Задание 15 · Стереометрическая задача (доказательство + вычисление)

15.5. Сечения призм

Для репетитора: показать ответы

1. Призма: определения и виды

Призма — многогранник, у которого две грани (основания) — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы. Название задаёт основание: треугольная, четырёхугольная, шестиугольная призма и т. д.

Прямая призма: боковые рёбра перпендикулярны основаниям, боковые грани — прямоугольники.
Правильная призма: прямая призма, в основании которой правильный многоугольник.
Наклонная призма: боковые рёбра не перпендикулярны основаниям.
Параллелепипед — призма, основание которой параллелограмм.
Перпендикулярное сечение — сечение плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам; оно перпендикулярно всем боковым рёбрам, а его углы — линейные углы двугранных углов при боковых рёбрах.

Формулы

Объём $V=S_{\text{осн}}\cdot h$, где $h$ — высота призмы.
Боковая поверхность: наклонная призма $S_{\text{бок}}=P_{\perp}\cdot l$ (периметр перпендикулярного сечения на боковое ребро); прямая призма $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$; правильная $n$-угольная призма со стороной основания $a$: $S_{\text{бок}}=n\,a\,h$.
Полная поверхность $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}$.
Объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до противоположного бокового ребра: $V=\tfrac12S_{\text{грани}}\cdot d$.

2. Что такое сечение и как его строить

Сечение призмы — многоугольник, вершины которого лежат на рёбрах, а стороны — в гранях. Чтобы его построить, надо в каждой пересекаемой грани отметить две точки сечения, соединить их и найти пересечения этой прямой с рёбрами. Работают те же методы, что и для других многогранников.

Метод следов

Постройте след секущей плоскости на плоскости основания — прямую пересечения этих плоскостей (продлите прямые через заданные точки до пересечения с плоскостью основания).
Найдите точки пересечения следа со сторонами основания, затем точки, где секущая плоскость пересекает боковые рёбра.
Соедините точки отрезками в гранях и выделите сечение.

Метод внутреннего проектирования

Применяют, когда след получается далеко от фигуры. Точки проектируют на плоскость основания параллельно боковому ребру: у призмы это естественное проектирование, потому что боковые рёбра параллельны. Строят проекцию сечения на основание, а затем возвращаются к призме.

Комбинированный метод и параллельность

У призмы основания лежат в параллельных плоскостях. По свойству параллельных плоскостей, если секущая плоскость пересекает оба основания, то её следы на основаниях параллельны. Поэтому, построив отрезок сечения на одном основании, можно провести параллельный ему отрезок на другом основании через известную точку. Аналогично, плоскость, параллельная боковому ребру, даёт на боковых гранях отрезки, параллельные этому ребру (сечение строится по признаку параллельности прямой и плоскости).

3. Какие сечения возможны

Сечение плоскостью, параллельной основаниям, — многоугольник, равный основанию.
Плоскость, проходящая через два боковых ребра, не лежащих в одной грани (диагональное сечение), даёт параллелограмм (у прямой призмы — прямоугольник).
Плоскость, проходящая через ребро основания и точку или ребро другого основания, даёт четырёхугольник; если секущая плоскость пересекает обе параллельные плоскости оснований, две стороны такого сечения параллельны (трапеция или параллелограмм).
Число сторон сечения не больше числа граней призмы.

4. Вычисления

Площадь сечения — по формулам площади многоугольников. Если плоскость сечения образует с основанием угол $\varphi$, а проекция сечения на основание — известная фигура с площадью $S_{\text{пр}}$, то $S_{\text{сеч}}=\dfrac{S_{\text{пр}}}{\cos\varphi}$ (теорема о площади ортогональной проекции).
Угол сечения с основанием находят через линейный угол двугранного угла: проведите в основании перпендикуляр к следу из нужной точки, а затем к нему — перпендикуляр из точки сечения (теорема о трёх перпендикулярах).
Отношение объёмов частей, на которые сечение делит призму: считайте объёмы частей как пирамид и призм; если сечение — «срез» вершины, часть-пирамида находится по формуле $\dfrac13S_{\text{осн}}h$.
В правильной шестиугольной призме удобно использовать, что основание разбивается на правильные треугольники, а диагонали и стороны основания образуют прямоугольные треугольники; расстояния считаются по теореме Пифагора.

Если плоскость сечения задана точками на рёбрах, для площади сечения часто достаточно найти длины его сторон (теорема Пифагора в боковых гранях) и воспользоваться тем, что сечение — трапеция или параллелограмм.

5. Порядок решения

Выполните выносной чертёж и подпишите все данные.
Постройте сечение. Если сечение нужно только для вычисления, убедитесь, что оно действительно существует и проходит через указанные точки.
Докажите требуемое в пункте «а»: по признакам параллельности и перпендикулярности, по теореме о трёх перпендикулярах, через равенство треугольников или подобие.
В пункте «б» найдите нужную величину (площадь, угол, отношение объёмов, расстояние) в «удобных» плоских фигурах.

Лайфхак 1. Для призмы проектируйте вдоль бокового ребра. Боковые рёбра параллельны, поэтому точки удобно проектировать на плоскость основания параллельно боковому ребру: построение сечения методом внутреннего проектирования получается компактным.

Лайфхак 2. Используйте параллельность оснований. Следы секущей плоскости на параллельных основаниях параллельны — это позволяет достроить сечение, когда на втором основании известна только одна точка.

Лайфхак 3. Если след далеко — не стройте его. Переходите к внутреннему проектированию или комбинированному методу.

Лайфхак 4. Площадь через проекцию. Когда сечение неудобно «разрезать» на треугольники, найдите площадь его проекции на основание и угол между плоскостями: $S=S_{\text{пр}}/\cos\varphi$.

Типичные ошибки. Принимают невозможные сечения за реальные из-за неточного чертежа; применяют признаки параллельности и перпендикулярности без проверки условий; используют неочевидные утверждения без обоснования.

Разобранные примеры

Пример 1

В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N  — середина ребра A₁C₁.

а)  Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б)  Найдите периметр этого сечения.

Решение

а)  Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой B₁C₁ в точке K. Трапеция ABKN  — искомое сечение.

б)  Имеем A₁N= 3, так как точка N  — середина ребра A₁C₁. Значит, $AN= корень из: начало аргумента: 16 плюс 9 конец аргумента =5.$ Аналогично BK = 5.

Далее NK = 3 как средняя линия треугольника A₁B₁C₁. Следовательно, искомый периметр сечения равен 6 + 5 + 5 + 3 = 19.

Ответ: 19.

Пример 2

Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной $5 корень из 2 ,$ высота призмы равна $2 корень из 1 4.$ Точка K  — середина ребра BB₁. Через точки K и C₁ проведена плоскость α параллельная прямой BD₁.

а)  Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольник.

б)  Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.

Решение

а)  В треугольнике BB₁D₁ проведём среднюю линию KL. Точка L лежит в плоскости α, поскольку прямые KL и BD₁ параллельны.

В квадрате A₁B₁C₁D₁ точка L является серединой диагонали B₁D₁, значит, она также является серединой диагонали A₁C₁, а искомым сечение является треугольник A₁KC₁.

Прямоугольные треугольники A₁B₁K и C₁B₁K равны по двум катетам. Следовательно, A₁K  =  C₁K.

б)  в прямоугольных треугольниках A₁B₁C₁ и C₁B₁K:

$A_1C_1= корень из: начало аргумента: A_1B_1 в квадрате плюс B_1C_1 в квадрате конец аргумента =10$

$A_1K=C_1K= корень из: начало аргумента: B_1C_1 в квадрате плюс B_1K в квадрате конец аргумента =8.$

Искомый периметр равен 26.

Ответ: б) 26.

Источники

«Призма (геометрия)», Википедия
«Построение сечений многогранников», приложение к статье, урок.1сентября.ру (urok.1sept.ru)
«Методы построения сечений многогранников», методический материал, infourok.ru
«Практикум по решению стереометрических задач», программа элективного курса, школьный сайт (gosuslugi.ru)
«Задание 14. Стереометрическая задача», методические материалы к ЕГЭ профильного уровня, abiturient.ru, 2017
Материалы к уроку геометрии 11 класса (теорема об объёме треугольной призмы), math.ru / mccme.ru

У1
В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁лежит треугольник со стороной 8. Высота призмы равна 3. Точка N  — середина ребра A₁C₁.
а)  Постройте сечение призмы плоскостью BAN.
б)  Найдите площадь этого сечения.
У2
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 20, а боковое ребро AA₁  =  7. Точка M принадлежит ребру A₁D₁ и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D₁.
а)  Докажите, что точки A и C равноудалены от плоскости, проходящей через точки B, D и M.
б)  Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M.
У3
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4.
а)  Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A₁C₁, и докажите, что это равнобокая трапеция.
б)  Найдите площадь этого сечения.
У4
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 11, а боковое ребро AA₁  =  7. Точка K принадлежит ребру B₁C₁ и делит его в отношении 8 : 3, считая от вершины B₁.
а)  Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K, есть равнобедренная трапеция.
б)  Найдите площадь этого сечения.
У5
В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K делит боковое ребро AA₁ в отношении AK : KA₁  =  1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD₁ в точке M.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро DD₁ в отношении DM : MD₁  =  2 : 1.
б)  Найдите площадь сечения, если известно, что AB  =  4, AA₁  =  6.
У6
Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK : KA₁  =  1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD₁ в точке M.
а)  Докажите, что MD : MD₁  =  2 : 1.
б)  Найдите площадь сечения, если AB  =  4, AA₁  =  6.
У7
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой сторона основания AB  =  8, боковое ребро $AA_1= 2 корень из 2 .$ Точка Q  — точка пересечения диагоналей грани ABB₁А₁, точки M, N и K  — середины ВС, СC₁ и А₁C₁ cответственно.
а)  Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости.
б)  Найдите площадь сечения QMN.
У8
Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре BB₁ отмечена точка Q такая, что BQ : QB₁  =  2 : 7. Плоскость α проходит через точки A и Q параллельно прямой BD. Эта плоскость пересекает ребро CC₁ в точке M.
а)  Докажите, что C₁M : CC₁  =  5 : 9.
б)  Найдите площадь сечения, если $AB=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ AA₁  =  18.
У9
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания AB равна 4, а боковое ребро AA₁ равно $5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ На ребре DD₁ отмечена точка M так, что $DM : MD_1=3: 2.$ Плоскость α параллельна прямой A₁F₁ и проходит через точки M и E.
а)  Докажите, что сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью α  — равнобедренная трапеция.
б)  Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием сечение призмы ABCDEFAB₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью α.
У10
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ длина ребра основания равна 4, а длина бокового ребра равна 2.
а)  Докажите, что сечение призмы плоскостью α, проходящей через середину ребра AB перпендикулярно отрезку, соединяющему середины рёбер BC и A₁B₁, делит ребро AC в отношении 1 : 3, считая от вершины A.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.
У11
В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении $A P : P B = 1 : 3,$ а точка Q  — середина ребра A₁C₁. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро AC пополам.
б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок A₁C₁, считая от точки A₁, если известно, что $AB = AA_1$ и $AB : BC = 2 : 7.$
У12
Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B₁K : KC₁  =  1 : 2, а AMKN  — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
a)  Докажите, что N  — середина BC.
б)  Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 12, а ее высота равна 2.
У13
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны  5. На его ребре AA₁ отмечена точка M так, что A₁M  =  3. Через точки M и B₁ проведена плоскость α, параллельная AC₁.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро DD₁ в отношении 1 : 4, считая от вершины D₁.
б)  Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
У14
В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость α проходит через вершины B₁ и D, пересекает стороны AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно, а сечение призмы плоскостью α является ромбом.
а)  Докажите, что точка M  — середина ребра AA₁.
б)  Найдите высоту призмы, если площадь основания равна 3, а площадь сечения равна 6.
У15
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на серединах рёбер A₁C₁ и BC отмечены точки M и N соответственно.
а)  Докажите, что плоскость AB₁M делит отрезок A₁N в отношении 2 : 3, считая от вершины A₁.
б)  Найдите объем пирамиды AMNB₁, если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 4.
У16
B правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA₁ равно  $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$ На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK  =  C₁L  =  2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а)  Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.
б)  Найдите объём пирамиды, вершина которой  — точка A₁, а основание сечение данной призмы плоскостью γ.
У17
В правильной треугольной призме сторона AB основания равна 2, точка M  — середина ребра CC₁.
а)  Докажите, что сечение A₁MB  — равнобедренный треугольник.
б)  Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 6.
У18
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ через вершины A₁, B₁ и середину ребра BC проведена плоскость α.
а)  Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет трапеция.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если боковое ребро призмы равно 13, а сторона основания равна 12.
У19
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $22,$ а боковое ребро $AA_1=14.$ Точка K принадлежит ребру $B_1C_1$ и делит его в отношении $8:3,$ считая от вершины $B_1.$
а)  Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K, является равнобедренной трапецией.
б)  Найдите площадь этой трапеции.
У20
В правильной четырехугольной призме KLMNK₁L₁M₁N₁ точка E делит боковое ребро KK₁ в отношении KE : EK₁  =  1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость $альфа ,$ параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN₁ в точке F.
а)  Докажите, что плоскость $альфа$ делит ребро NN₁ пополам.
б)  Найдите угол между плоскостью $альфа$ и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL  =  6 , KK₁  =  4 .
У21
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ длина ребра основания равна 6, а длина бокового ребра равна 3.
а)  Докажите, что сечение призмы плоскостью α, проходящей через середину ребра AB перпендикулярно отрезку, соединяющему середины рёбер BC и A₁B₁, делит ребро AC в отношении 1 : 3, считая от вершины A.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.
У22
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B₁K : KC₁  =  1 : 5. Четырехугольник AMKN  — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 3.
а)  Докажите, что N  — середина BC.
б)  Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 72, а ее высота равна 4.
У23
B правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA₁ равно  $2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$ На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK  =  C₁L  =  1. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а)  Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.
б)  Найдите объём пирамиды, вершина которой  — точка A₁, а основание сечение данной призмы плоскостью γ.
У24
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M  =  2AM, A₁K  =  KB₁. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB₁A₁.
а)  Докажите, что плоскость α проходит через вершину C₁.
б)  Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если все ребра призмы равны 20.
У25
В правильной треугольной призме ABCA'B'C' стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4.
а)  Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A'C', и докажите, что это равнобокая трапеция.
б)  Найдите площадь этого сечения.

Д1
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 11, а боковое ребро AA₁  =  7. Точка K принадлежит ребру B₁C₁ и делит его в отношении 8 : 3, считая от вершины B₁.
а)  Докажите, что точки A и C равноудалены от плоскости, проходящей через точки B, D и K.
б)  Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K.
Д2
Дана правильная призма ABCA₁B₁C₁, у которой сторона основания AB  =  4, а боковое ребро AA₁  =  9. Точка  M  — середина ребра AC, а на ребре AA₁ взята точка T так, что AT  =  5.
а)  Докажите, что плоскость BB₁M делит отрезок C₁T пополам.
б)  Плоскость BTC₁ делит отрезок MB₁ на две части. Найдите длину меньшей из них.
Д3
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 20, а боковое ребро AA₁  =  7. Точка M принадлежит ребру A₁D₁ и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D₁.
а)  Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией.
б)  Найдите площадь этой трапеции.
Д4
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания AB равна 3, а боковое ребро $AA_1= корень из 6 .$ На рёбрах AB, A₁D₁ и C₁D₁ отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM  =  A₁N  =  C₁K  =  1.
а)  Пусть L  — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL  — квадрат.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Д5
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.
а)  Докажите, что прямые CA₁ и C₁D₁ перпендикулярны.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C, A₁ и F₁.
Д6
Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Известно, что AB  =  BC. Точка K  — середина ребра A₁B₁, а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM : MC  =  1 : 3.
а)  Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC .
б)  Найдите расстояние между прямыми KM и A₁C₁, если AB  =  10, AC  =  8 и AA₁  =  3.
Д7
В правильной восьмиугольной призме ABCDEFGHA₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁H₁ сторона основания AB равна $3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ а боковое ребро AA₁ равно 6. Ha pe6pe CC₁ отмечена точка M так, что $CM : MC_1 = 1 : 2.$ Плоскость $альфа$ параллельна прямой H₁E₁ и проходит через точки M и A.
а)  Докажите, что сечение данной призмы плоскостью α   — равнобедренная трапеция.
б)  Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F₁, а основанием  — сечение данной призмы плоскостью α.
Д8
В правильной четырехугольной призме MNPQM₁N₁P₁Q₁ сторона основания равна 11, а боковое ребро  — 15. На ребрах M₁Q₁, M₁N₁ и PQ взяты точки X, Y, Z соответственно так, что $Q_1X=N_1Y=QZ=5.$
а)  Пусть C  — точка пересечения плоскости XYZ c ребром PN. Докажите, что XYCZ  — прямоугольник.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью XYZ.
Д9
В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ c ребрами $AB = BC = 6$ и AA₁  =  12, точки M и K  — середины AB и ВС соответственно. Точка  N лежит на ребре  BB₁, причем BN  =  6. Через точку  D провели плоскость α параллельно плоскости  KMN.
а)  Докажите, что плоскость α проходит через точки  A₁ и  C₁.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.
Д10
Дана прямая призма ABCA₁B₁C₁. ABC  — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B₁C₁. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ.
а)  Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.
б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA₁  =  5, AB  =  12 и $косинус \angle ABC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$
Д11
Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD  =  5 и BC  =  4. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1M : MD_1 = 1 : 4,$ точка K  — середина DD₁.
a)  Докажите, что плоскость MCK делит отрезок BB₁ пополам.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC, если $\angle A D C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ a $\angle M K C =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
Д12
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка M является серединой ребра BB₁, а точка N  — середина ребра A₁C₁. Плоскость α, параллельная прямым AM и B₁N, проходит через середину отрезка B₁M.
a)  Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка B₁C₁.
б)  Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁плоскостью α, если все ребра этой призмы равны 4.
Д13
В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 9, боковое ребро равно 14. Точка K принадлежит ребру A₁B₁ и делит его в отношении 2 : 7, считая от вершины A₁.
а)  Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и K, является равнобедренной трапецией.
б)  Найдите площадь этого сечения.
Д14
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M  — середина ребра D₁C₁, а на ребрах AA₁ и CC₁ отмечены точки Q и N так, что $AQ : A_1 Q =1: 4$ и $CN : C_1 N =3: 2.$ Через точки M и N проведена плоскость α параллельно прямой CQ.
а)  Докажите, что плоскость α проходит через вершину B.
б)  Найдите отношение, в котором плоскость $альфа$ делит объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.
Д15
В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB  =  1 : 3, а точка Q середина ребра A₁C₁. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро AC пополам.
б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок A₁C₁, считая от точки A₁, если известно, что AB  =  AA₁, AB : BC  =  2 : 7.
Д16
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на боковых ребрах AA₁, BB₁ и CC₁ отмечены точки K, M и L соответственно так, что AK : KA₁  =  B₁M : MB  =  2 : 1, а плоскость KLM делит площадь боковой поверхности призмы пополам.
а)  Докажите, что L  — середина CC₁.
б)  Найдите площадь треугольника KLM, если все ребра призмы равны 3.
Д17
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что AM  =  5MA₁, A₁K  =  KB₁. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB₁.
а)  Докажите, что плоскость α проходит через вершину C₁.
б)  Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если все ребра призмы равны 12.
Д18
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 8, боковые рёбра равны $корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$
а)  Изобразите сечение, проходящее через вершины A, C и середину ребра A₁B₁, и докажите, что оно является равнобокой трапецией.
б)  Найдите площадь этого сечения.
Д19
В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания AB = 6, а боковое ребро $AA_1=4 корень из 3 .$ На рёбрах AB, A₁D₁ и C₁D₁ отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM  =  A₁N  =  C₁K  =  1.
а)  Пусть L  — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL  — квадрат.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Д20
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой сторона основания AB  =  4, боковое ребро $AA_1= 2 корень из 7 .$ Точка Q  — точка пересечения диагоналей грани ABB₁А₁, точки M, N и K  — середины ВС, СC₁ и А₁C₁ cответственно.
а)  Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости.
б)  Найдите площадь сечения QMN.
Д21
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD  =  5 и BC  =  3. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1 M: M D_1=2: 3,$ а точка K  — середина ребра DD₁.
а)  Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB₁ пополам.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью МKC, если $\angle M K C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A D C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$
Д22
В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость α проходит через вершины B₁ и D, пересекает стороны AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB₁KD  — ромб.
а)  Докажите, что точка M  — середина ребра AA₁.
б)  Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если площадь её основания ABCD равна 4, а площадь ромба MB₁KD равна $4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$
Д23
В правильной треугольной призме сторона AB основания равна 4, точка M  — середина ребра CC₁.
а)  Докажите, что сечение A₁MB  — равнобедренный треугольник.
б)  Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 18.
Д24
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ через вершины A₁, B₁ и середину ребра BC проведена плоскость α.
а)  Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет трапеция.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если боковое ребро призмы равно 11, а сторона основания равна 16.
Д25
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD  =  3 и BC  =  2. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1 M: M D_1=1: 2,$ а точка K  — середина ребра DD₁.
а)  Докажите, что плоскость MKC делит отрезок $BB_1$ пополам.
б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC, если $\angle M K C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A D C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$