Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.2. Расстояние между точками, от точки до прямой

Для репетитора: показать ответы

1. Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками — длина соединяющего их отрезка. В стереометрии его почти всегда находят из некоторого плоского треугольника, лежащего в грани или в сечении:

если треугольник прямоугольный — по теореме Пифагора $c^2=a^2+b^2$ или через $\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$;
если нет — по теореме косинусов $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ или по теореме синусов;
в координатах: для $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$ длина $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$; середина отрезка имеет координаты, равные полусуммам координат концов.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2=a^2+b^2+c^2$. Для куба с ребром $a$ получаем $d=a\sqrt3$; диагональ грани куба равна $a\sqrt2$. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. Расстояние от точки до прямой

Это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.

Способ 1. Через плоский треугольник

Точку $P$ и прямую $l$ всегда можно поместить в одну плоскость. Пусть на прямой $l$ выбраны точки $A$ и $B$. Тогда искомое расстояние — высота треугольника $PAB$, проведённая из вершины $P$:

$h=\dfrac{2S_{PAB}}{AB}$ (площадь можно найти по формуле Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр);
$h=PA\cdot\sin\angle PAB$, где косинус угла находят по теореме косинусов;
для равнобедренного треугольника высота к основанию $h=\sqrt{b^2-\left(\tfrac a2\right)^2}$, где $b$ — боковая сторона, $a$ — основание.

Способ 2. Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема. Если прямая, лежащая в плоскости, проходит через основание наклонной и перпендикулярна её проекции на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. Обратная теорема: если такая прямая перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Для расстояния от точки до прямой это работает так: опустите перпендикуляр $PH$ на плоскость, содержащую прямую $l$; затем из основания $H$ проведите $HK\perp l$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $PK\perp l$, то есть $PK$ — искомое расстояние, а длину находят из прямоугольного треугольника $PHK$: $PK=\sqrt{PH^2+HK^2}$.

Способ 3. Координаты и векторы

Введите систему координат и найдите координаты точек $P$, $A$, $B$ (где $A,B$ лежат на прямой).
Найдите косинус угла при вершине $A$ через скалярное произведение: $\cos\angle PAB=\dfrac{\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AP}|\cdot|\overrightarrow{AB}|}$.
Найдите синус: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$, затем расстояние $h=AP\cdot\sin\alpha$.

Скалярное произведение векторов $\vec a=(x_1;y_1;z_1)$ и $\vec b=(x_2;y_2;z_2)$: $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$.

3. Полезные факты для вычислений

Правильная пирамида: основание — правильный многоугольник, высота проходит через его центр, боковые грани — равные равнобедренные треугольники; высота боковой грани называется апофемой (её не нужно путать с высотой пирамиды).
Если все боковые рёбра пирамиды равны, её высота проходит через центр окружности, описанной около основания; если равны двугранные углы при основании — через центр вписанной окружности.
Высота пирамиды из вершины к центру основания находится по теореме Пифагора через боковое ребро и расстояние от центра основания до вершины основания.

4. Типичный путь решения

Сделайте аккуратный выносной чертёж нужного треугольника или сечения и отметьте на нём все известные длины.
Найдите стороны треугольника, в котором лежит искомый отрезок (Пифагор, теорема косинусов).
Для расстояния от точки до прямой — найдите высоту треугольника (через площадь или тригонометрию) либо используйте теорему о трёх перпендикулярах.
Если фигура «прямоугольная» и чертёж не помогает — введите координаты и посчитайте по формулам.

Лайфхак 1. Высота через площадь. Если известны три стороны треугольника, расстояние от вершины до противоположной стороны проще всего получить так: площадь по формуле Герона, затем $h=\dfrac{2S}{a}$.

Лайфхак 2. Не путайте высоты. Высота грани пирамиды (апофема) и высота самой пирамиды — разные отрезки; на чертеже подпишите их сразу.

Лайфхак 3. Проверяйте косинус и синус. Прежде чем вычислять дальше, убедитесь, что значения лежат в допустимых пределах ($|\cos\alpha|\le1$, $|\sin\alpha|\le1$); иначе где-то в координатах допущена ошибка.

Лайфхак 4. Два метода — надёжнее. Расстояние можно получить и геометрически, и в координатах. Если есть время, сверьте ответы.

Разобранные примеры

Пример 1

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра равны 10.

а)  Докажите, что прямая EC₁ перпендикулярна прямой B₁C₁.

б)  Найдите расстояние от точки E до прямой B₁C₁.

Решение

а)  Так как ABCDEF  — правильный шестиугольник, прямые BC и CE перпендикулярны. Поскольку прямые BC и B₁C₁ параллельны, CE перпендикулярно B₁C₁. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах EC₁ перпендикулярна B₁C₁.

б)  Таким образом, длина отрезка EC₁ равна искомому расстоянию. По условию CC₁  =  10, диагональ правильного шестиугольника $CE=10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Тогда по теореме Пифагора для треугольника ECC₁ находим, что EC₁  =  20.

Ответ: 20.

Пример 2

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.

а)  Докажите, что прямые SC и AE перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние от точки C до прямой SF.

Решение

а)  Заметим, что в правильном шестиугольнике диагонали AE и FC перпендикулярны. Вершина S проектируется в центр шестиугольника, который лежит на FC, поэтому проекция SF на плоскость основания  — прямая $FC.$ Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, $SC\perp AE.$

б)  Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне шестиугольника. Значит, $FC=2.$ Поэтому треугольник FSC  — равносторонний. Следовательно, высота CM этого треугольника равна $дробь: числитель: FS умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Источники

«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017
«Теорема о трёх перпендикулярах», Википедия
«Параллелепипед», Википедия
«Метод объёмов в стереометрии», урок.1сентября.ру (urok.1sept.ru)
«Пирамида (геометрия)», znanierussia.ru
Конспект «Координатно-векторный метод для стереометрии», методический материал для подготовки к ЕГЭ, iro23.ru

У1
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 1.
а)  Докажите, что расстояние от точки C до плоскости $ADD_1$ меньше, чем расстояние от точки C до прямой $AD_1.$
б)  Найдите расстояние от точки C до прямой AD₁
У2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.
а)  Докажите, что точки D₁, E и F₁ лежат на сфере с центром в точке B.
б)  Найдите расстояние от точки B до прямой F₁E₁.
У3
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ высота равна 1, а ребро основания равно 2.
а)  Докажите, что объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$ вдвое больше объема пирамиды $ACBС_1.$
б)  Найдите расстояние от точки A₁ до прямой BC₁.
У4
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром $2 корень из 2 .$ Точки М и Т  — середины ребер AD и A₁B₁ соответственно.
а)  Докажите, что $A_1C_1\perp MT.$
б)  Найдите расстояние от середины ребра B₁C₁ до прямой МТ.
У5
В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, отметили середину ребра CD  — точку E.
а)  Докажите, что плоскость ABE перпендикулярна ребру CD.
б)  Найдите расстояние от точки A до прямой BE.
У6
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ высота равна 2, сторона основания равна 1.
а)  Докажите, что точки A₁ и B равноудалены от плоскости AB₁C₁.
б)  Найдите расстояние от точки B₁ до прямой AC₁.
У7
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N  — середина ребра AC, точка O  — центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а)  Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.
б)  Найдите расстояние от точки B до прямой NP.
У8
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны $5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Тангенс угла между прямыми DM и AL равен $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ L  — середина ребра MB.
а)  Докажите, что плоскости ACL и MDB перпендикулярны.
б)  Найдите высоту данной пирамиды.
У9
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4.
а)  Докажите, что плоскости $CD_1E_1$ и $AEE_1$ перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки С до прямой D₁E₁.
У10
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно $корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ,$ высота  — $корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента .$
а)  Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середину ребра AD и точки M и T  — середины ребер CS и ВС соответственно, является равнобедренной трапецией.
б)  Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой MT.
У11
Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.
а)  Докажите, что AA₁  =  AC.
б)  Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC  =  6, BC  =  3.
У12
В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN₁, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок KM₁ пересекает ось цилиндра, а точки K и M₁ лежат на окружностях нижнего и верхнего основания соответственно.
а)  Докажите, что треугольник KNM₁ прямоугольный.
б)  Найдите расстояние от точки N до прямой KM₁, если KN  =  9, $NN_1=20 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ N₁M₁  =  20.
У13
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным 6, на ребре AA₁ взята точка M так, что $дробь: числитель: AM, знаменатель: MA_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ На ребре D₁C₁ взята точка N так, что $дробь: числитель: D_1N, знаменатель: NC_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$
а)  Докажите, что прямые MB₁ и CN перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки M до прямой CN.
У14
Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной $D.$ Боковое ребро пирамиды равно $корень из: начало аргумента: 46 конец аргумента ,$ высота равна $корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента .$
а)  Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середины ребер BD, AC и AD, является прямоугольником.
б)  Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой MT, где точки M и T  — середины ребер AC и AD соответственно.
У15
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ высота равна 3, а ребро основания равно 4.
а)  Докажите, что точки A и B₁ равноудалены от плоскости BA₁C₁.
б)  Найдите расстояние от точки A₁ до прямой BC₁.
У16
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны $4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Тангенс угла между прямыми DM и AL равен $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ L  — середина ребра MB.
а)  Докажите, что плоскости ACL и MDB перпендикулярны.
б)  Найдите высоту данной пирамиды.
У17
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания равны 4, а боковые ребра равны 3.
а)  Докажите, что плоскости $BC_1D_1$ и $FDD_1$ перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки В до прямой C₁D₁.
У18
Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.
а)  Докажите, что AA₁  =  AС.
б)  Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC  =  7, BC  =  8.
У19
Точка O  — центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF. Точки K, L, M, T  — середины отрезков AF, SF, SD, MK соответственно.
а)  Докажите, что точка T лежит на отрезке LO.
б)  Найдите CT, если сторона основания пирамиды равна 12, а высота пирамиды равна 32.
У20
Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна $корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента ,$ высота равна $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$
а)  Докажите, что сечение, проходящее через середину бокового ребра BD и точки М и Т (середины ребер АС и AВ соответственно), является прямоугольником.
б)  Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ.
У21
Основанием прямой призмы MNKM₁N₁K₁ является прямоугольный треугольник MNK, у которого угол N равен 90°, угол M равен 60°, NK = 18. Диагональ боковой грани M₁N составляют угол 30° с плоскостью MM₁K₁.
а)  NE − высота треугольника $NKM.$ Докажите, что $\angle NM_1E=30 градусов$
б)  Найдите высоту призмы.
У22
Длины ребер BC, BB₁ и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 8, 12 и 9.
а)  Докажите, что расстояние от вершины $A_1$ до прямой $D_1C$ больше, чем расстояние от вершины $D_1$ до прямой $A_1C.$
б)  Найдите расстояние от вершины D₁ до прямой A₁C.

Д1
Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна $корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ,$ высота равна $корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента .$
а)  Докажите, что сечение, проходящее через середину бокового ребра BD и точки М и Т (середины ребер АС и AВ соответственно), является прямоугольником.
б)  Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ.
Д2
Дана правильная треугольной призма ABCA₁B₁C₁
а)  Докажите, что плоскость α, проходящая через прямую AB₁ и центр грани ACC₁A₁, делит объем призмы в отношении 2 : 1.
б)  Пусть высота призмы равна 2, сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки B₁ до прямой AC₁.
Д3
Длины ребер AB, AA₁ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 12, 16 и 15.
а)  Докажите, что объем пирамиды A₁BDC₁ втрое меньше объема параллелепипеда.
б)  Найдите расстояние от вершины A₁ до прямой BD₁.
Д4
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
а)  Докажите, что прямые SE и AC перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки C до прямой SA.
Д5
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, сторона основания равна 1, а боковое ребро равно $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$
а)  Докажите, что прямые AS и BD перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки C до прямой SA.
Д6
В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, $AC=10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Диагональ боковой грани B₁C составляет угол 30° с плоскостью AA₁B₁.
а)  CE  — высота треугольника $ABC.$ Докажите, что угол $B_1EC$ прямой.
б)  Найдите высоту призмы.
Д7
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Длина ребра куба равна 1.
а)  Докажите, что расстояние от середины отрезка BC₁ до плоскости AB₁D₁ равно расстоянию середины отрезка BC₁ до прямой, проходящей через середину отрезка $AD_1$ и вершину $B_1.$
б)  Найдите это расстояние.
Д8
Длины ребер AB, AA₁ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 12, 16 и 15.
а)  Докажите, что расстояние от вершины $D_1$ до прямой $A_1B$ больше, чем расстояние от вершины A₁ до прямой BD₁.
б)  Найдите расстояние от вершины A₁ до прямой BD₁.
Д9
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра равны 1.
а)  Докажите, что прямая $BF_1$ перпендикулярна прямой $F_1E_1.$
б)  Найдите расстояние от точки B до прямой E₁F₁.
Д10
Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, сторона которого равна $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а угол ВАD равен 60°.
а)  Докажите, что прямые $AC_1$ и BD перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки А до прямой C₁D₁, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.
Д11
Точки P и Q  — середины рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно.
а)  Докажите, что прямая BQ перпендикулярна прямой B₁P.
б)  Пусть H  — проекция точки Q на прямую B₁P. Найдите PH, если AB  =  12.
Д12
Точка O  — центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF. Точки K, L, M, T  — середины отрезков AF, SF, SD, MK соответственно.
а)  Докажите, что точка T лежит на отрезке LO.
б)  Найдите CT, если сторона основания пирамиды равна 4, а высота пирамиды равна 48.
Д13
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P, K, L  — середины ребер АА₁, A₁D₁, B₁C₁ соответственно, точка Q  — центр грани CC₁D₁D. Отрезок MN c концами на прямых AD и KL соответственно пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей.
а)  Докажите, что AM : MD  =  5 : 1.
б)  Найдите длину отрезка MN, если сторона куба равна 3.
Д14
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 2, а боковые рёбра равны 4.
а)  Докажите, что прямые SE и AC перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки C до прямой SA.
Д15
В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, $AC=8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Диагональ боковой грани B₁C составляет угол 30° с плоскостью AA₁B₁.
а)  Отрезок CE  — высота треугольника $ABC.$ Докажите, что угол $B_1EC$   — прямой.
б)  Найдите высоту призмы.
Д16
Длины ребер BC, BB₁ и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 12, 4 и 3.
а)  Докажите, что расстояние от вершины $A_1$ до прямой $D_1C$ больше, чем расстояние от вершины D₁ до прямой A₁C.
б)  Найдите расстояние от вершины D₁ до прямой A₁C.
Д17
Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а угол ACB равен 120°.
а)  Докажите, что $AB_1 больше AC_1.$
б)  Найдите расстояние от точки A до прямой B₁C₁, если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.
Д18
Точки P и Q  — середины рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно.
а)  Докажите, что прямая BQ перпендикулярна прямой B₁P.
б)  Пусть H  — проекция точки Q на прямую B₁P. Найдите B₁H, если AB  =  24.
Д19
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным 8, на ребре AA₁ взята точка M так, что $дробь: числитель: AM, знаменатель: MA_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ На ребре D₁C₁ взята точка N так, что $дробь: числитель: D_1N, знаменатель: NC_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$
а)  Докажите, что прямые MB₁ и CN перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки M до прямой CN.
Д20
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ высота равна 1, а ребро основания равно 2.
а)  Докажите, что точки A и $B_1$ равноудалены от плоскости $A_1BC_1.$
б)  Найдите расстояние от точки A₁ до прямой BC₁.
Д21
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$ L  — середина ребра MB.
а)  Докажите, что плоскости ACL и MDB перпендикулярны.
б)  Найдите высоту данной пирамиды.
Д22
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 4.
а)  Докажите, что плоскости $AB_1C_1$ и $ECC_1$ перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки A до прямой B₁C₁.