Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.4. Сечения пирамид

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое сечение

Сечение многогранника — многоугольник, состоящий из всех точек, которые одновременно принадлежат многограннику и секущей плоскости. Его вершины лежат на рёбрах, а стороны — в гранях многогранника. Секущая плоскость пересекает каждую грань не более чем по одному отрезку, поэтому у сечения пирамиды не больше сторон, чем граней у пирамиды.

Чаще всего секущую плоскость задают тремя точками, реже — прямой и точкой, двумя пересекающимися или двумя параллельными прямыми.

Построить сечение значит: в плоскости каждой пересекаемой грани отметить две точки сечения, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с рёбрами.

2. Пирамида: нужные понятия

Пирамида: основание — многоугольник, боковые грани — треугольники с общей вершиной. Высота — перпендикуляр из вершины на плоскость основания.
Правильная пирамида: в основании правильный многоугольник, высота проходит через его центр; боковые грани — равные равнобедренные треугольники, а высота боковой грани называется апофемой.
Диагональное сечение — сечение плоскостью, проходящей через два несоседних боковых ребра (для четырёхугольной пирамиды — через вершину и диагональ основания).
Плоскость, проведённая через вершину пирамиды, даёт в сечении треугольник.
Плоскость, параллельная основанию, отсекает пирамиду, подобную исходной; оставшаяся часть — усечённая пирамида.

3. Аксиомы, на которых строится сечение

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой, на которой лежат все их общие точки.
Через прямую и не лежащую на ней точку, а также через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Теоремы о параллельности, нужные при построении:

если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны;
прямая, не лежащая в плоскости и параллельная какой-либо прямой этой плоскости, параллельна самой плоскости;
если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой, то эти плоскости параллельны.

След плоскости на другой плоскости — прямая, по которой они пересекаются. След прямой на плоскости — точка их пересечения.

4. Три метода построения

Метод следов

Найдите след секущей плоскости на плоскости основания — прямую пересечения этих плоскостей. Для этого продлите линии, лежащие в одной грани и проходящие через заданные точки, до пересечения с плоскостью основания; две такие точки определяют след.
Отметьте точки, в которых след пересекает стороны основания (или их продолжения), и найдите точки пересечения секущей плоскости с боковыми рёбрами.
Соедините найденные точки отрезками, лежащими в гранях, и выделите сечение (заштрихуйте).

Это основной метод: его применяют, когда след удобно найти.

Метод внутреннего проектирования

Если след «убегает» далеко за чертёж, точки фигуры проектируют (обычно из вершины пирамиды — на плоскость основания), строят на основании проекцию сечения, а затем возвращают результат обратно. Метод универсален, но чертёж может оказаться перегруженным. Стремитесь к минимальному числу шагов.

Комбинированный метод

Сочетает следы с теоремами о параллельности прямых и плоскостей. Например, если сечение надо провести через точку параллельно данной плоскости, сначала строят вспомогательную плоскость методом следов, а затем по признаку и свойствам параллельных плоскостей строят искомое сечение. Если секущая плоскость параллельна некоторой грани, то её след на этой грани параллелен ребру, а в сечении получаются отрезки, параллельные соответствующим сторонам граней.

5. Вычисления с сечением

Площадь сечения находят по формулам площади многоугольника (треугольника, трапеции), используя подобие треугольников. Если сечение и его ортогональная проекция известны, применяют $S_{\text{пр}}=S\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции, то есть $S=\dfrac{S_{\text{пр}}}{\cos\varphi}$.
Объём пирамиды $V=\dfrac13S_{\text{осн}}h$. Если сечение делит пирамиду на части, то часть-пирамиду считают по формуле, а оставшуюся часть либо разбивают на пирамиды, либо вычитают из объёма целой.
Для тетраэдров с общим трёхгранным углом при вершине $S$ отношение объёмов равно произведению отношений длин рёбер: $\dfrac{V_{SA_1B_1C_1}}{V_{SABC}}=\dfrac{SA_1}{SA}\cdot\dfrac{SB_1}{SB}\cdot\dfrac{SC_1}{SC}$.
Многогранник-«остаток» удобно разбить на треугольные пирамиды: например, сечение $PQM$ пирамиды $ABCD$ разбивает фигуру $APMQNC$ на три пирамиды, объёмы которых считаются отдельно.
Если секущая плоскость параллельна основанию на расстоянии, составляющем долю $k$ высоты от вершины, то сечение подобно основанию с коэффициентом $k$: его площадь равна $k^2S_{\text{осн}}$, а объём отсечённой пирамиды — $k^3V$.

6. План решения задачи №15 про сечение пирамиды

Нарисуйте пирамиду крупно, отметьте заданные точки и данные длины.
Постройте сечение выбранным методом. В пункте «а» обычно нужно доказать свойство сечения (параллельность, перпендикулярность, принадлежность точек одной плоскости) — опирайтесь на признаки и теоремы, а не на вид чертежа.
Выделите в сечении или рядом с ним треугольники, в которых можно найти нужные длины (подобие, теорема Пифагора, теорема косинусов).
Для площади или отношения объёмов выберите формулу из п. 5.
Построение сечения не всегда обязательно: иногда пункт «б» решается без него — оцените, нужно ли оно.

Лайфхак 1. Выбирайте метод по расположению следа. След близко — метод следов; далеко или неудобно — внутреннее проектирование; есть параллельность — комбинированный метод.

Лайфхак 2. Две точки в одной грани. Если в грани отмечены две точки сечения, просто соедините их — это сторона сечения. Если точек в грани не хватает, продлите уже построенные стороны до пересечения с плоскостью грани.

Лайфхак 3. Параллельность упрощает. Если секущая плоскость параллельна грани или ребру, ищите на чертеже параллельные отрезки: след на грани параллелен соответствующему ребру.

Лайфхак 4. Режьте на пирамиды. Для отношения объёмов частей разбейте многогранник на треугольные пирамиды с общей вершиной, а отношения считайте через площади и высоты.

Типичные ошибки. Ошибки в чертеже, в том числе принятие невозможного сечения за реальное (в вариантах ЕГЭ встречались случаи, когда многие считали сечением четырёхугольник, которого не существует); использование неочевидных утверждений без обоснования; неверное применение признаков параллельности и перпендикулярности.

Разобранные примеры

Пример 1

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM  — биссектриса угла SAC.

а)  Докажите, что $AM=AB.$

б)  Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна $25 корень из 3 .$ Найдите сторону основания.

Решение

а)  Рассмотрим треугольник ASC. Он равнобедренный, и $\angle SAC=\angle SCA = 72 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Значит, $\angle MAC = 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Рассмотрим теперь треугольник CAM. Сумма его углов 180°, значит, $\angle AMC =72 градусов.$ Следовательно, треугольник CAM равнобедренный, и поэтому AC  =  AM  =  AB.

б)  Нужное сечение  — треугольник AMB. Аналогично пункту а) находим, что BM  =  BC. Таким образом, треугольник AMB равносторонний, и его сторона AB одновременно является стороной основания. По условию составим уравнение $дробь: числитель: AB в квадрате корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби =25 корень из 3 ,$ откуда AB  =  10.

Ответ: б) 10.

Пример 2

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18.

Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M  — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD  =  7 : 2.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM  — равнобокая трапеция.

б)  Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Решение

Проведём медиану S₁M треугольника SS₁B, которая пересекает медиану BB₁ основания BCD в точке T. Тогда ВТ : ТВ₁  =  4 : 5, поскольку BB₁ также является медианой треугольника SS₁B.

Точка L, в свою очередь, делит отрезок B₁D в отношении DL : LВ₁  =  4 : 5, так как LD : LC  =  2 : 7 и отрезок BB₁  — медиана треугольника BCD.

Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.

Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL  — искомое сечение, причём BP  =  DL и BM  =  KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP  =  KL, а значит, PMKL  — равнобокая трапеция.

б)  Большее основание PL трапеции равно 14, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 9, поскольку MK  — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна $дробь: числитель: 14 плюс 9, знаменатель: 2 конец дроби =11,5.$

Ответ: 11,5.

Источники

«Построение сечений многогранников», приложение к статье, урок.1сентября.ру (urok.1sept.ru)
«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017
«Методы построения сечений многогранников», методический материал, infourok.ru
«Практикум по решению стереометрических задач», программа элективного курса, школьный сайт (gosuslugi.ru)
«Пирамида», Большая российская энциклопедия (bigenc.ru)
«Пирамида (геометрия)», znanierussia.ru

У1
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 104, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 120.
а)  Докажите, что двугранный угол между боковыми гранями пирамиды тупой.
б)  Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.
У2
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N  — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а)  Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б)  Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
У3
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 8. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM  — точка L. Известно, что СD  =  BE  =  LM  =  2.
а)  Докажите, что объем пирамиды LADE составляет $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ от объема пирамиды MABC.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
У4
В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 9, а боковые рёбра равны 15.
а)  Докажите, что сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и BC параллельно прямой MB, является прямоугольником.
б)  Найдите площадь этого сечения.
У5
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16.
а)  Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
У6
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра  — 10. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM  — точка L. Известно, что AD  =  AE  =  LM  =  4.
а)  Докажите, что плоскость, проходящая через точки E, D и L, проходит еще и через центр основания пирамиды.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
У7
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S.
а)  Докажите, что указанное сечение делит объем пирамиды в отношении $1:7.$
б)  Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.
У8
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все рёбра которой равны 12. Точка N  — середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2 : 1, считая от вершины M.
а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.
б)  Найдите площадь этого сечения.
У9
На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB  =  1 : 2. Точка P  — середина ребра AS.
а)  Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б)  Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.
У10
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.
а)  Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.
У11
В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG : GB  =  AF : FC  =  1 : 5.
а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.
У12
В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AC  =  15 и BC  =  9. Точка M  — середина ребра AD. На ребре BC выбрана точка E так, что CE  =  3, а на ребре AC выбрана точка F так, что CF  =  5. Плоскость MEF пересекает ребро BD в точке N. Расстояние от точки M до прямой EF равно $корень из: начало аргумента: 34 конец аргумента .$
а)  Докажите, что N  — середина ребра BD.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MNF.
У13
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 6, точка K ― середина бокового ребра AP.
а)  Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной плоскости BCP.
б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.
У14
В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 6, а боковые рёбра равны 9.
а)  Докажите, что сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AC и BC параллельно прямой MC, является прямоугольником.
б)  Найдите площадь этого сечения.
У15
В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA  =  6, а сторона основания AB  =  4.
а)  Докажите, что утроенный объем пирамиды SABC равен произведению ребра SC на площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC.
б)  Найдите площадь этого сечения.
У16
В треугольной пирамиде MABC, в основаниии которой лежит правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM  — точка F. Известно, что AD  =  4 и BE  =  2, F  — середина AM.
а)  Докажите, что треугольник ADE − равносторонний.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и F.
У17
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды 144.
а)  Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
У18
В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 9. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а)  Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды.
У19
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 8. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость $альфа ,$ параллельная ребру MС.
а)  Докажите, что сечение плоскостью $альфа$ пирамиды MABC является параллелограммом.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью $альфа .$
У20
Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 к 3.
а)  Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 2.
У21
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM  — биссектриса угла SAC.
а)  Докажите, что $AM=AB.$
б)  Сторона основания 8. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B.
У22
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5. Точки M и N  — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а)  Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б)  Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
У23
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN : NC  =  2 : 1.
а)  Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.
У24
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 8. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM  — точка L. Известно, что СD  =  BE  =  LM  =  2.
а)  Докажите, что плоскость EDL содержит центр основания пирамиды.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
У25
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S.
а)  Докажите, что указанное сечение делит объем пирамиды в отношении 1 : 7.
б)  Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 4.

Д1
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K  ― середина бокового ребра AP.
а)  Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б)  Найдите площадь сечения.
Д2
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны $6,$ а боковые рёбра $10.$ На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM  — точка L. Известно, что $AD=AE=LM=4.$
а)  Докажите, что объем пирамиды LADE составляет $дробь: числитель: 4, знаменатель: 15 конец дроби$ от объема пирамиды MABC.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки $E,D$ и $L.$
Д3
Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.
Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M  — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD  =  7 : 2.
а)  Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM  — равнобедренная трапеция.
б)  Вычислите длину средней линии этой трапеции.
Д4
Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S.
а)  Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит апофему грани ASB в отношении 2 : 1, считая от вершины S.
б)  Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
Д5
В правильной треугольной пирамиде SABC провели сечение плоскостью, проходящей через сторону основания AB перпендикулярно ребру SC.
а)  Докажите, что площадь этого сечения относится к площади основания так же, как высота пирамиды относится к её боковому ребру.
б)  Найдите площадь сечения если боковое ребро SA  =  5, а сторона основания AB  =  4.
Д6
В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA  =  6. На ребре  AC находится точка  D, на ребре  AB  — точка  E, а на ребре  AM  — точка L. Известно, что AD  =  AL  =  2, и BE  =  1.
а)  Докажите, что ADE  — равносторонний треугольник.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Д7
Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64.
а)  Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.
б)  Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.
Д8
В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а)  Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды.
Д9
На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB  =  1 : 2. Точка P  — середина ребра AS.
а)  Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б)  Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна $6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$
Д10
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 4. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MС.
а)  Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.
Д11
Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 : 3.
а)  Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 4.
Д12
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM  — биссектриса угла SAC.
а)  Докажите, что $AM=AB.$
б)  Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна $5 корень из 3 .$ Найдите сторону основания.
Д13
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N  — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а)  Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б)  Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Д14
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8.
а)  Докажите, что плоскость, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, делит ребро MC в отношении 2 : 1, считая от вершины M.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Д15
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны $3,$ а боковые рёбра $5.$ На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM  — точка $L.$ Известно, что $AD=AE=LM=2.$
а)  Докажите, что плоскость, проходящая через точки E, D и L, проходит еще и через центр основания пирамиды.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Д16
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S.
а)  Докажите, что плоскость сечения делит отрезок DB в отношении $3:1,$ считая от вершины D.
б)  Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.
Д17
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все рёбра которой равны 6. Точка N  — середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 5:1, считая от вершины M.
а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.
б)  Найдите площадь этого сечения.
Д18
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 10. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость $альфа ,$ параллельная ребру MC.
а)  Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью $альфа .$
Д19
В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 50, а сторона основания равна 60. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что $AG:GB=AF:FC=1:5.$
а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.
Д20
В основании пирамиды KLMN лежит прямоугольный треугольник LMN с катетами $LN=12$ и $MN=15.$ Точка A  — середина ребра KM. На ребре MN выбрана точка B так, что $NB=5,$ а на ребре LN выбрана точка C так, что $NC=4.$ Плоскость ABC пересекает ребро LK в точке D. Расстояние от точки A до прямой BC равно $корень из: начало аргумента: 41 конец аргумента .$
а)  Докажите, что D  — середина ребра LK.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABC.
Д21
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка K ― середина бокового ребра AP.
а)  Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б)  Найдите площадь сечения.
Д22
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M  — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC  =  1 : 2.
а)  Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S₁LM  — равнобокая трапеция.
б)  Вычислите длину средней линии этой трапеции.
Д23
В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 2, а сторона основания AB = 3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .
Д24
В треугольной пирамиде MABC с основанием ABC ребро MA перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM  — точка L. Известно, что AD  =  2 и BE  =  ML  =  1.
а)  Докажите, что LDE  — равнобедренный треугольник.
б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Д25
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно $4 корень из 3 .$ Точки M и N  — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а)  Докажите, что плоскость α делит медиану CL основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б)  Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.