Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.14. Комбинации фигур

Для репетитора: показать ответы

1. Что значит «вписан» и «описан»

В задачах этого типа одно тело «сидит» внутри другого: шар, цилиндр или конус комбинируют с призмой или пирамидой. Главное — сразу понять, как именно они касаются, и найти общий элемент (центр, радиус, высоту).

Шар описан около многогранника — все вершины многогранника лежат на сфере.
Шар вписан в многогранник — шар касается всех граней многогранника; расстояние от центра шара до каждой грани равно радиусу.
Призма вписана в цилиндр — основания призмы (равные многоугольники) вписаны в основания цилиндра, боковые рёбра призмы — образующие цилиндра.
Цилиндр вписан в призму — основания призмы — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра; грани призмы касаются боковой поверхности цилиндра.

2. Шар, описанный около многогранника

Центр описанной сферы лежит на пересечении серединных перпендикулярных плоскостей ко всем рёбрам.
Около любой треугольной пирамиды (тетраэдра) описать сферу можно, и она единственная.
Пирамида. Сферу можно описать тогда и только тогда, когда около основания можно описать окружность. Центр сферы лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведённом через центр этой окружности.
Если все боковые рёбра пирамиды равны (или наклонены к основанию под одним углом), вершина проектируется в центр окружности, описанной около основания, — значит, центр сферы лежит на высоте пирамиды (или её продолжении).
Призма. Сферу можно описать тогда и только тогда, когда призма прямая и около её основания можно описать окружность. Центр сферы — середина отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований (середина «оси» призмы).

Радиус описанной сферы

Прямая призма с высотой $H$ и радиусом описанной около основания окружности $r$: центр лежит на середине оси, и по теореме Пифагора $R^2=r^2+\left(\dfrac{H}{2}\right)^2$.
Правильная пирамида с высотой $h$ и радиусом описанной около основания окружности $r$: пусть $O$ — центр сферы на высоте, $R=OS$. Тогда расстояние от $O$ до основания равно $h-R$, и из прямоугольного треугольника с катетами $r$ и $h-R$ получаем $R^2=r^2+(h-R)^2$, откуда $R=\dfrac{h^2+r^2}{2h}$.
Правильный тетраэдр с ребром $a$: $R=\dfrac{a\sqrt6}{4}$.
Если известны координаты четырёх вершин, центр $(x_0;y_0;z_0)$ и радиус находят из системы $(x_k-x_0)^2+(y_k-y_0)^2+(z_k-z_0)^2=R^2$, $k=1,\dots,4$.

3. Шар, вписанный в многогранник

Центр вписанного шара лежит внутри многогранника и равноудалён от всех граней; он лежит на пересечении биссекторных плоскостей двугранных углов многогранника.
В любую треугольную пирамиду можно вписать шар, и притом один.
В правильную пирамиду шар можно вписать всегда; если боковые грани одинаково наклонены к основанию, центр вписанного шара — точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла двугранного угла при основании (то есть угла между апофемой и её проекцией на основание).
В прямую призму шар можно вписать тогда и только тогда, когда в основание вписывается окружность и диаметр этой окружности равен высоте призмы: $H=2r$. Центр шара — середина отрезка, соединяющего центры вписанных окружностей оснований.
Для любого многогранника, описанного около шара радиуса $r$: $V=\dfrac13\,S_{\text{полн}}\cdot r$, то есть $r=\dfrac{3V}{S_{\text{полн}}}$.
Правильный тетраэдр с ребром $a$: $r=\dfrac{a\sqrt6}{12}$ (в три раза меньше $R$).
Усечённая пирамида: шар вписывается тогда и только тогда, когда апофема равна сумме апофем (радиусов вписанных окружностей) оснований для правильной усечённой пирамиды; около любой правильной усечённой пирамиды шар описать можно.

4. Шар и тела вращения

Цилиндр. Шар вписывается в прямой круговой цилиндр тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний: высота равна диаметру основания. Тогда радиус шара равен радиусу цилиндра и половине высоты. Около любого цилиндра шар описать можно.
Конус. В любой прямой круговой конус можно вписать шар; центр лежит на высоте конуса и равноудалён от образующих и основания. Около любого конуса тоже можно описать шар.
Усечённый конус. Шар вписывается тогда и только тогда, когда образующая равна сумме радиусов оснований.
Осевое сечение шара — круг радиуса шара; осевое сечение цилиндра — прямоугольник (стороны: диаметр основания и высота); осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник (основание — диаметр, боковые стороны — образующие). Многие задачи удобно решать именно в осевом сечении.

5. Цилиндр и конус вместе с призмой и пирамидой

Правильная пирамида и конус. Если пирамида правильная, то конус, описанный около неё, имеет ту же высоту, а радиус его основания равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды. Вписанный в неё конус: радиус основания — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, высота та же.
Прямая призма и цилиндр. Цилиндр, описанный около прямой призмы, имеет ту же высоту, а радиус основания равен радиусу окружности, описанной около основания призмы. Вписанный в призму цилиндр: радиус равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.
Высота прямой призмы равна её боковому ребру; в правильной четырёхугольной призме диагонали делятся точкой пересечения пополам; квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

6. Алгоритм решения задач №15 с комбинациями тел

Определите, какое тело вписано, а какое описано, и проверьте, выполняются ли условия существования (прямая ли призма, вписывается ли окружность в основание, равны ли боковые рёбра и т. д.).
Найдите положение центра шара: на высоте пирамиды, на середине оси призмы, на оси цилиндра или конуса.
Выделите плоское сечение, где видны нужные отрезки (осевое сечение или плоскость через ось и центр основания), и найдите в нём прямоугольный треугольник с радиусом.
В части «доказательство» опирайтесь на определения: равенство расстояний от центра до вершин (описанный шар) или до граней (вписанный шар) и на перечисленные выше критерии.
В части «вычисление» подставляйте найденные радиусы в формулы объёмов и площадей поверхностей; для вписанного шара полезна связь $V=\tfrac13 S_{\text{полн}}\,r$.

Лайфхак 1. Ищите центр шара на высоте. У пирамиды с равными боковыми рёбрами центр описанного шара лежит на высоте, а у призмы — на середине отрезка между центрами описанных около оснований окружностей. Это сразу сводит стереометрию к одному прямоугольному треугольнику.

Лайфхак 2. Радиус вписанного шара через объём. Если известны объём и полная поверхность многогранника, используйте $r=\dfrac{3V}{S_{\text{полн}}}$ — не надо искать биссекторные плоскости.

Лайфхак 3. Чертите осевое сечение. Шар в цилиндре, конусе или рядом с ними в сечении превращается в окружность, вписанную (описанную) в прямоугольник или треугольник — задача становится плоской.

Лайфхак 4. Проверяйте условия вписанности. Шар в прямую призму вписывается только при $H=2r$, в цилиндр — только если цилиндр равносторонний; если условие не выполнено, шар в такой комбинации невозможен.

Разобранные примеры

Пример 1

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром $\sqrt{13}$ и стороной основания $6$ вписан шар. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ и шар пересекаются более чем в одной точке.
б) Найдите площадь сечения шара плоскостью $\alpha$.

Решение

Ответ: $(2\sqrt{3}-3{,}25)\pi$.

Пример 2

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 9 и радиусом основания 2 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а)  Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б)  Найдите объём пирамиды CABNM.

Решение

а)  Для построения сечения опустим перпендикуляры AM и BN на второе основание цилиндра. Отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM  — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Отрезки AN и BM равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.

б)  Площадь прямоугольника ABNM равна 9 · 2  =  18. Пусть H  — точка пересечения отрезков NM и CD. Отрезок OH равен $корень из: начало аргумента: 2 в квадрате минус 1 в квадрате конец аргумента = корень из 3 .$ Высота CH пирамиды CABNM равна $2 плюс корень из 3 .$ Следовательно, объём пирамиды CABNM равен:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 18 левая круглая скобка 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка =12 плюс 6 корень из 3 .$

Ответ: б) $12 плюс 6 корень из 3 .$

Источники

В. П. Чуваков, «Шары и многогранники», учебное пособие (Югорский физико-математический лицей-интернат, Ханты-Мансийск)
«Многогранники и шар: задачи 138–151», материалы математического кружка школы № 43, old.mccme.ru (МЦНМО)
«Многогранники и круглые тела: вписанные и описанные шары», учебная презентация, Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства
«Сценарии подготовки к ЕГЭ: стереометрия», egeturbo.ru

У1
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а)  Докажите, что площадь боковой поверхности пирамиды относится к площади основания как $корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента :2.$
б)  Найдите площадь этой сферы.
У2
В конус, радиус основания которого равен 6, вписан шар радиуса 3.
а)  Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.
б)  Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.
У3
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5.
а)  Докажите, что площадь поверхности меньшего шара не меньше, чем 32.
б)  Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
У4
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а)  Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б)  Найдите объём пирамиды CABNM.
У5
Вокруг куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 3 описана сфера. На ребре CC₁ взята точка M так, что плоскость, проходящая через точки A, B и M, образует угол 15° с плоскостью ABC.
a) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки A, B и M.
б)  Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы
У6
Две правильные четырехугольные пирамиды EABCD и FABCD имеют общее основание ABCD и расположены по разные стороны от него. Точки M и N  — середины рёбер AB и BC соответственно. Все ребра пирамид равны.
а)  Докажите, что угол между прямыми AE и BF равен 60°.
б)  Найдите угол между прямыми EM и FN.
У7
Конус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится к высоте конуса как 4 : 7.
а)  Докажите, что поверхность полусферы делит образующую конуса в отношении 33 : 32, считая от вершины конуса.
б)  Найдите площадь поверхности полусферы, находящейся внутри конуса, если радиус их общего основания равен 13.
У8
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ вписан шар. Плоскость α перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а)  Докажите, что плоскость α и шар не имеют общих точек.
б)  Найдите расстояние от центра шара до плоскости α.
У9
В правильной треугольной пирамиде DABC углы боковых граней при вершине пирамиды D  — прямые. Внутри пирамиды находится куб, диагональ которого совпадает с высотой пирамиды.
а)  Докажите, что ребро куба в три раза меньше бокового ребра пирамиды.
б)  Найдите площадь поверхности пирамиды DABC, если площадь поверхности куба равна 96.
У10
Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого 135°, а противолежащая ему сторона  $8 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$ Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 60°. Точка O  — центр сферы, описанной около данной пирамиды.
а)  Докажите, что точка O расположена между вершиной и основанием пирамиды.
б)  Найдите расстояние от точки O до плоскости основания.
У11
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а)  Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б)  Найдите объём пирамиды CABNM.
У12
Дан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM, перпендикулярной прямой CD, причём точка C и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.
а)  Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM равны.
б)  Найдите объём пирамиды CABNM.

Д1
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а)  Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды больше, чем $30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
б)  Найдите площадь вписанной сферы.
Д2
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а)  Докажите, что существует сечение пирамиды, проходящее через её вершину и являющееся тупоугольным треугольником.
б)  Найдите площадь вписанной сферы.
Д3
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4.
а)  Докажите, что площадь поверхности меньшего шара не меньше, чем 24.
б)  Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
Д4
Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A₁P  =  4.
а)  Докажите, что PBDC₁  — правильный тетраэдр.
б)  Найдите длину отрезка AP.
Д5
Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция. Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°.
а)  Докажите, что существует точка (центр описанной сферы), одинаково удаленная ото всех вершин пирамиды.
б)  Найдите радиус данной сферы, если дополнительно известно, что основания трапеции равны 8 и 18, а ее боковая сторона равна 13.
Д6
Внутри цилиндра расположен куб ABCDA₁B₁C₁D₁ так, что все его вершины лежат на поверхности цилиндра, причём вершины B и D₁ совпадают с центрами оснований, а остальные вершины лежат на боковой поверхности цилиндра.
а)  Докажите, что плоскость AB₁C параллельна основаниям цилиндра.
б)  Найдите объём цилиндра, если ребро куба равно 3.
Д7
Квадрат АВСD и прямой цилиндр расположены таким образом, что АВ  — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания цилиндра и касается его окружности.
а)  Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б)  Найдите длину находящейся снаружи цилиндра части отрезка BD, если образующая цилиндра равна $корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$
Д8
В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, $F B : F A = 27 : 8.$ Тангенс угла между прямой BC и плоскостью ABF равен 2, а точка M выбрана на ребре BC так, что $BM : MC = 1: 2.$ Точка T лежит на прямой AF и равноудалена от точек М и В. Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре AB, площадь поверхности этой сферы равна 16π.
а)  Докажите, что треугольники ABC и ABF  — прямоугольные.
б)  Найдите объем пирамиды АСМT.
Д9
В правильную четырехугольную пирамиду PABCD вписан куб, одна грань которого лежит в плоскости основания АВСD пирамиды, а все вершины противоположной грани лежат на апофемах боковых граней пирамиды. Ребро куба в 2,5 раза меньше высоты пирамиды.
а)  Докажите, что вершины куба делят апофемы боковых граней пирамиды в отношении 3 : 2, считая от вершины пирамиды.
б)  Найдите площадь поверхности пирамиды, если площадь поверхности куба равна 108.
Д10
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ а высота равна $1,$ вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а)  Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды равен $30 градусов.$
б)  Найдите площадь этой сферы.
Д11
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 5, а высота равна 3, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а)  Докажите, что площадь боковой поверхности пирамиды относится к площади основания как $корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента :2.$
б)  Найдите площадь этой сферы.
Д12
Дан прямой круговой цилиндр высотой 3 и радиусом 8. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM, перпендикулярной прямой CD, причём точка C и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.
а)  Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM равны.
б)  Найдите объём пирамиды CABNM.