Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.3. Расстояние от точки до плоскости

Для репетитора: показать ответы

1. Определение и основные факты

Расстояние от точки до плоскости (если точка не лежит в плоскости) — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Основание перпендикуляра — проекция точки на плоскость.

Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AH$ и наклонная $AM$; отрезок $HM$ — проекция наклонной. Перпендикуляр короче любой наклонной: \(AH
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны; если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая тоже.
Теорема о трёх перпендикулярах: если прямая в плоскости проходит через основание наклонной и перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной (и обратно).
Признаки перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны; если две плоскости перпендикулярны, то прямая одной из них, проведённая перпендикулярно линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.

2. Способ 1. По определению: строим перпендикуляр

Нужно построить перпендикуляр к плоскости и обосновать, что он ей перпендикулярен (признаком перпендикулярности прямой и плоскости или теоремой о трёх перпендикулярах), а затем найти его длину из прямоугольного треугольника.

Частый приём: провести через данную точку плоскость, перпендикулярную данной плоскости $\alpha$. Если из точки внутри этой вспомогательной плоскости опустить перпендикуляр на линию пересечения плоскостей, он будет перпендикулярен и самой плоскости $\alpha$. Для пирамиды это обычно высота какого-нибудь треугольника в сечении, перпендикулярном ребру основания.

3. Способ 2. Параллельный перенос точки

Если через точку $M$ проходит прямая (или плоскость), параллельная плоскости $\alpha$, то все её точки удалены от $\alpha$ на одно и то же расстояние. Значит, расстояние от $M$ до $\alpha$ равно расстоянию до $\alpha$ от любой другой точки $P$ этой прямой (плоскости). Берут ту точку, для которой перпендикуляр проще: например, лежащую в удобном сечении или на ребре.

4. Способ 3. Метод объёмов

Идея: расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ — это высота пирамиды с вершиной $A$ и основанием, лежащим в $\alpha$. Объём такой пирамиды считают двумя способами.

$V=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h$, откуда $h=\dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$.
Для тетраэдра $DABC$: объём равен $\dfrac13S_{ABC}\cdot DE=\dfrac13S_{DBC}\cdot AH$, поэтому расстояние от $A$ до плоскости $DBC$ равно $AH=\dfrac{S_{ABC}\cdot DE}{S_{DBC}}$.

Алгоритм.

Выберите треугольную пирамиду, у которой данная точка — вершина, а нужная плоскость содержит основание.
Найдите площадь этого основания (часто треугольник со сторонами-диагоналями граней — равносторонний или равнобедренный; площадь можно найти по формуле Герона).
Найдите объём той же пирамиды, приняв за основание другую грань, для которой высота очевидна (например, грань, лежащую в основании куба или призмы).
Приравняйте объёмы и выразите искомую высоту.

Пример идеи: расстояние от вершины $C$ куба до плоскости $BDC_1$ — высота пирамиды $BCDC_1$. Объём считают один раз с основанием $BCD$ и высотой $CC_1$, другой раз с основанием $BDC_1$ (равносторонний треугольник) и искомой высотой.

5. Способ 4. Метод координат

Введите систему координат: начало — в вершине, оси — по рёбрам или по высоте; расставьте координаты всех нужных точек.
Составьте уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ по трём её точкам. Коэффициенты $A,B,C$ — координаты нормали $\vec n$.
Подставьте координаты точки $M(x_0;y_0;z_0)$ в формулу $\rho=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Уравнение плоскости через точку $M_0(x_0;y_0;z_0)$ с нормалью $\vec n=(A;B;C)$: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$. Нормаль можно найти как вектор, перпендикулярный двум векторам плоскости: $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ и $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$.

Пример: плоскость $15x+8z-240=0$, точка $P(4;12;7{,}5)$: $\rho=\dfrac{|15\cdot4+8\cdot7{,}5-240|}{\sqrt{15^2+8^2}}=\dfrac{120}{17}$.

6. Как выбрать способ

Видно, как провести перпендикуляр (высота пирамиды, перпендикуляр к грани куба или призмы) — способ 1.
Плоскость трудно «увидеть» (сечение через три вершины) — метод объёмов или координат.
Нужно найти расстояние от точки, лежащей на прямой, параллельной плоскости — перенесите точку (способ 2).
Не хватает воображения — метод координат: он не требует ни сечений, ни перпендикуляров, достаточно знать положение точек.

Лайфхак 1. Сначала подумайте о методе объёмов. Он не требует строить перпендикуляр и обосновывать его перпендикулярность: нужны только объём и площадь грани.

Лайфхак 2. Ищите параллельность. Если в условии или в фигуре есть прямая, параллельная плоскости, перенесите точку вдоль неё в более удобное место.

Лайфхак 3. Нули в координатах. Выбирайте начало координат и оси так, чтобы как можно больше точек имели нулевые координаты, и используйте симметрию фигуры.

Лайфхак 4. Точка пересечения — на ребре. Если по ходу решения находится точка пересечения прямой с плоскостью, проверьте, что она лежит именно на нужном отрезке (ребре), а не только на продолжении прямой.

Типичные ошибки. Не обосновывают, что построенный отрезок действительно перпендикулярен плоскости; путают высоту грани и высоту пирамиды; допускают ошибки в формулах объёма (забывают множитель $\dfrac13$ для пирамиды).

Разобранные примеры

Пример 1

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.

а)  Докажите, что плоскости $DEA_1$ и $BDD_1$ перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние от точки B до плоскости DEA₁.

Решение

а)  Прямые BB₁ и DB перпендикулярны прямой ED. Плоскость DEA₁, содержащая прямую ED, перпендикулярна плоскости BB₁D по признаку перпендикулярности плоскостей.

б)  Искомое расстояние равно высоте BH прямоугольного треугольника BB₁D, в котором BB₁  =  1, $BD = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ B₁D  =  2:

$BH= дробь: числитель: BB_1 умножить на BD, знаменатель: B_1D конец дроби = дробь: числитель: 1 умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Пример 2

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  12 и $BC=5 корень из 3 .$ Длины боковых рёбер пирамиды SA  =  5, SB  =  13, SD  =  10.

а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.

б)  Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

Решение

а)  Заметим, что $AB в квадрате плюс SA в квадрате =SB в квадрате$ и $SA в квадрате плюс AD в квадрате =SD в квадрате ,$ поэтому стороны SA и AB, SA и AD перпендикулярны, значит, ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды.

б)  Опустим из A перпендикуляр на SB. Он будет перпендикулярен также BC, поскольку сторона BC перпендикулярна плоскости ASB, так как стороны SA и BC, AB и BC перпендикулярны. Поэтому его длина и есть расстояние от A до плоскости SBC. Вычислим ее:

$d левая круглая скобка A,SB правая круглая скобка = дробь: числитель: 2S_ASB, знаменатель: SB конец дроби = дробь: числитель: 5 умножить на 12, знаменатель: 13 конец дроби = дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$

Источники

«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017
«Метод объёмов в стереометрии», урок.1сентября.ру (urok.1sept.ru)
«Стереометрия: параллельность, перпендикулярность, углы, расстояния», конспект, физический факультет МГУ (am.phys.msu.ru)
«Координатный метод для углов и расстояний в стереометрии», научная статья, Тюменский государственный университет (elib.utmn.ru), 2022
«Координатно-векторный метод для стереометрии», методический материал, iro23.ru
«Теорема о трёх перпендикулярах», Википедия

У1
Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, у которого AB  =  10, BD  =  12. Высота призмы равна 6.
а)  Докажите, что прямые $A_1C$ и BD перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от центра грани A₁B₁C₁D₁ до плоскости BDC₁.
У2
В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,$ высота призмы равна $2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$
а)  Докажите, что сечение призмы плоскостью BCM, где M  — середина ребра A₁C₁, является прямоугольной трапецией.
б)  Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости BCM.
У3
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны 1.
а)  Докажите, что плоскость FB₁C₁ перпендикулярна плоскости BB₁F.
б)  Найдите расстояние от точки В до плоскости FB₁C₁.
У4
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро $SA= корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ сторона основания равна 2.
а)  Докажите, что точки B и S равноудалены от плоскости ADM, где M  — середина ребра SC.
б)  Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM.
У5
Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 1.
а)  Докажите, что прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $ACD_1.$
б)  Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD₁.
У6
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA  =  AQ  =  RC  =  2.
а)  Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б)  Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
У7
В правильной четырёхугольной призме АВСDА₁В₁С₁D₁ сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно $3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ На ребрах BC и C₁D₁ отмечены точки К и L соответственно, причём ВК  =  4, C₁L  =  5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.
а)  Докажите, что прямая AC₁ перпендикулярна плоскости γ.
б)  Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости γ.
У8
На рёбрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP  =  4, а B₁Q  =  3. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке М.
а)  Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.
б)  Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.
У9
В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC  =  4, BC  =  16, $AA_1=4 корень из 2 .$ Точка Q  — середина ребра A₁B₁, а точка P делит ребро B₁C₁ в отношении 1 : 2, считая от вершины C₁. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке M.
а)  Докажите, что точка M является серединой ребра CC₁.
б)  Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости APQ.
У10
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB  =  4 и диагональю BD  =  7. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS  — точка F так, что SF  =  BE  =  3.
а)  Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б)  Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
У11
В правильной четырехугольной призме АВСDA₁B₁C₁D₁ на боковых ребрах АА₁ и DD₁ взяты соответственно точки К и М так, что АК : А₁К  =  2 : 3, DM : D₁M  =  4 : 1.
а)  Докажите, что плоскость ВМК параллельна прямой АС.
б)  Найдите расстояние от точки А до плоскости ВМК, если АВ  =  8, АА₁  =  10.
У12
В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  4 и BC  =   $корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента ,$ все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребрах AM и AB  — точка F и G соответственно так, что MF  =  BE  =  BG  =  3.
а)  Докажите, что плоскость GEF проходит через точку C.
б)  Найдите длину отрезка, по которому плоскость GEF пересекает грань CMD пирамиды.
У13
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AD  =  14, высота SH  =  24. Точка P  — середина бокового ребра SD, а точка N  — середина ребра CD. Плоскость ABP пересекает боковое ребро SC в точке K.
а)  Докажите, что прямая KP пересекает отрезок SN в его середине.
б)  Найдите расстояние от точки K до плоскости ABS.
У14
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания AC равна $10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а боковое ребро равно $3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$ На ребре AC отмечена точка E так, что $AE= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Точки F, N  — середины сторон A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Плоскость α параллельна прямой AB и содержит точки E и N.
а)  Докажите, что прямая CF перпендикулярна плоскости α.
б)  Найдите расстояние от точки F до плоскости α.
У15
На ребрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причем DP  =  4, а B₁Q  =  3. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке M.
а)  Докажите, что точка M является серединой ребра CC₁.
б)  Найдите расстояние от точки C до плоскости APQ.
У16
В правильной треугольной пирамиде MNPQ с вершиной M сторона основания равна 15, высота равна $корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$ На ребрах NP, NQ и NM отмечены точки E, F, K соответственно, причем NE  =  NF  =  3 и $NK= дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби .$
а)  Докажите, что плоскости EFK и MPQ параллельны.
б)  Найдите расстояние от точки K до плоскости MPQ.
У17
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами $AB= корень из 5$ и $BC=2.$ Длины боковых ребер пирамиды $SA= корень из 7 ,SB=2 корень из 3 ,SD= корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$
а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.
б)  Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
У18
В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $4 корень из 1 0;$ высота призмы равна $4 корень из 5 .$
а)  Докажите, что сечение призмы плоскостью BCM, где M  — середина ребра A₁C₁, является прямоугольной трапецией.
б)  Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости BCM.
У19
Отрезок KM ― диаметр основания конуса, отрезок AK ― образующая этого конуса, которая в 3 раза больше радиуса его основания. Хорда основания ML составляет с прямой KM угол 45°. Через AK проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой ML.
а)  Докажите, что треугольник AKN, где KN - хорда основания, параллельная ML, является искомым сечением.
б)  Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.
У20
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 15, а сторона основания равна 12.
а)  Докажите, что $AS\perp BC.$
б)  Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
У21
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что $PA=AQ=RC=2.$
а)  Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б)  Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
У22
На рёбрах DD₁ и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 8 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP  =  7, а B₁Q  =  3. Плоскость A₁PQ пересекает ребро CC₁ в точке М.
а)  Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.
б)  Найдите расстояние от точки С₁ до плоскости A₁PQ.
У23
В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона АВ основания равна 10, а боковое ребро АА₁ равно 9. На ребре СС₁ отмечена точка М, причем СМ  =  5.
а)  Точки О и О₁  — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А₁В₁С₁ соответственно. Докажите, что прямая ОО₁ содержит точку пересечения медиан треугольника АВМ.
б)  Найдите расстояние от точки А₁ до плоскости АВМ.
У24
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена высота SH. K  — середина ребра SD, N  — середина ребра CD. Плоскость ABK пересекает ребро SC в точке P.
а)  Докажите, что прямая PK делит отрезок NS пополам.
б)  Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS, если SH = 15, CD = 16.
У25
Точка S лежит вне плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что $AB=6 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента ,$ ВС  =  5, SA  =  12, SB  =  30, SD  =  13.
а)  Докажите, что прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.
б)  Найдите расстояние от точки А до плоскости SCB.

Д1
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1, T  — середина ребра AD.
а)  Докажите, что объем пирамиды $AA_1TB$ в 12 раз меньше объема куба.
б)  Найдите расстояние от вершины A до плоскости A₁BT.
Д2
Ребро основания правильной треугольной призмы LMNL₁M₁N₁ равно её высоте и равно $2 корень из 5 .$
а)  Докажите, что сечение призмы, проходящее через $L, M_1$ и точку T  — середину ребра $L_1N_1,$ является прямоугольным треугольником.
б)  Найдите расстояние от точки L₁ до плоскости LM₁T.
Д3
Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP  ― образующая этого конуса и AP  =  AC. Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Радиус основания конуса равен 1.
а)  Докажите, что треугольник ADP, где $AD||BC$ и AD  — хорда основания, является искомым сечением.
б)  Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения.
Д4
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6.
а)  Докажите, что $AS\perp BC.$
б)  Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Д5
В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ высота равна 1, а сторона основания равна $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Точка M  — середина ребра AA₁.
а)  Докажите, что пирамиды $MDD_1C_1$ и $ACDD_1$ равновелики.
б)  Найдите расстояние от точки M до плоскости DA₁C₁.
Д6
В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК  =  1. Точки М и L  — середины рёбер А′С′ и В′С′ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
а)  Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ.
б)  Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.
Д7
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM  =  DN  =  4 и AK  =  3.
а)  Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б)  Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
Д8
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B₁C₁ и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC₁  =  3, а AQ  =  4. Плоскость A₁PQ пересекает ребро BC в точке M.
а)  Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б)  Найдите расстояние от точки B до плоскости A₁PQ.
Д9
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
а)  Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC и SA, пополам.
б)  Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если $SA= корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ AB  =  AC  =  5, $BC=2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$
Д10
В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона АВ основания равна 8, а боковое ребро АА₁ равно 7. На ребре СС₁ отмечена точка М, причем СМ  =  1.
а)  Точки О и О₁  — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А₁В₁С₁ соответственно. Докажите, что прямая ОО₁ содержит точку пересечения медиан треугольника АВМ.
б)  Найдите расстояние от точки А₁ до плоскости АВМ.
Д11
ABCA₁B₁C₁  — правильная призма, сторона AB равна 16. Через точки M и P, лежащие на рёбрах AC и BB₁ соответственно, проведена плоскость α, параллельная прямой AB. Сечение призмы этой плоскостью  — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.
а)  Докажите что периметр сечения призмы плоскостью α больше 40.
б)  Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если упомянутый периметр равен 46.
Д12
Точка K лежит на стороне AB основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD, все ребра которой равны. Плоскость α проходит через точку K параллельно плоскости ASD. Сечение пирамиды плоскостью α   — четырехугольник, в который можно вписать окружность.
а)  Докажите, что BK  =  2AK.
б)  Найдите расстояние от вершины S до плоскости α, если все рёбра пирамиды равны 1.
Д13
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 12, а боковое ребро SA равно 17. На ребрах АВ и SB отмечены точки K и L соответственно, причем $AK=SL=7.$ Плоскость α проходит через точки К, L и С.
а)  Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б)  Найдите расстояние от вершины пирамиды S до плоскости α.
Д14
Основанием правильной треугольной пирамиды MABC является треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и BC проведена плоскость α.
а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником.
б)   Найдите расстояние от вершины C до плоскости α.
Д15
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра BC  =  8, CD  =  3, BB₁  =  6. Точка Q  — середина ребра CC₁.
а)  Докажите, что угол между плоскостями BD₁Q и ABC равен $арккосинус дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 137 конец аргумента конец дроби .$
б)  Найдите расстояние от точки A до плоскости BD₁Q.
Д16
Точка S лежит вне плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что АВ  =  8, ВС  =  12, SA  =  6, SB  =  10, $SD=6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$
а)  Докажите, что прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.
б)  Найдите расстояние от точки А до плоскости SCB.
Д17
Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, AB  =  AC  =  5, BC  =  6. Высота призмы равна 3.
а)  Докажите, что плоскость, проходящая через точки A, A₁ и середину ребра B₁C₁, перпендикулярна плоскости $A_1BC.$
б)  Найдите расстояние от середины ребра B₁C₁ до плоскости BCA₁.
Д18
Ребро основания правильной треугольной призмы LMNL₁M₁N₁ равно её высоте и равно $8 корень из 5 .$
а)  Докажите, что сечение призмы, проходящее через $L, M_1$ и точку T  — середину ребра $L_1N_1,$ является прямоугольным треугольником.
б)  Найдите расстояние от точки L₁ до плоскости LM₁T.
Д19
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро $SA=2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ сторона основания равна 4.
а)  Докажите, что точки B и S равноудалены от плоскости ADM, где M  — середина ребра SC.
б)  Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM.
Д20
Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 1.
а)  Докажите, что точки B и $C_1$ равноудалены от плоскости $ACD_1.$
б)  Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD₁.
Д21
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 12, а боковое ребро AA₁ равно $3 корень из 6 .$ На рёбрах AB и B₁C₁ отмечены точки K и L, соответственно, причём AK  =  2, а B₁L  =  4. Точка M  — середина ребра A₁C₁. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.
а)  Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б)  Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Д22
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB  =  5 и диагональю BD  =  9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS  — точка F так, что SF  =  BE  =  4.
а)  Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б)  Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
Д23
ABCA₁B₁C₁  — правильная призма, сторона AB равна 25. Через точки M и P, лежащие на рёбрах AC и BB₁ соответственно, проведена плоскость α, параллельная прямой AB. Сечение призмы этой плоскостью  — четырёхугольник, одна сторона которого равна 25, а три другие равны между собой.
а)  Докажите что периметр сечения призмы плоскостью α больше 62,5.
б)  Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если упомянутый периметр равен 64.
Д24
Основанием правильной треугольной пирамиды MABC является треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и AB проведена плоскость α.
а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником.
б)   Найдите расстояние от вершины C до плоскости α.
Д25
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  8 и $BC= корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$ Длины боковых рёбер пирамиды SA  =  15, SB  =  17, $SD = 4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$
а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.
б)  Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.