S_{\text{бок}}=2\pi RH\), \(S_{\text{полн}}=2\pi R(R+H)\)	\(V=\pi R^2H\)
Конус (\(R\), \(H\), \(l\))	\(S_{\text{бок}}=\pi Rl\), \(S_{\text{полн}}=\pi R(R+l)\)	\(V=\dfrac13\pi R^2H\)
Усечённый конус (\(R\), \(r\), \(H\), \(l\))	\(S_{\text{бок}}=\pi l(R+r)\)	\(V=\dfrac13\pi H(R^2+Rr+r^2)\)
Шар, сфера (\(R\))	\(S=4\pi R^2\)	\(V=\dfrac43\pi R^3\)